1611690520-cad13a71384007d4c452b5b97d2163c9 (826920), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Пусть оо — о + ы х р скорость точки Р шара и птг ф О. Тогда реакцию плоскости В можно представить в виде (4ое) где Лн — нормальная реакция плоскости, а л — сила трения, которая при заданном козффицненте трения Й определяетсн равенством (46) Уравнение связи, как и в случае абсолютно гладкой плоскости, записывается в виде равенства (41), а величина пормадьной реакции вычисляется по формуле 143). При исследовании движения во всех трех рассмотренных случанх следует иметь в виду, что величина нормальной реакции плоскости должна быть неотрицательной. В противном случае возможен подскок тела над плоскостью. ~ ЛЛВД У1П Элементы небесной механики В 1. Задача двух тел 115.
Уравнения движения. Небесная механика изучает движение небесных объектов, естественных и искусственных, под действием сил гравитационного взаимодействия тел, сил сопротивлений, вызываемых наличием пылевых, газовых и других сред, сил светоного давления и т. и. Важнейшей для приложений задачей небесной механики является задача двух тел, а точнее — задача двух материальных точек. Задача двух тем состоит в следующем.
В пустом пространстве движутся две материальные точки, притягивающиеся одна к другой по закону всемирного тяготения Ньютона. Заданы начальные положения точек и их скорости. Требуется найти пололсепия точек для любого последующего момента времени. Эта задача явлнетсн основной в пробх Р г леме движения планет Солнечной системы и искусственных спутников Земли, Луны и планет, так как в большинстве случаев силы Р О взаимного притяжения планет, силы притя- л жения спутника Земли планетами„силы со- К противлении космической среды, силы свех тового давления и т. и.
малы по сравнению с силами гравитационного притяжении пла- О, у исты и Солнца или спутника и Земли. Замечательно то, что интегрирование Х дифференциальных уравнений движения в Рис. 120 задаче двух тел сводится к квадратурам. Для получения уравнений движения введем инерциальную систему координат О Ху л; се начало совпадает, например, с центром масс Солнечной системы, а оси направлены на неподвижные звезды.
Положения материальных точек Р и О задаются их радиусами-векторами р и М соответственно (рис. 120). С точкой О свяжем поступательно движущуюся систему координат Охйз, оси которой параллельны соответствующим осям системы ОеХРЯ. Положение точки Р относительно точки О задается радиусом-вектором г. 235 З С:5адаза двух тел Пусть М и т — массы точек 0 и Р соответственно, а у — универсальная гравитационная постоянная. Со стороны точки 0 на точку Р действует сила У,определяемая законом всемирного тяготения: Со стороны же точки Р на точку 0 действует сила -Р. Радиусы- векторы р и Л удовлетворяют дифференциальным уравненинм М гз 'у г~ ДЛ >нг »гз гз = у —,г.
Так как г = р — Л, то отсюда следует, что — = — у — г — у — г = — у(т+ М) —. ерг М >и г лев, 3, 3 гз Если ввести обозначение й = у(т + М), то получим >Рг йз гз' Это уравнение определяет движение точки Р относительно точки О. Если вектор-функция г = г(1) найдена, то определение движения относительно системы координат О,ХУУ не представляет труда. Действительно, пусть С вЂ” центр масс точек Р и О. Так как точки Р и О образуют замкнутую систему, то, согласно теореме о движении центра масс, точка С движетсн равномерно и прямолинейно; ее скорость полностью определнется вачальиыми скоростями точек О и Р. Если Во радиус-вектор центра масс, то р = Ле>+ >', 1С = Ле> — г. М т ги+ М т+М (2) г хо=с.
116. Интеграл площадей. Второй закон Кеплера. Дифференциальное уравнение (1) описывает движение точки Р в подвил>ной системе координат Охух. Это уравнение можно (а для дальнейшего очень удобно) интерпретировать как дифференциальное уравнение движения точки Р относительно неподвижного притягивающего центра 0 под действием центральной силы, раниой — т>ег)гз. Согласно теореме об изменении кинетического момента, момент количества движения точки Р относительно точки 0 остается постоянным. Отсюда следует, что 236 Глава ЛП са = уз — уз, св — — зт — зж, с, = ту — зу, (3) в которых правые части вычислпются для любого (например, начального) момента времени.
Если с = св — — г, = О, то, очевидно, движение точки Р происходит по прямой, проходпщей через точку О. Если же хотя бы одна из величин (3) отлична от нуля, то вектор г во все время движения лежит в одной и той же фиксированной плоскости, которая перпендикулярна вектору с. Уравнение этой плоскости имеет вид с з + сву + с,з = О. Таким образом, орбита точки Р является плоской кривой. Плоскость орбиты однозначно определпется вектором с, или начальным положением гв и скоростью ев точки Р относительно точки О.
Выясним геометрический смысл интеграла площадей. Введем систему координат Отгул, совместив плоскость Олгу с плоскостью орбиты. т.„.;, =., = У . = Рдв-п(.=,Я+.„~',= ~;.~). ПВ- б-- угол, который радиус-вектор г составляет с осью Оз. Тогда у = та1пд, з = гсоад, :г, = гсовд — 0гз1пд, у = гв1пд+дгсоад. Отсюда и из выражения для с; получаем полярную форму интеграла плошадей: 2 ЦВ а1 (5) Пусть теперь Р и Р' (рис. 121) — положения, которые занимает точка Р в моменты д и 1+ Ы, где Ы вЂ” малая величина. Для площади криволинейного треугольника ОРР' с точностью до величин первого порядка малости включительно относительно Ьд имеем выражение 3Я= 1 Ьд.
2 Разделив обе части этого равенства на 21 и устремив Ы к нулю, по- лучим НЬ' 1 зад — = — г 02 2 Ф' (6) Это соотношение носит название интегр ла площадей. В нем и = г— скорость точки Р относительно точки О, с — векторная константа интеграла плошадей. Проекции вектора с на оси системы координат Ощуз определяются по формулам 237 Гз 1. Задача двух тел Производная 83781 в механике называется секторной скоростью. Из (5) и (6) для нее получаем выражение дЯ 1 су. Фг 2' Таким образом, секторная скорость точки Р постоннна. В этом состоит геометрический смысл интеграла плошадей. Отсюда следует второй закон Кеплера: площади, заметенные радиусом-вектором, иду- у щим от Солнца, к планете, пропорциональны промезкуткам времени, в которые они были за кете- 117.
Интеграл энергии в задаче двух тел, Кинетическая и потенциальная энергия точки Р в ее движении относительно притягивающего центра О определяются равенствами т Т = — пго 1 г 2 Рнс. 121 Так как других сил, помимо потенциальных, нет и потенциал П не зави- сит от времени, то полная механическая энергия Е = Т+ П постоннна. Таким образом, в задаче двух тел существует интеграл энергии, кото- рый запишем в виде — —" = 6 (6 = совке).
г 26 (7) Константа энергии 6 определяетсн начальным положением и скоростью точки Р: г 26 6=в о сх г= — — (гхг) хт. 6 тз (8) Но таь как с х т = — (с х е) й а'1 Из интеграла (7) следует, что при удалении точки Р от точки 0 ее скорость убывает, а при приближении к точке Π— возрастает. Если 6 > О.
то точка Р может уйти от точки 0 на сколь угодно большое расстонние. Если же 6 < О, то, как следует из (7), расстояние т мелчду точками Р и 0 не может превзойти величину 2ЙД6~, т. е. движение точки Р происходит в ограниченной части пространства. 118. Интеграл Лапласа. Из (!) и (2) следует равенство Глава у111 (г х г) х г = г(г ° г) — г(г ° г) = ггз — ггг = гз = 㙠— (г) равенство (8) можно представить в виде — (с х е) = — Й вЂ” ( —,) . Отсюда следует., что схе+Й вЂ”, и г (9) с 1=0, (10) т.е.
вектор Лапласа ортогонален векторной константе площадей и, следовательно, лежит в плоскости орбиты. Модуль вектора Лапласа можно выразить через величину Й и постоянные 6, с интегралов энергии и площадей. В самом деле, учитывая ортогональность векторов с и е, из (9) имеем 2 =Й вЂ” +се + — (схе) г.
Используя свойства смешанного произведения векторов и равенст- во (2), получаем (с х е) г = -(и х е) с = -с с = -сз. Отсюда и из (7) следует, что соотношение (11) может быть записано в виде (12) 119. Уравнение орбиты. Первый закон Кеплера. При помощи интеграла Лапласа и интеграла площадей можно получить уравнение орбиты точки Р. Из (9) сразу следует, что при с = 0 орбита точки будет прямолинейной: г = — йу. Пусть с ф О, Умножим обе части интеграла Лапласа (9) й скалнрно на г.
Получим равенство г( й Соотношение (9) называется интегралом Лапласа, а вектор у" вектором Лапласа. Знак минус в правой части (9) введен для удобства дальнейшего использования интеграла (9). Из соотношения (9) сразу следует, что 5 6 Задача двух тел Но., так как г (с х в) = — сг, это равенство можно записать в виде — с + 6г = — /гсови, ,г (13) где и — угол между радиусом-вектором г точки Р и вектором Лапласа у" (рис.
122). Угол п называется истинной аномалией. Если ввести обозначения / сг е= —, р= —, 6' 6' (14) то из (13) получим уравнение орбиты точки Р в виде р О 1+ свого' (15) сг е= 1+6— 1г Но константа энергии 6 равна вг — 26/го. Отсюда следует, что орбита будет эллиптической (е < 1), если 6 < О. Это означает, что ве < х/26/гв. Скорости, удовлетворяющие этому неравенству, называются эл гиптическилги скоросяаами. Если 6 = О. т. с. по = ~/Й/го, то е = 1, и орбита будет параболой.
Скорость во —— т/26/го называется параболической. Она нвляется наименьшей скоростью, которую надо сообщить точке Р, находящейсн на расстоянии го от точки О, чтобы опа удалилась на сколь угодно большое расстояние от точки О. Рнс. 122 Соотношение (15) представляет собой уравнение конического сечения, фокус которого находится в точке О. Величина р параметр, е экспентриситет орбиты. Орбита точки Р относительно точки О будет либо эллипсом (е < 1), либо параболой (е = !), либо гиперболой (е ) 1).
При е = О орбита будет окру кностью. Для орбит планет справедлив первый закон Кеплера: пганеты движутся по эглипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце. 120. Зависимость характера орбиты от величины начальной скорости. Первая и вторая космические скорости. Пусть орбита точки Р не является прямолинейной, т. е. с ф О. Если задано начальное расстояние го точки Р от точки О, то характер орбиты точки Р вполне определяется величиной ее скорости св. Рассмотрим зависимость эксцентриситета орбиты от величины со. Из (12) и (14) получаем выражение для эксцентриснтета 240 Глава Ч1П тот 2 = гидо = 7 'о (16) Так как т (( М, то можно считать, что й = 7(т+ М) 7М. Поэтому из (16) следует, что приближенно ег = Яого = 1) —- у' 'го Принимая радиус Земли го равным 6371 км, а величину ло равной 9,82 м/с .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
