1611690520-cad13a71384007d4c452b5b97d2163c9 (826920), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Эта кривая отделяет область, где расположены замкнутые кривые, окружающие точку типа центр, от разомкнутых фазовых кривых., соответствующих значенинм 6, большим 6з. Такие кривые, которые раз- З 1. Вращение теердого тела вокруг ненодеиггной оси 183 деляют области с различным характером поведения фазовых кривых, называют сепаратрисалги. Построим фазовую плоскость длн дифференциального уравнь ния (6), описывающего движение маитника.
Длн кинетической и потенциальной энергии мантника имеем выражения П = — пг8а сов ~р. Если положить огоз = 8~1, П* Т + П = сопа1 запишетсн в виде -иго сезар, то интеграл энергии 2 2 — зо + П' = 6 = сопя1. (12) ~р еог' Ь=- ог,г Рис. 94 График функции П*(~р) и фазовые кривые представлены на рис. 94. КаРтина фазовых кРивых пеРиодична по ео с пеРиодом 2гг.
ПРи 1г < — ыоз движение невозможно. При 6 = — игоз маятник находитсн в положении равновесия, когда его центр масс занимает самое низкое из возможных положений. На фазовой плоскости ео,,о этому положении> равновесии соответствуют точки, в которых ео = 2йк (к = О, т1, т2, ... ), а ф = О. Это точки типа центр. Они окружены замкнутыми фазовыми кривыми, соответствующими колебаниям маитника. Колебательным движениям маятника соответствуют значения бо удовлетворяющие неравенству — ыо < Д < ыо.
При 6 = ог~ возможны два типа движений. Один соответствует положению равновесии маятника, когда его центр масс занимает наивысшее возможное положение. Этому равновесию на фазовой плоскости соответствуют точки ~р = и+ 2Ьг (к = О, т1. т2, ...), р = О. Это точки типа седло. Для другого типа двигкений при 6 = ыз центр масс Глава «Я мантпика асимптотически при 1 — > ос стремится запить наивысшее положение.
Асимптотическим движениям на фазовой плоскости соответствуют кривые, соединянпцие точки типа седло. Этн кривые нели|отса сепаратрисами. При й > ыг движение маятника будет вращательным. Для этого движения абсолютная величина угла р монотонно возрастает. Этим движенинм на фазовой плоскости соответствуют незамкнутые кривые. Сепаратрисы разделяют области колебательных и вращательных движений.
95. Некоторые сведения из теории эллиптических интегралов и эллиптических функций Якоби. В этой главе и в некоторых других разделах книги будут использоваться так называемые эллиптические интегралы и эллиптические функции, Дадим здесь необходимые определении и понятия. Интеграл называется эллиптическим интегралом пероого рода. Величина к называется модулелг эллиптического интеграла.
Обычно считается, что к удовлетворяет неравенствам О < к < 1. Интеграл «(«, е = ) «т:е.;...и е называется эллиптическим интегралом второго рода. Величина « 2 «и) = г Ц, а) = 1 е называется полным эллиптическим интегралом первого рода, а величи- на е(е = «~ ~2' е — полным эллиптическим интегралом второго рода. В 1. Вращение твердого тела еокруг неноденмной оси 186 При малых Й интегралы (16), (16) представляются в виде сходящихсн рядов по степеням Й: 2 ( 4 64 ''')" (17) 2 ( 4 64 ''')' (18) Из (13) и (14) можно получить следующее выражение для производных эллиптических интегралов по модуто Й; ВР(р, Й) 1 (Е(Во, Й) — Й' Г(у, Й) Йвш~рсову гр дЕ(аг.
Й) Ю(~р, Й) — Г(ьо, Й) (20) где Й' = 1 — Йз, Й' . " дополнительный модуль. Если в равнствах (19) и (20) положить ьо = ~, то получим произ- 2' водные по Й от полных эллиптических интегралов (15) и (16): йК К(Й) — Й" К(Й) йЕ К(Й) — К(Й) (21) лй ЙЙ,2 ' дй Функция, явлнннцансн результатом обращения эллиптического интеграла первого рода, называетсн амп гитудой и обозначается так: (22) г = вп(и, Й) = вшао = в1паши и г = сн(и, Й) = сов ьо = сов ап1и. (23) Так как яш ар и сову имеют период 2п по ьо, то согласно (13) и (13), эллиптические синус и косинус имеют по и период, равный 4К(Й). Функция дельта амнлитудьа г = йп(и, Й) определяется 'гак: *=,йч,,ь)="Е= 1-Ьгагг=ат-Е' *(.Ь). (га йи Функции г = ьп(и, Й) (эллиптический синус) и г = сп(и, Й) (эллиптический косинус) определяются так: 185 Глава >И Функция дельта амплитуды имеот период 2К(а) по и.
Функции ~р =апзи, я = я>з(>и Й), я = с>з(и, Й), я = г)п(ив Й) аналитичны относительно Й и при Й вЂ > !) стремятсн соответственно к функциям р = и, я = ыпи, я=соли, с =1. Эллиптические функции Якоби удовлетворяя>т следующим легко проверяемым тождествам: Рис. 95 яп и+ сп и = 11 (25) дп и+ ЙЯ япз и = 1. Справедливы следующие формулы дифференцирования эллиптических функций: — ьты> = спи ° с!пи, в) ди — спи = — яп и бп и, д ди (26) — йпи, = — Й япи ° спи. д, ди ф~ = 2а>о(совр — сояД).
(27) Положим )гг = я)п()>/2) и сделаем замену переменных язп(~р/2) = йз яш (28) Тогда интеграл эпоргии (27) примет следующий вид; ф = що(1 — зс3 я>п ф) ° (29) Графики эллиптических функций Якоби представлены на рис. 95. 96. Интегрирование уравнения движения маятника. Рассмотрим три случая в соответствии с возможными значениями константы 6 в интеграле (12). 1. — а>о < Ь, < шез. В этом случае, как показано в и.
94, мвятник совершает колебания. Пусть Д вЂ” максимальный угол, на который отклоняется мантник от своего вертикального положения, соответствующего значению р, равному нулю. Тогда Ь, = — щз соя>> и интеграл (12) звпишется в виде 2 П Вращение твердого тела вакриг неподвижной вси 187 Если приннть. что при 1 = О р = О., то отсюда получаем Ф = ен, гв, г1т е (3О) т.
е. 2и = апг(вго1). Поэтому из (23) и (28) имеем окончательно (31) ~р = 2 агсз11!(Ргг зпюо1). т = 4КПс1)/иго. ~32) Воспользовавшись разлокгсннем (17), получим, что прн небольшом зна- чении максимального угла отклонении )2 маятника от вертикали имеем приближенное значение периода т = 2хьЛЯ, (33) что совпадает с известным значением периода малых колебаний маят- ника.
При учете двух первых членов разложения т в ряд по )3 получаем более точное значение периода т=2к —. 1+'— , (34) Если ф — г к, то йг — > 1 и период колебаний т неограниченно возрастает. 2. Ь > щез. В этом случае маятник находится в режиме вращения. Пусть при Г = О ~р = О, ~р = ~рв, Тогда 6 = 2/٠— игоз и интеграл (12) запишется в вице Р' = ф,', (1 — ~,' в ' 'Р) ., (35) где внедено обозначение 2 рд 4"'о 2 ° 2' Фо (38) Так как Ь > игв, то Д > 4иго~ и., следовательно, Ц ( 1. Из (35) имеем в/2 в~=с(е, г) = ) 0 1 г2 абп х (37) Функция св периодична по 1 с периодом т, вычисляемым, согласно п.
95, по формуле 188 1'лава 1'11 Следовательно, р = 2 аш(фее/2). (38) Если начальная углован скорость велика, т. е. Д~ >> ыоз, то приближенно ~р = ро1 и вращение маятника мало отличается от равномерного. 3. й = ызг Этот случай соответствует асимптотическим движенинм маятника.
Интеграл энергии (12) в этом случае дает соотношение ~р = 4ыо сов (~р~2). (39) Если при 1 = О ~р = О и ф > О, то отсюда после интегрирования получаем р = — я+ 4агс18)се"). )40) 8 2. Движение твердого тела вокруг неподвижной точки 97. Дифференциальные уравнения движения твердого тела вокруг неподвижной точки. Динамические уравнения Эйлера.
Пусть при движении тела одна из его точек О все время остается неподвижной. Для получении уравнений двиягения тела воспользуемся теоремой об изменении кинетического момента. Если.Ко и М, ки)е) нетический момент тела и главный момент внешних сил относительно неподвижной точки О. то, согласно п. 87, г1 а о М(е) о . дКо (е) М + и к ко = Мо (2) Пусть М, . Ма, Ме -- проекции вектора Мо на оси Ош, Ор, Оз. (е) Пусть Охдз — подвижная система координат, жестко связанная с телом, а р, д., г проекции угловой скорости ы тела на ее оси. Тогда компоненты вектора Ло выражаются через величины р, д, г и элементы тензора инерции тела для точки Π— по формулам (8) и. 82.
Если абсолютную производную вектора Хо выразить через его локальную производную. то уравнение (1) запишется в виде З 2. Двугкение твердого тела вокруг неподвигкной точки 189 Тогда векторное уравнение (2) запишетсн в виде следующих скалярных уравнений: ,У Р вЂ” Я уф —,1,,г+(,1,— Уу)717 +,Уу,(г — о )+Р(,1. „г —,У.
О) = М,, .УеуР+Ууй —,аунг-7 (Уе Уг)7Р+ Ухе(Р— 7' )+7У(Уу Р—.1гу7) — ЛХу, (3) — ӄР—,1у,)+Ю, '+(Уу —.1, )17а +Хе„(4' — 17')+г(ӄΠ—,Уу,Р) = М,. Эти уравнения существенно упрощаются, если оси Оя, Оу7 Ог— главные оси инерции тела для точки О. В этом случае Уев=,Уе,=/у,=О, а,У,,Уу,,У, являются главными моментами инерции:,У = А,,Уу — — В, ,Уе = С. Уравнения (3) примут вид Ар-ь(С вЂ” В)О =ЛХ., Вд+ (А — С)гр = ЛУво Сг + ( — А)ро = М,.
(4) р = 7)7 вш О ейп 7р + О сон уо, 4 = грвшйсоа~р — Ов1п~р, г = 777 сонО+ р (б) можно найти углы чд, О, р как функции времени и начальных условий. Таким образом, в рассматриваемом случае решение задачи о движении твердого тела вокруг неподвижной точки распадается на две последовательные задачи интегрировании систем трех уравнений первого порядка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
