1611690520-cad13a71384007d4c452b5b97d2163c9 (826920), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Путь, пройденный ракетой на активном участке траектории, зависит от закона сгорания топлива. Полагая, что х = 0 при 1 = О, из (7) получаем х = оо1 -~- нв / 1н вИ. Мо о 134. Вертикальное движение ракеты в однородном поле тяжести. Пусть ракета движется вертикально вверх в однородном поле тяжести при отсутствии сопротивления среды, Ракету принимаем за материальную точку. Начальная скорость ракеты равна нулю, начальная масса Мо. Относительная скорость и„отделения продуктов сгорания топлива постоянна и направлена вертикально вниз.
Требуется найти скорость ракеты и высоту ее подъема как функции времени, считая, что закон изменения массы ракеты со временем задан. На ракету действует внешняя сила — сила тяжести, направленная вертикально вниз. Примем прямую, по которой движется ракета, за ось Ог (рис. 133). Проектируя обе части уравнения (4) на ось Ог, получаем М вЂ” = — Ма — и,. й1 дМ в11 Ф 'г 2. Двигкение материальной точки переменного состава 261 Интегрируя это уравнение, находим зависимость скорости ракеты от времени Мо М(1) (10) (и) Пусть масса ракеты изменлется по экспонепциальному закону: з М М вЂ” аь (12) где а — постоянный положительный коэффициент, характеризующий быстроту сгорания топлива. Масса Мг отброшенных продуктов сгорания возрастает по закону Мг = Мо(1 — е ).
Длн величины Ег реактивной силы, согласно первой из фор- и, мул (1) п. 132, получаем выражение Рь = аМое 'гь„= ан„М, т. е. величина аи„есть ускорение, сообщаемое ракете за счет реактивной силы. Для закона изменения массы (12) из (10) и (11) получаем о = (аи, — д)1ь г = — (аие — д)1 . (13) Отсюдаь в частности, следует, что вертикальный подъем ракеты возможен только при аие > д; Это означает, что ускорение ракеты за счет реактивной силы должно быть больше ускорения свободного падения.
Пусть запас топлива Мт задан. Из (12) найдем вромп 1к сгорания топлива. Так как в конце процесса сгоранил М = Мк, то из (12) получаем Мк = Мое Если положить, что при 1 = 0 г = О, то, проинтегрировав (10), найдем, что зависимость высоты подъема ракеты от времени задается форму- Лой 262 Гавел 1Х Учитывая„что Ме — — Ми+Мт и вводя обозначение /4 = 1п(1+Ми/Мл), получаем отсюда (14) Из (13) следует, что скорость еи ракеты в конце процесса сгорания топ- лива и длина «н активного участка траектории ракеты определяются формулами а) 2аз (15) После сгорания топлива, т.
е. при 1 > 1и, масса ракеты остается по- стоянной, и, имея при 1 = 1н скорость ин, она пройдет до наибольшей высоты под ьема расстояние в — — — — (и„— —,„) (16) Ри;(и 1) Отсюда следует, что при возрастании а растет и наибольшая высота подъема ракеты, Наибольшан высота 6,„в соответствует случаю а = оо, т. е. случаю мгновенного сгорания топлива. При этом /4« ~п~вх 2л (18) Найдем, при каком значении а длина «н активного участка будет наи- большей. Из (15) имеем д«л- з 2л — аи, д «и з аи„— Зд. 3 (19) Да 2аз ' Даз а4 Отсюда следует, что при а = 2л/и„, т. е когда ускорение, сообщаемое ракете реактивной силой, вдвое больше ускорения свободного падения, величина «и будет максимальной.
Из (15) находим. что у«из «К 1юзх 8л ' Для полной высоты подъема й = «и + в из (15) и (16) получаем выра- жение Г) Я. Уравнения дои агния тела ччграагяяага состава. При етом длн высоты 6 подъема ракеты, согласно (17), получаем Дз 2 6= т. е. при наибольшей длине активного участка траектории ракеты пол- ная высота ее подъема вдвое ме~ыпе паиболыпей возможной высоты, задаваемой равенством (18). 2 3. Уравнения движения тела переменного состава 135. Движение вокруг неподвижной точки. Твердььн теггом ларслчепнога состааа будем называть такую механическую систему, которан образована материальными точками Р (чи = 1, 2, ..., )х"), рас.- стонние между которыми остается постоянным.
причем хотя бы одна из точек Р нвляетсп материальной точкой переменного состава. Если т (1) — масса точки Р„, то чи (() = гп. (О) — чп ч(С) + тп зЯ (и = 1, 2, ..., )'ч'), (1) ч(Хо (е) (Г) ч(1 + ьч х Хо = Мо + Мо (2) где д)чч(( означает локальную (в системе Отрз) производную, М) (г) главный момент внешних сил относительно точки О, М вЂ” дополнибр) тельный момент, возникающий за счет того, что тело имеет переменный состав. Найдем вектор Мо . Пусть Ьчп ч масса частиц, отделившихсл (р) от точки Р, чзт з — масса частиц, присоединившихся к точке Р за время Ьй Если и ч и и„г — абсолютные скорости отделпчощихсп где чи„ч(1) (т,з(1)) сумлчарнал масса частиц, потерянных точкой Р за время ( (соответственно присоединившихся к точке Р ).
Неотрицательные неубывающие функции т ч(1), т з(() считаем непрерывными и дифференцируемыми. Пусть твердое тело переменного состава имеет одну неподвижную точку О. Длн получения дифференциальных уравнений движения тела воспользуемся теоремой об изменении кинетического люмента системы переменного состава. Пусть система координат Ожрг жестко свнзана с телом, а Хсч кинетический момент тела относительно точки О.
Если ач угловая скорость тела, то из равенства (7) и. 131 получаем 264 1")1аеа 1Х ЬКо1 = ')" Ьт 1Р х и 11 и=1 (3) Ь Коз = х ~Ьт зри х низ, где р — радиус-вектор материальной точки Р„ относительно неподвижной точки О тела. Из (3) и формул (8) п. 131 получаем и=1 Пусть е — скорость точки тела Р,а и и ни †соответствен(и) ( ') но скорости присоединяющейся и отделяющейсн частиц относительно ТОЧКИ Р . ТОГДа ии; = Еи + Н ', (1 = 1, 2), ЧтО ПОЗВОЛЯЕТ ЗаПИСатЬ (1) равенство (4) в таком виде: (К) Ч ( ЙИ1 1 ( ) <авил МО =~ риХ вЂ” 4 Ии1+,р Пил/~ и=1 и (б) При помощи соотношения (1) зто равенство приводится к виду и=1 и=1 Согласно уравнению (3) п. 132, перваи сумма в (6) представляет собой главный момент М, реактивных сил относительно точки О. (и) Замечая, что и = ы х р и проводя преобразования, совершенно аналогичные преобразованиям, проведенным в п.
82, получим, что вторая сумма в (6) равна — ы, где Л вЂ” матрица тензора инерции тела для 11Л й точки О (которая является функцией времени). Таким образом, дополнительный момент М,, появляющийся за счет того, что рассматри(и) ваемое тело является системой переменного состава, может быть представлен в форме Мо ™о + 1('". (к) (и) Я 111 (7) и присоединяюп(ихся частиц в момент времени 1, то с точностью до членов первого порядка малости относительно Ьт,1, Ьт„з, Ь( имеем 268 З 3.
Ураоненил доигненил тела иерелгенггого состава Согласно формуле (9) и. 82, кинетический момент тела 2?и может быть записан в вида Ко = Лы. Отсюда и из равенств (2)г (7) получаем — иг + Л вЂ” + со х Лиг = М( ) + М( ) + — иг, гХУ сй О О сй или Л сУ + иг х Лиг = М( ) + ЛХ("). с(г о о . (8) Если,У,,Уи,,У, и,У,„,,У „,У„, --. осевые и центробежные моменты инеРции, а Р, гУ, г — пРоекцин Угловой скоРости тела на оси Отг Оу, Ое, то векторное уравнение (8) запишется в виде трех скалярных уравнений (3) и. 97, в правых частях которых появятся дополнительные слагаемые Ме, М„, М,, являющиеся проекциями момента реактивных () () () сил на оси Оа, Ор, Ое.
В общем случае, когда момент внешних сил зависит от ориентации тела в пространстве, при исследовании движения тела вокруг неподвижной точки к этим уравнениям надо добавить еще три кинематических уравнения Эйлера. Если в процессе отбрасывания и присоединения частиц оси От, Ор, Ол остаютсн главными осями инерции. то скалярная форма уравнения (8) примет форму динамических уравнений Эйлера: А — +(С вЂ” В)гу =М +ЛХ("),  — + (А — С) гр = Ма + М,('), С вЂ” 'г + ( — А)ргу = М, + ЛХ("), с(1 л (9) Л,~ ' = М„+М("). (10) Это и будет дифференциальным уравнением вращения твердого тела вокруг неподвижной оси Ол.
От соответствующего уравнения для тела где А, В, С вЂ” моменты инерции тела (зависящие от времени) относительно осей Оац Од, Ое, а Ме, Ми, М, — проекции главного момента внешних сил на зти оси. 136. Вращение вокруг неподвижной оси. Пусть Ое --. неподвижная ось, вокруг которой вращается тело переменного состава. Тогда р ив л О, гу = О, г = го,(с). Для получения уравнения движения тела спроектируем обе части векторного уравнения (8) на ось Ож Получим Олова 1Х постоянного состава оно отличается наличием в правой чести дополнительного слагаемого М,, являющегося проекцией момента реактивных сил на ось Ог, и тем, что момент инерции .7, тела относительно этой оси явлнется переменной величиной. Примнр 1. Тело, имеющее форму кольца радиусом г, вращается под действием постоянного момента М вокруг неподвижной вертика гьпой оси, совпадающей с осью симметрии.
Когда тело приобрело угловую скорость ыо, потребовалось затормозить его. Для таких целей на внешнем ободе кольца на противоположных концах диаметра установлены два реактивных двигател я. Относительная скорость истечения газов в двигателях направлена по касательной к ободу кольца и равна и; секундный расход топлива равен у, начальный момент инерции тела с топливом равен дс. Требуется найти расход топлива, необходимый для полного торможения тела. Гогласно (10), дифференциальное уравнение, описьявающее вращение тела, будетп тпаким: (Тс — йг 1) — = М вЂ” йиш ,,2 сии й1 Торможение вращения тела возможно, если величина реактивного момента достаточно велика (уиз > М). Решив уравнение (11), получим зависимость угловой скорости тела от времени: ~~~ — М гс ы(С) = ьзо+ 1п ~1 — — Е(.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
