1611690520-cad13a71384007d4c452b5b97d2163c9 (826920), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Если за направление оси С)г принять направление оси и, то последнее условие эквивалентно тождеству КА ХС УА УС означающему параллельность проекций скоростей точок А и С' на плос- кость, перпендикулярную оси и, что н требовалось доказать. Пгимвг 1. Вдоль образующей однородного круглого конуса массой М, ось которого неподвижна и зинимает вертикальное положение, а вершина обращена вверх, просверлен тонкий канал.
Конусу сообщают угловую г У. Теоремы об изменении основных динамических величин системы 163 скорость аггг вокруг его оси и одновременно с этим опускают в верхнее отверстие канала шарик массы т, не сообщая ему начальной скорости. Какова будет угловая скорость конуса в тот молгент, когда шарик выскочит из канала? Тин как внешние силы системы конус — шарик не создают момента относительно оси конуса, то кинетический момент Л относительно оси остается постоянным. В начольньгй момент времени К,=дь а в момент, когда шарик выскакивает из канала, Вдесь Л вЂ” радиус основания. конуса, а д, = — МЛг — его момент 3 10 инерции относительно оси. Из равенства находим ЗМ ЗМ -Р 10гп Примир 2. ХХа гладкой горизонтальной плоскости находится твердое тело, имеющее вид тонкого кругового кольца массой М и радиусом Л.
Вдоль по кольцу движется точка А массой пг с постоянной по модулю относительной скоростью в. Определить движение этой системы по плоскости, если в начальньгй момент и кольцо. и точка находи гись в покое. Так как горизонтальная составляющая главного вектора внешних сил равна нулю и в о нича гьный момент времени центр масс С' всей системы покоился, то и в последующем движении системьг он будет оставаться в покое. А Расстояния точки С будут (рис. 84): от центра О кольца ОС вЂ” тп Л, М+ гп Рис.
84 от точки А АС= Л. М+ т. Таким образомг и центр О кольца, и материальния точка А будут двигаться по концентрическим окружностям с центром в точке С, причем 164 Глава И и О, и А будут всегда находиться в диаметрально противоположных по отношению к С точках своих траекторий. Чтобы определить угловую скорость ш вращения кольца, воспользуемся тем, что, в силу равенства нулю главного момента внешних сил относительно неподвижной вертикальной оси Сг, кинетический момент системы относительно этой оси постоянен (равен нулю, так как в начальный момент времени система покоилась). Имеемз Звиз -ь т(и + ш АС) АС = О, где Хс момент инерции кольца относительно оси С..
Так как момент инерции Зсз кольца опьносительно параллельной С, оси Ог, очевидно, равен МЕг, то, согласно п. 76, З,=МЛг+И ОС'. Воспользовавшись еще выписанными выше вырааениями для АС и ОС, получим окончательно о т(М+ т) Д Мг + 2пьМ -~- 2тэ Знак минус в полученном выражении для ш указывает на то, что вращение кольца происходит по часовой стре те, если смотреть со сторонъь положительного направления оси Сг.
Поимке 3. Два тонких однородных диска 1 и 2, массы и радиусы которых равны соответственно т,, съ и хпг, хз, могут вращатьоз ся вокруг их ортогональных осей Огз и Огг (рис. 85). Диск 1 раскрутили до угловой скороспьи ш и привели затем в контакт с не- вращающимся диском 2, причем расстояние х. О между точкой соприкосновения и осью диска 1 3 а равно а. Через некоторое время (за счет тре- ния) диски начнут вращаться без проскальРис. 85 зывания. Найти установившиеся угловые ско- рости дисков.
Для решения задачи используем интегральную форму теоремы об изменении кинетическоео момента. При 1 = 0 кинетические моменты К„и К,з дисков 1 и 2 будут соответственно равньп К„= О, г 2. Теоремы об изменении основных динамических величин системы 165 а в момент времени сьс, равный продолжительности процесса установ- ления движения дисков, ТС„= д„оээ, Клэ — эаэюг 1 67пгхгоэг = Тг / л' Й. о -эпэтэ(оээ — оэ) = — а / ей., 1, г 2 о Добавив сюда еще уравнение ь>1а = шгТ2~ выражающее условие отсутствия, скольжения в установившемся режи- ме движения дисков, получим систему трех уравнений относитель- но угловых скоростей дисков оээ, шг и модуля импульса силы трения аэ ) Р й$.
Решив ее, найдем: о та Тэ э эпэ ит, 2 ьээ —, ьэ, шэ ш. тэтэ + Юга тг(ээьэт1 + тяга ) Пгимкг 4. Диск массой т и радиусом и катится по горизонтальной плоскости без скольжения. Центр тяжести О диска находится на рисстоянии о от его геометри- О ческого центра О, момент инерции диска ь с относительно оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через точку С, равен дс. Пусть со -- угол между отрез- лх А ком ОС и вертикалью (рис. 86).
Составить дифференциальное уравнение, описи- у вающее изменение угла со со временем. Гис. 86 Для решения задачи воспользуемся теоремой об изменении кинетического момента в форме (7). За Здесь иц модуль установившейся угловой скорости, а,У„= — т;тч 1 2 — момент инерции э'-го диска относительно оси Ог; (э = 1, 2). Приращения кинетических моментов первого и второго дисков соответственно равны,Улс(оээ — ш) и,Улэоээ. Изменение кинетических моментов вызвано действием силы трения в точке контакта дисков в течение времени Ы. Сила трения, модуль которой Г одинаков для обоих дисков, тормозит первый диск и ускоряет второй. Согласно равенству (9), и неем ПОО Глава ыГ ог' = (О, О, ф), е', = ((а — Ь сое р)ф, — Ье1п игр, 0), Кл — — (О., О, (до + гпАСг)ф).
Момент внешних сил относительно точки А соэдает только сили тяжести: Мл = (О, О, — туЬеш1р). Проектирование обеих частей векторного уравнения (7) на ось Аг приводит к искомому уравнению, описывающему иэменение угла 1р во времени: ЬХс + т (а + Ьэ — 211Ь сол р)) р+ таЬ е1п руР -~ пью еш у = О. 88. Теорема об изменении кинетической энергии. Пусть точки Ры системы переместились так, что нх радиусы-векторы г в ннерцпвльной системе отсчета подучили приращения йгы. Найдем, как прн этом изменилась кинетическая энергия системы Т. Твк квк ы 1 3 2 ~Л-~ ' "' то для дифференциала кинетической энергии имеем такое выражение: Ж эоы Е.. йе„= ~ т„э. — д1 = дб ы=1 Я 1Щ ПЬ ' Еы д1 — ~~~ Гиыал ' йеы.
ы=1 ы=1 Прнннмая во внимание дифференциальные уравнення (1), перепишем точку А примем геометрическую точку, которая принадлежит следу (прямой линии), вычерчиваемому точкой касания диска с плоскосгпью. В силу огпсутствия скольлсенин для скорости точки А в системе координат Ахуг (оси Ах, Ау покаэаны на рисунке, ось Аг направлена перпендикулярно плоскости рисунка на читателя) имеем: ел — — (ауг, О, 0). Вектор АС имеет компоненть11 — Ьз1п 1р, — а Ь 6 сову, 0: АС = ог + Ьг — 2аЬ сов Чэ. Для угловой сног г рости диска оэ, скорости его центра масс ео = 1о х АС и кинетического момента Кл диска относительно точки А имеем: З й.
Теоремы об изменении осневнъы динамических величин системы 167 последнее равенство в виде йТ = ~~ (Г~'~ -> Г~б) . йге = ~ =1 = ~ Р'.".дг.+~ Г."> дг. = й'А'>+4'А"~. Таким образом, МТ = д'А~"д + Н'Айз. (14) дТ = д'А<'~. (16) Проинтегрировав обе части равенства (14) от 1г до 1з, получим интегральную форму теоремы об изменении кинетической энергии Сз ЬТ = Т, — Т, = «д'А<'~ + «д'АЯ, (16) и т. е.
приращение кинетической энергии системы за конечное время равно работе всех сил системы за то зке время. Пусть все силы системы (внешние и внутренние) потонциальны и их потенциал П не зависит явно от времени. В этом случае (п, 53) элементарная работа сил системы будет полным дифференциалом д'А~4+ И'А~б = — дП. Из (17) и (14) следует, что тогда аТ + аП = О. (17) Последнее раненство выражает теорему об изменении кинетической энергии системы: дифференциал кинетической энергии системы равен элементарной раооте всех сил системы.
Подчеркнем, что., в отличие от двух рассмотренных выше основных теорем динамики, в теореме об изменении кинетической энергии речь идет о всех силах системы: как внегпних, так и внутренних. Тот факт, что силы, с которыми взаимодействуют две точки системы, равны по величине и противоположно направлены. не приводит к равенству нулю работы д'А® внутренних сил системы, так как при подсчете работы важны и перемещения точек, а они у двух взаимодействующих точек не обязательно одинаковы.
Как мы видели в п. 52, для твердого тела работа внутренних сил равна нулю, поэтому для него равенство (14) принимает более простой вид Глава Ъ'1 Сумма кинетической и потенциальнои энергий называетсн полной механической энергией системы. Из последнего равенства следует, что (18) Е = Т + П = Ь = соней т. е. если все силы системы потенциальны и потенциал не зависит от времени, то при движении системы ее полная мехиническая энергия постоянна.
Это -- закон сохранения механической энергии. Равенство (18) называетсп интегралом энергии. Следует иметь в виду, что для справедливости закона сохранения механической энергии требование о том, чтобы все силы системы были потенциальными, не обнзательно. Достаточно потребовать, чтобы потенциальными были силы, работа которых на действительном перемещении системы отлична от пуля. Например, работа реакций стационарных идеальных связей равна нулю, и если остальные силы системы потенциальны и потенциал не зависит нвно от времени, то для такой системы справедлив закон сохранении механической энергии.
Рис. 88 Рис. 87 Примвр 1. Тонкий однородный ппержень длиной 1 вращается на шарнире О в вертикальной плоскости (рис. 87). Какую скорость е нужно сообщить нижнему концу стержня, чгпобы угол наибольшего отклонения стержня от вертика.ш равнялся к1'28 Помимо силы тяжести и реакции шарнира на стержень действует постоянный момент т„„ю препятствующий вращению стержня. Если нижний конец имеет начальную скорость о, то угловая скорость стержня в начале движения равна о/Е Пусть пь масса стерж- З Я. Теоремы об изменении основных динамических величин системы 169 ня.
Тогда момент инерции стержня относительно оси вращеник равен )' тР, а кинетическая энергия стержня в начальный момент равна ',~ ° '/зт1г ° (с,Ч)з. При переходе стержня в горизонтальное положение сила тяжести совершит работу, равную — зп81(2, а силы сопротивления вращению— рибату — (т/2)пь ю Принимая во внимание интегральную уюрму теоремы об изменении кинетической энергии, получим 1 г 1 3 — 2™К + 2™соьР откуда Пэнмкп 2.
На вертикально поставленный винт надета массивная гайка. Ей' сообщена угловая скорость ш такого направления, что гайка начинает подниматься. Ла какую высоту поднимется гайкой Трение отсутствует. Шаг винта 1ц его радиус х, радиус гайки Н (рис. 88). Пусть в — скорость движения гийки вдоль оси винта в начале движения. Она найдется из пропорции в й 2к' Примем, что гайка имеет форму цилиндра с осевым отверстием радиуса т. Если зи — масса гайки, то ее момент инерции П относительно оси винта будет определяться равенством ,У = — зп(Н + г ). Пусть высота подъема гайки Н, тогда из интеграла энергии имеем 2 2 12кз 2 2 — т — -> — ° — т,(Н + х )ш = пдН, откуда Н= — - '(Н,г ' 1.
Пгимкг 3. Цилиндр, который может вращаться вокруг вертикальной оси АВ, имеет на своей поверхности винтовой желоб; в него вложен шарик массой т, который можно считать материальной точкой. Найти относительную скорость и шарика в его движении по желобу и угловую скорость ьз цилиндра при движении системы под действием силы тяжести, полагая, что масса цилиндра равна массе шарики, радиус цилиндра и и угол а наклона касательной к винтовой нарезке равен к/4. Найти также давление шарика на желоб (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
