1611690520-cad13a71384007d4c452b5b97d2163c9 (826920), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Это в большинстве случаев невозможно, особенно если число уравнений (1) велико. Однако при практическом исследовании движения очень часто нет необходимости изучать систему (1), а достаточно знать изменение со временем некоторых величин, общих для всей материальной системы и являющихся функциями координат и скоростей точек системы (и, быть может, времени). Если такан функции при движении системы остается постоянной, то она называется первым интегралом уравнений двилгенил (1). Использование первых интегралов позволнет упростить задачу исследования движения системы, а иногда и решить ее до конца. Самый распространенный прием получения первых интегралов уравнений (1) основан на изучении поведения основных динамических величин системы: количества движения, кинетического момента, кинетической энергии.
Изменение этих величии во времени описывается основными теоремами динамики, являющимися непосредственными следствиями уравнений (1). Утверждения, описывающие условия, при которых некоторые из основных динамических величин остаются постоянными, называются законами сохранения. г х. Теорелеы аа иэменеиии основных динамических величин системы 157 86. Теорема об изменении количества движения. Сложив почлепно уравнения (1), получим ~ ле (е] + ~ ~у()) (2) и=1 и=1 Первая сумма в правой части равенства (2) равна главному вектору Л(') внешних сил системы, а вторая сумма равна нулю, так как по третьему закону Ньютона внутренние силы попарно равны и противоположны.
Принимая во внимание постоянство массы каждой из точек системы, равенство (2) можно записать в виде д(е) ие (3) Это равенство выражает теорему об изменении количества движения системы: производная по времени от количества движении системы равна главному еектару всех внешних сил системье. Эту теорему можно представить в интегральной форме. Проинтегрировав обе части равенства (3) от 1, до 1г, получим Д4.) 4) д / Д(е) ( (4) Мее'("о ое(е) е(ь' (5) Это равенство означает, что центу масс сисгпемье движется так же, как двигалась йы материальная точка, масса которой уаенялась йье массе системы, под действием силы, равной главному вектору всех внешних сил системы. Это утверждение называют теоремой о движении центра масс (центра инерции). Интеграл в правой части формулы (4) называется импульсом внешних сил системы за время (г — 1ы Таким образом, приращение количестеа даилсения за конечное время равно импульсу внешних сил за это время.
Дифференциальной форме теоремы об изменении количества движения можно придать другую формулировку. Так как (~ = Месь где М масса системы, в ос скорость центра масс. то формула (3) с учетом постоянства массы М может быть представлена в виде равенства Глава Ь7 Если система замкнута, то лзсв1 = О и из (3) следует закон сохранения количества движения: при двизкении з мкнутой системьс ее количество двизкенив ьг постоянно. На основании равенства (5) закон сохранения количества движения можно сформулировать еще так: скорость ес центра масс' замкнутой системы постоянна.
Ясно, что эти утверждения справедливы и для системы, не являющейся замкнутой, если толька Нс'с = О во все время движения. Проектируя вектор ьг на оси координат, получаем из закона сохранения количества движении три первых интеграла: Гь1 = сз сев = см Сгз — — сз, или с дс =аз: с хсс=с.
до=аз, где сгз, сгсс. О, и хс; ус; го -- проекции на оси Ох. Оу, Оз соответственно количества движения и скорости центра масс системы, а сп с,'. (з' = 1, 2, 3) — произвольные постоянные. Если проекция главного вектора внешних сил на какую-нибудь одну ось, например на ось Ох, равна нулю, то имеем один первый интеграл С.1„= сопв1 или хс = соней Пвимвг 1. Два человека стокса на абсолютно гладкой горизонтальной плоскости на расстоянии а друг от друга. Один из них бросает мяч массой т, другой подхватпьсваетп его через 1 секунд. С какой скоростью начнет скользить по плоскости бросивший мяч, если его масса равна МУ Так как плоскость абсолютно гладкая, то горизонтальная составляюизая главного вектора внешних сил (силы тязкести и реакции плоскости) равна нулю.
Следовательно, проекция количества движения системы, состоящей из мяча и человека, бросившего мяч, ни плоскость будет постпоянна (равна нулю, тпак как в начальный момент времени система покоилась). Пусть в скоросись, с которой начнет скользить человек после бросания яча. Замечая, что горизонтальная составзтющая абсолютной скорости центра масс мяча равна а,с1, получаем равенство Мв — т- = О. сс Отсюда та с,= Мг З Я.
Теоремы об изменении основных динамических величин системы 159 Принкр 2. Пве притпягивающиеся по некоторому закону тпочки одинаковой массы могут скользить без тренин одна по оси Ох, а другая-- по перпендикулярной ей оси Оу (рис. 83). Точки начинают движение из состояния покоя. Показать, что при любом законе притнженин они одновременно окажутся в начале координатп. Внешними силами, действующими на рассматриваемую систему из двух матери- У альных точек, являтотся реакции М, и Мг осей Ох и Оу; эти реакции ортогональ- р) ны соответствующим осям.
Ввиду того и сто каждая из точек вынуждена двигаться только вдоль своей координатной оси, имеем сттт —— Рсоа н, Хг — — с ешск, где К— модуль силы притнжения точек. Главный вектор зсщт внешних сил имеет компонен- р ты — сттг, — стты т. е. лес'т котслинеарен вектору СО, имеютему начало в центре х масс С точек, а конец в начале координат. И Так нак при т = О система покоилась, то, согласно тпеореме о двилсении центра масс, точка С при ь' > О будет двигаться вдоль неизменной прямой, проходящей через точку О и начальное положение центра масс. Поэтому материальные точки одновременно достигнут начала координата. 8Т. Теорема об изменении кинетического момента.
Пусть о„ вЂ” скорость точки Р системы в инерциальной системе отсчета, а г„- ее радиус-вектор относительно начала координат (рис. 82). Возьмем произвольную точку А пространства, которая может и ие совпадать с какой-либо материальной точкой системы во все время движения. Точка А может быть неподвижной, а может совершать произвольное движение; обозначим сл ее скорость в выбранной инерциальной системе отсчета. Пусть р -- радиус-вектор точки Р, относительна точки А.
Тогда кинетический момент системы относительно точки А вычисляется по формуле н льл = ~~~ р„Х 'тнеее. Продифференцировав обе части равенства Сб) по времени и воспользо- 160 Глава й( вавшись постоянством величин 1п и уравнениями (Ц, получим и=1 и=1 Последняя сумма в этом равенстве равна главному моменту М (е) внешних сил относительно точки А (см. п. 50). Учитывал еще, что, др, 4г. Дгл согласно рис. 82, ' = — = о, — ол, а также что 2 т,е, = и=1 = Мос, получаем И 11ль А (е) й (Еи — ЕА) Х 1ниаи + МА и=1 ,г гпио~ х оА -)™1 ™ес х оА -(™1 (е) (е) и=1 Таким образом, АХА (е) й = Мес х ел + М1 (7) Если точка А неподвижна, то во все время движснин системы ел = 0 и уравнение (7), выражающее теорему об изменении кинетического мо- мента относительно произвольно движущегосн центра, принимает сле- дующую часто встречающуюся форму: 1(лтл М(е) й А (8) Уравнение (8) представлнет собой теорему об изменении кинетического момента для неподвигкного центра: производния по времени от кинетического момента системы относительно неподвижного ценгпра равна главному моменту внешниг сил системы отпносительно эгпого центра.
Эту теорему можно представить в интегральной форме. Проинтегрировав обе части равенства (8) от 11 до 11, получим ~2?А = льАе леле — / МА д(. 1, Аль А 'ь:еР й ~ й 1Ч АРи й Х Гииои ( Л~~ Р Х титви и=1 х тип + ~~~ р, х ) лт(') + л (0) З У. Теоремы об изменении основных динамических величин систе~иы 161 центра постоянен: (10) Кл = соплы Если Клх, Кло, Кл. — проекции вектора Кл на соответствующие оси координат, то из (10) следуют три первых интеграла: Кл =ем Кли — сз, Кль = сз где с„.
(1 = 1. 2, 3) произвольные постоянные. Эти интогралы существуют не только в случае замкнутой системы, но и тогда, когда система не замкнута, но для некоторого неподвижного центра А Мле = 0 )е) во все время движения. Отметим еще, что если Мл — — 0 во все время движения, то интег)е) рал (10) существует не только когда центр А неподвижен, но и в более общем случае, когда во все время движения радиусы-векторы гл и гсч точки А и центра масс системы С относительно начала координат связаны соотношением гл = ого+ а, где скалярная величина а и вектор а постоянны. Действительно, в этом случае пл = пес и первое слагаемое в правой части равенства (7) тождественно равно нулю. Поэтому при Мл' = О существует интеграл (10).
)е) Рассмотренный выше случай неподвижного центра А получается отсюда при о = О. Если же и = 1 и а = О, то гл = зо и уравнение (7) примет вид 4Кс .(е) дг (11) откуда следует, что теорема об изменении кинетического момента системы для неподвижного центра А и для центра масс С имеют одинаковый вид: в левой части уравнения стоит производнан от кинетического момента относительно точки (А или С). а в правой главный момент внешних сил относительно этой тачки. Отметим, что абсолютный кинетический момент Кс системы относительно центра масс в левой части уравнения (11) можно заменить на равный ему (см. п. 82) кинетический момент Ксч, системы в ее движении относительно центра масс.
Интеграл в правой части этой формулы называется импульсом моментов внешних сил за время 1з — 1м Таким обрезом, приращение вектори кинетического момента системы относительно неподвижного центра за конечное время равно импу льсу моментов внешних сил относительно этого центра за это время. Если система замкнута, то М = 0 и из равенства (8) следу)ь) ет закон сохранения кинетического момента: при движении, замкнутой системы ее кинетический момент относительно любого неподвижного Тлаоа РТ Пусть и - некоторая неизменная ось или ось неизменного направления, проходящая через центр масс системы. Для кинетического момента К„системы относительно этой осн нз (8) н (11) следует дифференциальное уравнение йКи М(ь) й1 ь (12) где М„-- главный момент внешних сил относительно оси и. Если он (е) во все время движения равен нулю, то имеем первый интеграл Кь = сопвы Последний вывод допускает обобщение.
Именно, справедливо следующее утлерькденне. Пусть М„') равен нулю оо осе оремл доижения. Тогда для существования первого интеграла (13) необходимо и достаточно, чтобы проекции скорости ценгпра масс системы и скорости какой-нибудь точки А оси и на плоскость, перпендикулярную этой оси, были во все время движения параллельны. Действительно, пусть е —— единичный вектор, направленный вдоль оси и,. Умножая обе части равенства (7) скалярно на вектор е н учитывая его постоянство по величине и направлению, получаем б(КА е) )е) Й вЂ” = М(эс х эл) е+ МА' е. По КА . е = К„, М,)' . е = ЛХ„ь, поэтому последнее равенство м) (.) можно переписать в виде " = М(эс х эл) е+ М~е). Если М„ = О., то величина К„ будет постоянной тогда и только )е) тогда, когда (эс х эл) е = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
