1611690520-cad13a71384007d4c452b5b97d2163c9 (826920), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Ь = О. Тогда динамические уравнения Эйлера (35) в случае Ковалевской принимают вид г1р, г1г1 г1г / Ра1 2 — — йг = О., 2 — + гр = ггуз, — = — сгуз (гт = — / (39) г11 ' г1т ' г11 (т С ( и четвертый алгебраический первый интеграл, как нетрудно убедиться непосредственным дифференцированием, опираясь на уравнения (32), (39), имеет вид (40) (р — г1 — гх /г) + (2рй — сг'уз) = сопз1,. Найдено и подробно исследовано также много случаев, когда существуют частные алгебраические интегралы, позволяющие свести интегрирование системы (32), (35) к квадратурам. Но эти интегралы существугот не для всех, а только для некоторых специфически выбранных начальных условий'.
106. Основная формула гнроскопнн. Твердое тело, движущееся вокруг фиксированной в нем точки, для которой эллипсоид инерции г Смл Горр Г. В., Кудряшова Л. В., Степанова Л. А. Классические аадачи динамики твердого тела, Киев: Наукова думка, 1878. 'ай.
г7вижепие твердвгв тели вокруг непвдвижнви тички 207 тела лвляетсн эллипсоидом вращении, называ1от гироскопом. В п. 100 мы видели, что если момент внешних сил относительно неподвижной точки О раве~ пулю., то гироскоп совершает регулярную прецессию вокруг неизменного кинетического момента Аю. Но для того, чтобы гироскоп совершал регулярную прецессию, вовсе не обязательно, чтобы момент внешних сил относительно неподвижной точки был равен нулю. Рассмотрим этот вопрос подробно. Пусть ОХ1'Я неподвижная система координат с началом в неподвижной точке О тела, а Охуг система координат, оси которой направлены по главным осям инерции тела длк точки О. Пусть А, В, С моменты инерции тела относительно осей Ох, Оу, Ог и А = В.
Динамические уравнепил Эйлера (4) в этом случае будут такими: А —; (С вЂ” А)у = Ме, др г11 А — — (С вЂ” А)гр = М, е1ц Др — и' г1г С вЂ” = М,. (41) р = ыз а1пдв яагер, у = ыз а1нйо соа;о, г = ыз сов до Ч-игы (42) Последнее из равенств (42) показывает, что г постоянная величина. Поэтому третье из уравнений (4Ц дает (43) Подставив величины р, Ч, г из формул (42) в первое из уравнений (41), можно найти Ме. Имеем е1р Ме = Аыг а|иди соз 1в — + (С вЂ” А)ыз сйп йв соз 1е(ыз соа до + ы1). гй Углы Эйлера гр, й, р вводим обычным образом; кинематические уравнения Эйлера имеют вид (5).
Найдем условии, при выполнении которых гироскоп может совершать регулнрную прецессию вокруг оси Ол с заданными постоянными значениями угла нутации (й = до), угловой скорости собственного вращения (ф = иг1) и угловой скорости прецессии (1у) = ыг). Иными словами, надо найти, каким должен быть момент внешних сил Мо относительно точки О, чтобы была возможна регулярная прецессии гироскопа с заданными величинами дв, ыг, игз.
Для заданных величин й, Д гр кинематические уравнения Эйлера (5) принимают вид 208 Глава У11 Подставив сюда вместо производной Жр~гй ее значение шы получим ЛХз = шгшз ею до сов У [С+ (С вЂ” А) —, созда] . шг (44) Аналогично, из формул (42) и второго из уравнений (41) получим М„= — ыгьз„в|пд~ з1п|р [С + (С вЂ” А) — г сов д~] . (46) Мо = озг х ьоз [С -ь (С вЂ” А) — сов до] .
шг шз (46) Отсюда видно, что вектор Мгз постоянен по модулю и параллелен линии узлов ОХ. Формула (46) называется основной формулой гироскопии. Она позволяет по заданным моментам инерции А, С, углу нутации Уо и векторам угловых скоростей шз, ьог найти момент Мсы необходимый длл осуществления регулярной прецессии. Отметим, что, в отличие от случая Эйлера, рассмотренного в и. 100, здесь кинетический момент Ксз не остается постоянным; он движетсп в соответствии с теоремой об изменении кинетического момента дКгз — = Мсз. й1 (47) Последней формуле можно дать весьма удобную и широко распространенную интерпретацию: скорость конца вектора Ксз равна Мсз (теорема Резаля). Пгимпг 1. Центру основания однородного кругового конуса массой т, высотой й и с углом при вершине 2о, вершина О которого закреплена и который может катиться без проскальзывания по неподвижной гориэонтильной плоскости, сообщается горизонтальная скорость о.
Найти равнодействующую (величину, направление и точку пр ложения) реакции плоскости и реакции в неподвижной гаечке, возникающих во время дальнейшего двилсения конуса. Пусть (рис. 106) С - центр масс конуса, Л вЂ”. радиус его основания, а С и А — его моменты инерции относительно оси симметрии и оси, проходящей через вершину и перпендикулярной оси сим.нетрии. Тогда ОС = — 6, С = — тйг, А = — т(Вг -ь 41ьг). 3 3 2 3 4 ' ' Г0 ' 20 Замечая, что в системе координат Охуг вектор шь имеет компонен- ты О, О., шы а вектор шг — — компоненты ыг сйпйо сйпуц огз сйпдо совр, шг сое Уо, можно три формулы (43) — (46) записать в виде одного вектор- ного равенства 'в г. Пвиже>гие вгеердого тела вокруг неподвижной точ>ги 209 Но П = О>5 = Вдйо, поэтому С = — дп1>эдйэ >д> А = — т1>г(4+ 16г гд).
3 2 3 2 ГО ' ' 20 Кроме того, О>К = Ь, в1п о> 14С = — В сов вв 4 Пусть вектор скорости центра основания конуса перпендикулярен плоскости рис. 105 и напрев ген на чита- > те>т. Так как движение происходит без скольжения, то лггновенная ось вращения конуса направлена вдоль его образующей ОХ. Величина угловой скорости най- О а> деток из равенств»с>, = в = и> О>П. Получим о 6гйио Ы> Конус совершает регулярную прецессию; Рис.
105 угловые скорости и>д и и>д собственного вращения и прецессии направлены как показано на рисунке. Для их величин находим и> о совгд В в1д„ сов, ' и>э =ь>$агд = о 6 сов гд Угол нУтации У (Угол междУ и>д и и>г) Равен к/2+ гд. Прецессия совершается под действием силы в>взнести, реакции плоскости и реакции в неподвижной точке О. Моменпг Мс> этих сил может быть вычислен по основной формуле гироскопии (46).
Нспользуя найденные вьгше значения величин А. С, и>д, и>з и У, найдем модуль этого момента> дую = и>га» сова ~С вЂ” (С вЂ” А) — в1псд~ = — (1+ 5 сов >х). э>э, 1 3 твг 'по ,2 20 Вектор Мг> перпендикулярен плоскости рис. 105 и направлен на читате и. Отсюда. с учетом того, что сила тяжести направлена вертикально, следует, что искомая равнодействующая реакций плоскости и неподвижной точки О >гежит в плоскости рисунка. Пусть равнодействующая приложена в точке Я обр зующсй нонуса ОВ. Разложим сс на вертикальную составляющу>о Ж и составля>тцую Р, направленную по образующей. Величины Тгг и Г найдем, применяя теорему о движении центра инерции (и. 86). Вертикальное ускорение центра пгяжести равно нулю, поэтому >ч = тц; сила же Р вызьгвает нормальное ускорение центра 210 Глава Р11 тлзкести при его деизкении по окружности радиусом ЦСг г,.
2 Е. 3 то 46созст' Далее, сумма лсоментоа сил и', 21Г и тя относительно аси, перпендикулярной пзгоскос ш рисунка и проходящей через точку О, должна равняться )У ОЯ вЂ” гпя ОС = мО. Отсюда получаем расстояние точки 12' от вершины конуса: 2 ОЯ = — Ьсозп+ — '" (1+ бсоз О). 4 ' 20 дсозч О 10'Г. Об элементарной теории гироскопа. У гироскопов, применяемых в современной технике, угловая скорость собственного вращения обычно значительно превосходит угловую скорость прецессии, т.
е. ср1 » огз. Если в этом случае пренебречь вторым членом в квадратных скобках в формуле (46), то получим (48) МО = Ссиг х шс. Эта формула лежит в основе элементарной, или приближенной, теории гироскопа и называется приближенной д)ормузсой гироскопии'. Формула (48) сразу следует из теоремы Ревеля, если сделать основное допущение элементарной теории гироскопа, состонщее в том, что у быстро вращающегося гироскопа в любой момент времени мгновенная угловая скорость и кинетический момент направлены по оси динамической симметрии, причем КО = Сшы (49) Отметим некоторые свойства быстро вращающегося гироскопа.
Пусть гироскоп закреплен так, что его центр тяжести совпадает с неподвижной точкой О. Такой гироскоп называют уравновешенным. Пусть он вращается вокруг оси симметрии с угловой скоростью сит. Так как в данном случае ось симметрии является главной центральной осью инерции, то кинетический момент АО гироскопа направлен по оси симметрии, причем Асз = Сьзс. Последнее равенство является не приближенным, а точным. Если момент внешних сил относительно центра тнжести равен нулю, то вектор ЬО постоянен, и ось гироскопа сохраняет свое начальное направление в неподвижной системе координат.
с Если угол нутаиии Уо равен тссз, то форнусса с48) дает не ссриллиженноо, а точнов знечение длл МО независимо от того, выполннетсн неравенство асс )) ест или нот. З М. Движение твердого тела вокруг иеиодвижиоп точки 2!1 аа,' ГЬ,т Оа Сан (50) Так как РЬт - конечнан величина, а Сан - большая, то угол,З будет малым. Отсюда следует, что при кратковременном действии сил ось гироскопа практически сохраняет свое первоначальное положение в пространстве. При длительном воздействии силы Р указанное свойство гироскопа не будет сохраняться продолжительно. Увеличением кинетического момента гироскопа Сиь можно только увеличить промежуток времени, по истечении которого отклонение оси гироскопа от ее первоначального направления не будет превосходить определенного значения.
В технике характерным режимом работы гироскопа является работа в условиях длительно действующих постоянных или медленно менпющихся моментов, которые прн наличии достаточного кинетического момента гироскопа сообщают ему весьма медленную прецесснкь Это медленное изменение положения оси гироскопа является важнейшим Предположим, что к оси гироскопа ирн- а а' ложена сила Р, момент которой относитель- и но точки О равен М (рис.
106). Согласно фор- 17 ~ муле (47), вектор .Кп (а следовательно, и ось симметрии гироскопа, так как их паправления по предположению совпадают) будет отклоняться, но не в сторону действия силы, а Ь в ту сторону, куда направлен вектор М (т. е. перпендикулярно силе). В этом состоит одно О из интереснейших свойств быстро вращающегося гироскопа. М Если действие силы Р прекращается, то и ось гироскопа перестает отклоняться. Это Рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
