1611690520-cad13a71384007d4c452b5b97d2163c9 (826920), страница 57
Текст из файла (страница 57)
(21) Для реального движения необходимо, чтобьг вьтогнялось неравенст- во С(и,) ) О, т. е. чтобы О < гг~ < 1'()г). (22) На рис. 140 значения пириметров сг, Д, удовлетворяющие неравенству (22)г соответствуют точкам, лежащим в незашгприхованной области плоскослщ или на ее границе. Верхняя гранииа области задается уравнением сгз = 1(Д); она касается оси ОД в точке ( — 2. О)г а при рц — г сс имеет асимптоту ыг = д. 332 Глава Х1 Лзт классификации движен я маятника рассмотрим последовательно три возможггых случая. 1) ы = О.
Из 114) следует, что в этом случае гр = грп = сопгг, и мы приходим к задаче о движении математического маятника в плоскости 1э = грп. Эта задачи подробно изучена в п. 93-96. 2) О < ог < /'113). В эпгом случае угол В изменяется в промежутке Вг < В < В,. На сфере радиусом 1 с центром в точке подвеси маятника значения В = Вг и В = Вг выделяют два круга, лежащих в параллельных плоскостях г = г, = 1сов Вг и г = гз = 1сов Вг. Материальная точка, закрепленная на конце стержня, движется по сфере мелсду плоскпсптми г = г, и г = гг, попеременно кисаясь этих плоскостей (рис.
141). г Рпс. 141 Рис. 142 Лри этом среднее полпжение тички всегда находится ниже горизонтальной плоскости, проходтцей через точку О подвеси лгаятника (рис. 134), т. е. иг + ггг < О. Чтобы убедиться в этом, приравннем коэффициентьг при первой степени и в тождестве 119). Лолучим 21игиз -1- игиз + игиз) = — 2, откуда 1+ игиз из =— иг+ ив ' Но так как из > О, и ~игиг~ < 1, то отсюда сразу следует, что из+из <О. Из уравнения 114) видно, чтп угол 1п в риссматриваемом случае либо монотонно возрастает (если о > О), либо монотонно убывает (если о < О). Иа рис. 142 показана проекция траектории материальной точки на плоскость Оху для движен я, соответствующего рис.
141, когда обе плоскости г = гг и г = гг лежат низке точки подвеси маятника (прглнятог что о > О). Зта проекция попчередно касается пкружностей ридиуспв р, = 1вшуз и рз = 1г1пуг и напоминает собой движе- 'З с. Сисгпемы с циклическими координатами пие по эллипсу, большая полуось которого враигается в горизонтальной плоскости в направлении движения. Для инлгегрирования уравнения (17) сдезгаем замену переменных гг — ггг г (из иг) зггг г (23) Отседа и из (17), (19) получаем диффереиииальное уравнение д я новой переменной о и = 2гзе(из — иг)(1 — й з1п и), з 1 г 2 . з (24) где йз пз и, (О < йя < 1) из — иг Если момент времени, когда и = иг, принять за начальный, то из (24) получаем т= =Р(п, й), е (23) где Е(п, й) — э, липтический интеграл первого роди (сы. а. 95), а /из — иг т =ые~( 2 Тогда из (23) следует, что и = 'иг + (пз — и,)тг т.
(26) 2ггг2К(й) гоо гl'из — иг (27) Когда угол О найден как функция времени, зависимость уз(С) находится из уравнения (14) при помощи одной квадратуры. 3) гг~ = 1(Я. П этом случае корни иг и из м~огочлена С(и) совпадают, причем иг = из = — и„и мы приходим к задаче о коническом Так как эллиптпическая функиия зи т имеет период 4К(й), где К(й) полный эллиптический интеграл первого рода, то зпзт имеет период„ вдвое меньший. Поэтому и = иг для т = 2пК(й) и и = из дгя т = = (2п+ 1)К(й) (п = 1, 2,...). Следоватезгьно, угол й периодически ко- леблется между значениями дг и Вз.
Период зс этих колебаний вычис- ляетсн по формуле Глава Х! маятнике. Угол В при движении постоянен, В = В, = вгссоаи,, > 2' Материальная точка движется по окружности радиусом 1гйпВ, в горизонтальной плоскости г = г, = 1созВ, < 0; время ее обращения по окружности равно 2я1! — —. Стержень, на катарам закреплена точка, 1 д аписььеает поверхность конуса с осью симметрии Ог. В 3.
Скобки Пуассона и первые интегралы 166. Скобка Пуассона. Пусть и и и — дважды непрерывно дифференцируемые фупкпии от у,,..., да, ры..., р„, а Выражение ( ) - / ч !дида дида) ~ ' ~, дрл др; др, дрл / ь=1 называют скобкой Пуассона функций и и и.
Отметим основные свойства скобки Пуассона. Пусть и, и, и! --. дважды непрерывно дифференцируемые функции переменных Вы В,Ры ° ° °, Рао 1. Тогда 1) (и, е) = — (и, и), 2) (си, и) = с(и, и) (с = сопз1), 3) (и + и, и) = (и. и) + (о, и~), 4) д (,,) ди и +, де 5) ((ив с), и) + Ии, и~), и) + ((и, и), и) = О. Первые четыре свойства непосредственно вытекают из определенин (1) скобки Пуассона. Пятое свойство, называемое тождеством Пуассона, более громоздко для доказательства, хотя также несложно. Для сокращения выкладок можно использовать то обстоятельство, что каждое слагаемое в левой части тождества 5 есть произведение частной производной второго порядка на две частные производные первого порядка. Поэтому, чтобы показать, что левая часть тождественно равна нулю, достаточно убедиться в том, что она не содержит ни одной производной второго порядка, например, от функции и (так как и, и.
и входят в тождество 5 симметрично). Вторые производные от и могут дать первое и третье слагаемые в 5. Их сумму на основании свойств 1 и 2 можно записать в виде ((и, и), и) Ь ((и~., и), и) = (и, (и, и)) — (и, (и, и)). 1 Сь Скобки Пуассона и первые интегралы Теперь уже нетрудно непосредственным вычислением проверить, что правая часть этого равенства не содержит вторых производных от функции и, 167. Теорема Якоби — Пуассона.
Пусть переменные о1, р; удовлетворяют дифференпиальным уравнениям Гамильтона 11рл дН аг др,' — — (1=1, 2,..., и). арг дН д1 дрл ' (2) Дли того чтобы функция 1(уо и;, 1) была первым интегралом, необхо- димо и достаточно, чтобы ее полная производная по времени, в силу уравнений (2)., тождественно равнялась нулю: с(Г'/й1 = О. Выразим зто условие через скобку Пуассона. В силу (2) имеем и п 1=1 1=1 Применяя обозначение (1) для скобки Пуассона, необходимое и доста- точное условие того, что 1 — первый интеграл, можно записать в виде равенства — + (У, Н) = О. д1 /1окагательство.
Пусть 11 и )2 - - первые интегралы. Тогда, согласно (3), дг1 дгз -~-(1'1, Н) = О,, -~-(12, Н) = О, (4) а нужно доказать, что д(21 У2) +Щ,,6), Н) =О (б) Преобразуем левую часть этого равенства. По свойству 4 скобок Пуассона имеем (Л~У2) ~Уз + 21 Имеет место следующее замечательное утверждение. Теорема (Якоби — Пуассона).
Если 11 и 12 первые интегралы системы (2), то из скобка Пуассона (1„12) также будет первым интегралом этой системы. Глава Х! Если тепеРь пРоизвоДные дргггд! и д~г!гд! заменить на их выРажениЯ из равенства (4) и затем воспользоваться свойствами 1 и 2 скобок Пуассона, то получим д (Л,Л) = — ((Л,Н),Л) — (Л,Уг,Н)) = ((Н,Л):Ь) -'((Л,Н),Л). Подставлял зто выражение в левую часть равенства (5), получаем ее в виде ((Нг Уг)г!2) Ч ((зггН)г!1) + ((Л !2)гН) ° Из свойства 5 скобок Пуассона следует, что последнее выражение тождественно равно нулю, что н доказывает справедливость теоремы Якоби-Пуассона.
ПРимеР 1 (ДВижение гмАтеРиАльной тОчки НОД ДейстВием пРитя- ЖЕНИЯ К ЗАДАПНОМР ПЕНТРР 0). Пусть ОЧ,Ч,Ч, — неподвижная прямоугольная декартова систе ка координат, а П(с), где гг = Чг + Ч'- + Чг, потенциая силы притнжения. Если миссу точки принять за единицу, то для функции Галильтона имеем вьгражение Н = 1(рг + Рг + Рг) + П(с). Пуст в Л = Чгрз — Чзрг .гг Чзр1 Ч1РЗ. Проверка показывает, что (!1. Н) = О и (Гг. Н) = О, т. е.
Гг и Гг первые интегралы. Они представлягот собой проекции момента количества движения ягатериалвной точки относилгельно центра О (этот момент постоянен, так как рассматриваемое силовое поле является ценгпральным) на оси ОЧ1 и ОЧ2. Согласно теореме Якоби-.Пуассона, функция (Гг, !2) тоже должна бьппь первым интегралом. Плеел ч гсдЛ д,6 П~г дГ2') 'гд д.
д д./ Чг Рг Рг ЧЦ Полученный интеграл есть проекция лолента количества движения на осв ОЧз. Моясет показаться, что теореми Якоби — Пуассона всегда позволяет по двум известным иервылг интегралал найгпи еще один первый интеграл, затем еще один и так далее до тех пор, пока не будет получено количество первых глнтегралов, необходимое для построения общего интеграла системы (2). Это далеко не так. Яа практике скобгга Пуассона чисто может битв либо константойг либо функцией известных первых интеграяов. 337 З 4.
Канонические преобразования г7ля того чтобы молсно было надеяться получить из двух первых интегралов много или далее все первые интегралы, недостающие для построения общего интегр ла, надо, чтобы хотя бы один из двух известных исходных первых интегралов был, характерен для рассматриваемой частной задачи, чтобы оп нак можно полнее отража.г физическую сущность именно данной задачи. Если за исходные первые интегралы брать интегральб вытекающие из основных, общих для всех систем теорем динамики, то вряд ли в общем случае можно надеяться на зффективиое применение теоремы Якоби — Пуассона. 3 4. Канонические преобразования 168.
Понятие канонического преобразования. Рассмотрим гамильтонову систему дифференциальных уравнений в векторноматричпой форме Здесь х — 2п-мерный вектор-столбец,х' = (д', р'), ч' = (дм ° . дн), р =(р ° р)", Д= Е 0 (2) Е„единичная матрица и-го порядка. Н = Н(х, 1) --- функция Га- мильтона, Н, — матрица-строка размером 1 х 2п, Н, = (Нч, Н,) =1Н„,..., Н,„, Нт,..., Н,„).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
