1611690520-cad13a71384007d4c452b5b97d2163c9 (826920), страница 55
Текст из файла (страница 55)
что (18) Рассматривая каждую из величин уг (1 = 1, 2,..., й) как сложную функцию и уг(х1(е), хг(1),..., хь(е)), имеем Глава Х1 гдо г' — первый интеграл системы уравнений (1) (а также и систе- мы (17)). Умножив обе части зтого равенства на определитель (15) н воспользовавшись формулой (20), получим д(хы хг, ..., хл) д(хы хг, 'сь) о(уг уг. уь) д(уз ° уг, уь) (су =сопзФ; 1=1, 2, ..., Й вЂ” 2), т. е. длн получения общего интеграла недостает одного первого интеграла, Введем новые переменные уы у, ..., Ул по формулам Уз=хг Уз=хг Уз=Л ° ° Уь=Ь вЂ” г.
Тогда при г > 3 1) = Х(уг) и в новых переменных система уравнений (1) станет такой: ду, с1уг с1уз дуь 1; 1г О ''' О ' (22) т. е. сводится к одному уравнению (23) 1гдуг 1здуг = О, в котором уз,..., Ул рассматриваютсн как постоянные. Если бы был известен множитель М для переменных хы хг,..., хь, то, согласно теореме об инвариантности множителя, функции о(х1 лг~ . ~ хь) д(уы уг, -", уь) (24) была бы множителем для переменных уы уг, ..., Уь, т. е. удовлетворила бы уравнению ~ д(М*1;) ду; 3=1 Но мы показали, что Мо' — множитель для переменных уы уг, ..., Уь.
А так как г" — первый интеграл, то, согласно п. 161, фУнкцин Мо'Р' также ЯвлнетсЯ множителем. Таким образом, мы доказали теорему об ипвариаптности множителя: если М --- множитель для переменных хы хг, ..., хь, то его произведение но янобиан (15) есть множитель для новых переменных уы уг ° ° уь" Свойство инвариантности является основным для практического применении теории множителя. Предположим, что известны 1 — 2 независимыл первых интеграла системы дифференциальных уравнений (1) 8 1. Множитель Якоби которое с учетом того, что У( = О прн (', > 3, имеет вид д(М*У() д(М*1з) + ду( ду, (25) Последнее равенство означает, что функция М* является интегрирующим множителем Эйлера длл уравнения (23), т.
е. выражение М'(Узду( — У(дуз) будет полным дифференциалом. Следовательно, недостающий первый интеграл может быть записан в виде М*(~гйу( У(йуз) = сопИ. (26) п=ашхп. Уравнение движения шара получим в форме уравнений Аппеля. Энергия ускорений вычисляется по формуле (см. п. 159, 160) Е = — ти(г + (Арг ь Воз + Сгз) -ь 2 2 + (С вЂ” В) уг р + (Л вЂ” С) грц + ( — А) р ус, (27) (Ига звлвча рамена С.А. Чаплыгиным а его работе «О катании марв по горизонтальной плоскости» (смз Чаплыгин С, А. Собр. соч. Т. 1, Мп Лз Гостехиздат, 1948.. С. 76 — 101).
Функция М* носит название пос геднего мнолсителя» или последнего множителя Якоби. Таким образом, если для системы (1) известен какой-либо множитель, то ее интегрирование требует нахождения не й — 1, а лишь й — 2 независимых первых интегралов. Нахождение последнего недостающего интеграла сводитсн к квадратуре. ПРимеР 1 (НАчение неОднОРОднОГО ШАРА по плОскОсти ). Рассмотрил( движение шара по неподвижной горизонтальной плоскости. Шар считием неодпорпдным, его центр масс совпадает с геометрическим центром, движение происходит без скольжения. з(волнение отнесем к системе Схуг, образованной главными центральными асями инерции.
Пусть и радиус, А, В, С моменты инерции относительно осей Сх, Су, Сз, а гп — масса шара. Если и' = (с,, пл, и,) — скорость центра шара, а ш' = (р» о, г) УгловаЯ скоРость, и' = (7ы тз, .1з) — единичный вектоР, напРавленный вертикально вверх, то условие отсутствия скольжения (равенство нулю абсолютной скорости точки В шара, которой он касается и (оскости) запишется в виде 322 ?лава Х? где ш' = (и~~, шю и„) — ускорение центра шара. Из (26) получаем ш = сз(ы х и + из х п + ьз х (из х и)] или шз = а]Ч7з — руз + Ч7з — с7г + Рып — 7зьз ], ' = а]с» — Р7 + лй — Р7ьз+Чш. — с ~г] ш» = а]Р7г ЧУ1 ЬР7г 971 + Гыд 7зы ].
(28) Азр+ (Аз — Лг)чс = пиг 7з(Р7з -~- Ч Уг + 67з), Аг г) + (Аг — Аз ) гр = ти 7г (р?з + Ч уг + р-уз), Азс+ (Аг — Аг)РЧ = то, 'уз(Р7з + с]7г + т уз), (29) где Лз — — А+та", Аг — — В+таз, Аз = С-'ь таг, Уравнения (29) совместно с уравнениялси Пуассона (см. п. 114) 7з = с7г — Ч'уз 'уг = Р7з — с ~з 7з = Ч7з — Р уг (30) образуют замкнутую систему уравнений, описивающую движение шара относительно его центра масс. Если она проинтегрирована, то траектория центра масс находится из уравнений (26) при помощи квадратур. Покажем, что интегрировиние системм уравнений (29), (30) сводится к квадратуралс Уравнения (29), (30) имеют интеграл эпергии — (А,р + Агц + Азс ) — — та ш„= й = сопз$.
1 г г, г 1 г г (3Ц Интегралами будут также величина вектора кинетического момента шара относительно точки В касания его с плоскостью (ЛгР— ти 71ы„) + (Лгу — ти 7гьз ) ~ (Лзс — та 7зьзе) = сопзФ (32) и проекции этого вектора на вертикаль Азр7з + Агц'уг + Азс7з — та"ыо = сопз$,. (33) Здесь ш„= Р уз + Ч уз + с уз -" проекция вектора ьз на вертикаль. Принимая величинм Р, Ч, т за псевдоскорости к~., кг, Уз и замечая, что обобщенние сали Пм Пг, Пз равняются нулю, из уравнений Аппеля получаем З С Множитель Якоба Кроле того, существует очевидный геол«етрический интеграл 7« + 7г + 7з = 1. 2 3 з (34) льп — — (Аьр — таз7ььоо, Азу — таз7зшоь Аз« вЂ” таз узш ) Отсюда и следуют интегралы (32) и (33). В существовании упо янутых интегралов можно убедиться и непосредственно, вычислив полные производные по времени от правых частей равенств (31) — (33) в силу уравнений движения (29), (30) и убедившись, что эти производньье тождественно равньь нулю.
Указанных четырех интегралов достааьочно, чтобы интегрировиние систел«ы (29), (30) можно было свести к квадратурам. Чтобы в этом убедиться, достаточно найти множитель Якоби М. Разрешив уравнения (29) относительно производных, получи Р = — [(Аз — Аз)Ч«+ 7«~Р], 1 Аз Ч = — [(Аз — Аь)гР У- УзУ], 1 Аз т = — [(Аь — Аз)РЧ + 'Узд], 1 Аз (35) где 1 У'Аз — Аз Аз — Аь Аь — Аз ьо = — ( Чьйг + Узгу+ УзРЧ Аз Аз Аз (36) (37) Интеграл (31) следует из теоремьь об изменении кинетической энергии (см.
п. 88: ьевая часть (31) есть ьтнетическая энергия шара: она постоянна, так как работа внешних сил„приложенных к шару, равна нулю). Существование инпьегралов (32) и (33) следует из теоремы об изменении кинетического момента в ее общей форме (см. формулу (7) п. 87). Действительно, момент внешних сил (силы тяжести и реакции плоскости) относительно точки касания шара и плоскости равен нулю. А так как скорость «геометрической тонкие, которая «вычерчивает сньедз шари на плоскости, очевидно, равна скорости центра масс шари, то из теоремьь об изменении кинетического момента следует, что кинетический момент И«э шара относительно точки касания остается во все время движения неизменным.
Но, воспользовавшись формулой (4) п. 81, легко получить, что 324 Глава АХ Множитель М удовлетворяет уравнению — (ЛХф) + —,(Мо) + —,(Мт) -~-, (ЛХ7~) -~-, (Муз) -~- (М7з) = О, д д . д д д д др дд дт дуз д7г д7з гдер, д, т, уы 7г, 7з -- правые части уравнений (35) и(30). Учитывая (30), уравнение для множите т можно преобразовать к такой форме: М-ьМ( —,+ — + — ~ =О. ХП11 дй' дт'~ (ч др гЭд дт) (38) Подставив в выражение, стоящее в скобках, правые части уравне- ний (35) и произведя необход мые дифферениирования, получим урав- нение (38) в виде т7г У7з Р7з ь" й 97ь Р 1з М+М л 7+,л 7 + й 7з) =О.
ь г 3 Учитывая (30) и (37), имеем окончательно 2ХМ вЂ” МХ = О. УНРЛЖНЕННЕ 1. Показать, что для построении общего интеграла урав- нений (32), (35) и. 105 помимо трех интегралов (36), (37) и (38) доста- точно найти еще только один первый интеграл. 163. Приложение теории множителя к каноническим уравнениям. Пусть движение материальной системы описывается каноническими уравнениями Гамильтона: йй* дн й1 др,' — — — (1 =1,2, ...,п).
ПР~ дН й1 дйк (39) В симметричной форме зта система уравнений запишется в виде йуь ййь йрз йР йХ дН ПН дН дН дра дс1„ Интегрирование этого уравнения дает такое вырахтение для множите- ля: М = счг7 (с †. произвольная постоянная). Из теории последнего множителя Якоби следует теперь, что интегрирование систем диф- ференциальных уравнений (29), (30) сводится к квадратурам. 32 "г 'З 1. Множитель Якоби Так как д дН + + д дН + д дН вЂ” -~- .
= Ог то для канонической системы уравнений существует множитель М = 1 (см. замечание в конце и. 161). '1'ак как длн системы (39) мноягнтель известен, то для построения ее общего интеграла достаточно знать не 2п, а 2п — 1 первых интегралов. Построение 2п-го интеграла сводится к квадратуре. Отметим еще одну возможность упрощения задачи интегрирования канонической системы уравнений. Пусть функция Гамильтона Н не зависит нано от времени. Тогда, отбрасывая в уравнеяиях (40) последшою дробь, содержащую д1, получим систему из 2п — 1 уравнений, которан по-прежнему имеет множитель М = 1. Поэтому для построения ее общего интеграла достаточно знать 2тг — 2 первых интеграла.
Но так как в рассматриваемом случае материальная система является обобщенно консервативной, то один интеграл нам известен заранее. Это обобщенный интеграл энергии Н = 1г = сопз1 (см. п. 161). Поэтому для построения общего интеграла достаточно знать еще 2п — 3 первых интеграла. Если, например, и. = 2, то кроме интеграла энергии Н = й достаточно найти еще только один первый интеграл. ПРИМЕР 1 (ОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА ТРЕХ тЕЛ (СМ.
И. 124)). Пусть тачка Р малой массы движется под дей- Р ствием притнхсения двух точек Б и У г, конечных масс, не оказывая влияния на движение пос гедпих. Будем считать, что точка,У двихсется относительно О точки Б по круговой орбите, а точ-,и У-г х ка Р движется в плоскости этой орбиты (т. е. рассматривается так но- рис. 138 зываемая плоская круговия ограниченная задача трех тел). Пыберем единицы измерения такг чтобы сумма масс точек 5 и,У, неизменное расстояние между ними и период их обращения по орбитам равнялись единице. Пусть т - масса точки Р, а 1 — 1г и р массы точек Б и,У соответственно. Движение точки Р будем рассматривать во врагцаюгцейся системе координат Оху с началом в центре масс точек Б и,У и осью От, направленной на то игу,У (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
