1611690520-cad13a71384007d4c452b5b97d2163c9 (826920), страница 61
Текст из файла (страница 61)
согласно и. 173, система уравнений (1) примет вид (8) где новая функция Гамильтона Я определнется равенством дб'(д;, Г1ь 1) Н = Н(д„, ро 1) + дб (4) в правой части которого величины до р; (после вычисления частной производной до/д1) должны быть выражены через 1тзч Рд на основании уравнений (2). Если функция 8' выбрана так, что 74 = О, то уравнения (3) сразу интегрируются: Эти соотношения представляют собой линейную неоднородную систему уравнений относительно ум дз,..., д„. Определитель системы — это транспонированный якобиан из (88).
Так как он отличен от нуля, то система уравнений (90) однозначно определяет величины ум дз,..., у„ как функции О, Р и 1с г б. Метод Якоби ннтегрировання уравнений двьзеения 359 где оп /1, — произвольные постоянные. Если функция Я удовлетворяет условию (49) п. 173, то из (2) находится зависимость исходных переменных от времени 1 и 2п произвольных постоянных ое, //е: (6) Функция Я, согласно (2) и (4), должна при этом удовлетворять уравпс нию — +Н е/е, —, (7) Это уравнение в частных производных называется уравнением Гамильтона — Якоби.
В нем Я есть функция д„дг,..., дв и Н величины Г/м С/г,..., ь/„рассматриваются как параметры. Общее решение уравнения в частных производных зависит от произвольных функций. '1 акое решение называется общим интегралом этого уравнения. Однако в приложениях к решению задач механики главную роль играет не общий, а полный интеграл уравнения (7). //олнььм интегралом уравнении (7) называется его решение Я(уп ам 1), зависящее от и произвольных постоннных им вез,..., он и удовлетворяющее условию о" р дЯ 1ч 11= 1 2 и) г/аь " до, (9) где Д произвольные постоянные.
Теорема Якоби позволяет свести интегрирование системы обыкновенных дифференциальных уравнений (1) к нахождению полного интеграла уравнении (7) в частных производных. Вторая задача, конечно, не проще первой, а даже более сложна. Но оказывается, что метод Якоби является весьма эффективным среди существующих методов нахождения точных решений системы (1). Он также пвляется одним из наиболее мощных методов приближенного интегрирования канонических уравнений.
Таким образом, мы получаем следующий способ интегрирования урав- нений движения (1), основанный на рассмотрении уравнения (7). Теорема (Якоби). Если Я(дь, егп /) - полный интеграл уравне- ния Гамюьътона — Якоби (7)е содерлсащий и произвольных постоянных ом ьхз,..., п„, то рещение (6) уравнений (1) находится иэ соотноше- ний 360 Глава Х1 Общего метода нахождения полного интеграла уравнения Гамильтона — Якоби (7) при произвольной функции Н не существует.
Остановимся только на некоторых частных способах нахождения полного интеграла. 176. Уравнение Гамильтона — Якоби длн систем с циклическими координатами. Пусть координаты дьв.х,..., д„— циклические. Тогда Н = Н(д,,..., дь, р„..., р, р„,с..., р„, 1). Полный интеграл уравнения (7) ищем в виде Н = схмьхдь,х+...
+ овд„+ Н*(дх,..., дь, схх,..., сх„, 1). (10) Подставив (10) в (7), получим уравнение для о* до* до' до* + Н(дх,..., дь,,..., „, схь.~х,..., схсе 1) = О. (11) Пд,' Таким образом, нахождение полного интеграла уравнения (7) приводит к рассмотрению уравнении (11), в котором Н* зависит уже не от (и+ 1)-й переменной, а от (и — й+ 1)-й, т. е. число независимых переменных уменьшилось на число циклических координат.
177. Уравнение Гамильтона — Якоби для консервативных и обобщенно консервативных систем. Пусть функции Гамильтона не зависит явно от времени: Н = Н(дх,..., д„, рх,..., р„). Тогда существует обобщенный интеграл ввергни Н = 6, где 6 — про- извольная постоянная. В уравнении (7) положим (12) где функция Ъ' не зависит от 6 Для нее получаем уравнение Н(ддд1д1) Это уравнение и будет уравнением Гамильтона — Якоби для консервативных и обобщенно консервативных систем. Из (13) находим Р = Р(дх,..., дсе ох,..., о„х, 6), где схх,..., оя х — пРоизвольные постоннные, не зависящие от 6. Из (12) имеем выражение для Н: (14) о = — 61+ Р(дх,..., дсм сх„..., н„х, 6).
5 б. Метод Якоби интеериронанин урбанский движения 361 Если функпия д удовлетворяет услови|о (8) (нн = 6), то (14) — пол- ный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби (7) и равенства (9) дают соотношения д1' — =р;(1=1, 2,..., и), д4ь = — дь(и=1, 2,..., и — 1), (15) — =1 — д, д1' д6 — н; (16) где ды..., д„произвольные постоннные. Последние и — 1 соотношений в (15) --- геометрические: они дают траектории в и-мерном координатном пространстве ц~,..., о,.
Вместе с равенством (16) зти соотношения дают и закон движения по траекториям. Первые и соотношений в (15) служат для определения импульсовр;(1 — 1, 2,..., п). 178. Характеристическая функция Гамильтона. Функцию ~', входящую в правую часть равенства (14), пазыва|от характеристической функцией Гамильтона.
Она удовлетворяет уравнению (13) и была введена в п. 177 как не зависящая от времени часть производящей функции 8, задающей свободное каноническое преобразование, приводящее функцию Гамильтона Н(ды..., д„, ры.... р„) консервативной илн обобщенно консервативной системы к функции Я = О. Но функцию 1 "(ды..., оо, аы..., а„ы 6) можно рассмотреть как производягцую функцию некоторого канонического преобразования, свойства которого отличны от свойств преобразования, осуществляемого функцией Н.
Рассмотрим унивалентное каноническое преобразование, при котором новые импульсы Р; будут постолнными сч (1 = 1, 2,..., и), причем ььо = 6. Пусть соответствующей производящей функцией будет Е(ды..., до, Ры..., Р„ы Р„). Согласно п. 174, старые и новые переменные связаны соотношенинми вида (62): дГ,~ д$ дЪ. дв' ' дР; дсь (17) Так как Н = 6 = сьо, то отсюда следует уравнение (18) которое совпадает с уравнением (13). Но функции Г но зависит от й поэтому из равенства (63) и. 174 имеем такое выражение для новой функции Гамильтона Глава Х1 Таким образом, характеристическан функция Гамильтона задает каноническое преобразование, приводящее функцию Н(оы ..., дп, ры ..., р„) к такой форме, когда все новые обобщенные координаты Ц, (1 = 1, 2, ..., и) являются циклическими.
В новых переменных — — — О (з=1, 2,..., и), дГЛ В7( — ВР— зь~ (19) (20) где дзи символ Кронекера. Поэтому Рз = сз; = сопят, 1зз = — Вз = сопят (1 = 1, 2,, и — 1), Р„= Ь, = сопят, 1,)„— 1 = — В„= сопзФ, (21) Замене импульсов (21) можно поставить в соответствие унивалент- ное каноническое преобразование ф, оз — > сг,*, о,". всех канонически сопряженных переменных (1 = 1, 2,..., и). Для этого (см. пример 8 п.
174) доститочно взять проиэводтцую функцию в виде Вз = ~~', Г2ьа,(сьз,..., о*„). ь=з В новых переменных функция Гамильтона будет иметь вид Я = йп(оз,..., ы*„). (22) Преимущество новых импульсов ог состоит в том, что они могут быть увязаны с физической сущностью задачи. Один частный случай выбора новых импульсов вместо величин оц риссмотрен далее в зб. что, в силу (17), находитсн в соответствии с формулами (15), (16).
Злмкчлник 3. Выбор величин глз, входящих в хириктеристическую функцию Га.нилыпона, в качестве новых импульсов является в некоторой степени произвольным,. Постояьшые ом оз,..., ов з не имеют, вообще говоря, определенного физического смысла, а просто представляют собой набор постоянных, появляющихся в процессе нахождения полного интеграла уравнения Гамильтона Якоби.
Применим к импульсам оы..., оп произвольное дифференцируемое обратимое преобразование оы..., сз„— з сз*,..., о,',з 3 б. Метод Якоби интегрирования уравнений двиэяения 363 179. Разделение переменных. Известны замечательные случаи, когда полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби (7) может быть найден при помощи разделения переменных.
Метод разделения переменных состоит в том, что решение уравнения (7) ищется в виде суммы функций, каждая из которых зависит только от одной из переменных 91,..., дн и времени (и, конечно, произвольных постоянных): Я =ЯоЯ+Ы111 1)+Яз(йг 1)+" +Ян(9 1) (23) К сожалению, не существует простого критерия, позволяющего в общем случае по структуре функции Гамильтона судить о возможности разделения переменных в уравнении (7) 1. Мы укажем только два простейших случая разделении переменных для консервативной или обобщенно консервативной системы. 1 .
Пусть (24) т. е. функция Гамильтона зависит от и функций Ре, каждан из кото- рых зависит только от одной пары «своих» канонически сопряженных переменных д;, р,. Будем предполагать, что — ' р': 0 (1 = 1, 2,..., и). дР1 орг (25) Уравнение Гамильтона — Якоби (13) имеет вид (26) Положим 7'1(91, —,) = ое (1 = 1, 2,..., и). дИх " дд;) (27) дИ дрй =а(9. о) (28) Тогда / Яг(Ф '11) ойг; 1=1 1исследоваиие этого вопроса содержится в работе: Ярон-Яровой М.
С. Об интегрировании уравнения Гамильтона-Якоби методом раэделения переменнмл О ПММ, 1963, т. 27, вмп. 6, С. 973-987. При условии (25) равенства (27) можно разрешить относительно д)г)дц: 365 З б. Метод Якоби интегрирования уравнений движения При условии (33) зти равенства можно разрешить относительно произ- водных д)г/дЧ1 (1 = 1, 2,, п). Получим = Е1(Ч1; се1)~ д = дз(Чз~ о1 оз)~ ° ° ° д = Кя(уя~ оя — 1; оя).
д1', дЪ' . д1' дЧ1 ' дуг " ' ' дЧе Функция я о яр + ~~ Ег(ЧО 11е — 1'. он) йуг 1=1 (34) Е1 = — Р— гпУЧ., 3 2т где р импульс, соответствующий обобщенной координате Ч, ускорение свободного пидения, Если — Р— гпнЧ = Ь = о, 1 2т е = „'2 2(: — ее) (35) и полный ингпеграл уравнения Ганильтона — Якоби — + — 1 —,( — тД'Ч = 0 дд 1 /дд'1' ду 2т ),дЧ( будет решением уравнения (7). Легко проверить, что неравенство (8) при условии (33) выполнено, поэтому функция (34) будет полным интегралом уравнения (7). Мы рассмотрели весьма частные случаи, когда специальная структура функции Гамильтона позволяет дать общий конструктивный способ построения общего интеграла уравнения Гамильтона Якоби.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
