1611690520-cad13a71384007d4c452b5b97d2163c9 (826920), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Согласно рис. 64, имеем Мо, = ~~~ рг х У; = ~~~ 1010+ гг) х Уг = = Оз0 х ~ ~> .е,~) ~- ~ гг х Г,, юг=1 ее г=з или Мо, = Мо + 0~ 0 х В. Таким образом, при изменении полюса главный момент сил меняется на величину, равную 1г М, лолвнту главного вектора (приложенного в старом полюсе) относительно нового полюса. Отсюда следует, что если у двух систем сил главные Г, векторы одинаковы и одинаковы главные момен- т, ты относительно какого-либо полюса, то последние е"; одинаковы и для любого полкзса.
О, Злмкчлннк 1. При выполнении условий (1) системи сил, приложенная к твердому телу, будет урав- Рис. 64 навешенной, или эквивалентной нулю. Это означает, что любое движение тела не изменится, если к приложенным к нему силам добавить или отбросить систему сил, удовлетворяющую равенствам (1). 126 Глава 1р Примну 1. По ребралг прямоугольного клина действуют силы Г, и Гг (рис. 65), которые требуется заменить эквивалентными им силами Гг и Г'. Величины сил Гг, Гг, Г' пропорциональны длинам соответствующих ребер клина. Найти сигу Г*. Если а и б — длины ребер ОА и АЛ клина соответственно, а . коэффициент пропорциональности (Г > О), то Г1 — Уа Г2 — з яг г» Г1 — г Ь.
Введем сиппему координат Ох уз» как показано на рис. 65. Главный вектор и главный момент Рнс. 65 системы сил (Гг, Гг) в этой системе координат имеют такие компоненты: Л, = О, Н = 1а соя гг, Л, = 21авша» М = )а Яшсг сов аг М = — забвгпсг, М, = О. Пусть Г", Гг*„, Гг', — компоненты искомой силы Г*, а х, у, г— координаты точки ее прилозкения. Главный вектор и главный момент системы сил (Г', Гг*) имеют компоненты, задаваемые равенсгпвами Л» Уб+ Ггх» Лр Ггр~ Л» Гг»~ М» у1 2» «Ггр» Му гГ2» хГ2»» М» *«1 2у у1 2»' Система трех уравнений, вытекающая из равенства соответствующих компонент главных векторов эквивалентных систем сил (Гг.
Гг) и (Г", Г*), позволяет найти компоненты силы Г,*г Г;. = 2Уавгпси Гг' = 1"Ь» Ггр — — 1"асояаг Эти равенства задают направление с лы Гг' и ее модуль ~2 Гга +Ггр «г2» Гг ~ 612 +~1 Приравняв соответствующие компоненты главных моментов обеих систем сил и произведя некоторьге упрощения, придем к системе уравнений, определяющей координаты х, у, г тогки приложения силы Г*: 2ув1пгг — гсово = о,яшосовоц 2ахв1п㻠— Ьг = абв1псг, ах сов с» — Ьу = О. 127 Ь' г. Статика твердого тела Эти уравнения определяют не одну точку приложения сильг Рз, а, как нетрудно проверить, целую прямую линию действия этой силы: 2х — Ь 2у — а сол о Ь а г оа г" а э1п о Линия действия силы Гз* проходит через вершину В клина и точку пересечения диагоналей его нилсней грани.
67. О равнодействующей. Теорема Вариньона. Если система сил (эы Рз, ..., Рь)г приложеннан к твердому телу, эквивалентна одной силе Л*, то эта сила называется равнодействующей данной системы сил. Теорема. Если система сил имеет равнодействующую, то эта раенодейстеующая Л* ровни главному вектору В, а ее момент относительно произвольного полюса О равен главному моменту Мю данной системы сизг относиглельно этого полюса. Доказательство следует из определении равнодействугощей и критерия эквивалентности двух систем сил, приложенных к твердому телу. Вторан часть приведенной теоремы носит название теоремы Бариньона.
68. Частные случаи условий равновесия твердого тела. 1, Из условий (1) следует, что под действием одной, не равной нулю, силы твердое тело не может находиться в равновесии (хотя бы потому, что Л1ег ~ О). 2. Под действием двух сил твердое тело при йэ < 1 < 1з находится в состоянии равновесия тогда и только тогда. когда опо покоитсн в начальный момент 1 = Ьо, а силы при Ро < й < 1ы во-первых, равны по величине и противоположно направлены. а во-вторых, имегот общукг линию действия. Первое требование вытекает из условия Лг'1 = О, второе — из условия Мг, = О.
(е1 3. Если под действием трех сил Ры Рз, Рз твердое тело находится в равновесии и линии действия двух сил Ег и Хз пересекаются, то все три силы лежат в одной плоскости и их линии действин пересекаютсн в одной точке. Это утверждение (которое часто называют теоремой о трех. силах) сразу вытекает из условий (1) равновесип твердого тела. В самом деле, из условин зь~'г = О следует, что Ез = — (Рз + Гз), и поэтому сила Рз лежит в плоскости сил Рг и Хз, Замечая теперь, что моменты сил Хь и Рз относительно точки О пересечения линий их действия равны нулю.
из условнн М ' = О получаем, что линии действия бй силы Ез проходит через точку О. Тлава Л» Примкр 1. Однородный стержень АВ дли- А ны 21 опирается одним концом на гладкую вертикальную стенку, а другим концом упирается в угол В, расстояние ОВ = а (рис. 66). Требуется найти направление а реакции в точке В при равновесии стерлс- ня. гр Реакция в точке Л ортогональна О С ,В стенке, ее линия действия пересекает лиРнс. 66 няю действия силы тяжести Р в точке Я. При равновесии третья сила реакция в точке  — также проходит через точку Я.
Из ЯВСЬ находим ъ/4 — аг сй<р= 2 Злмкчлкик 2. Очевидно, что при переносе вектора какой-либо силы системы вдоль линии его действия главный вектор системы сил и ее главный момен»и относительно заданного полюса остаются неизменными. Поэтому из критерия эквивалентности системы сил» г<риложенных к твердо <у телу, следует, <то, не нарушая движения тели (и, в частности, его состояния равновесия), можно перенести точку приложения силы в произвольную точку тела, лежащую на линии действия этой силы, т.
е. сила, приложенная к твердому телу, — скользящий вектор. 4. Системой сходящихся сил называется система сил, линии действии которых вересекаютсн в одной точке. Теорема. Система сходящихся сил имеет равнодействующую, и эта равнодействующ я проходит через точку пересечения их линий действия. Доказате»<ьство следует из предыдущего замечании и закона сложения сил (и. 44). Пусть О точка пересечении линий действия сил системы<. Тогда з<з <;» = О и условия (1) сводятся к одному векторному равенству Рс<е» = О, которое в скалярной форме запишется в виде трех равенств (3). Примкр 2.
Полушар весом Р и радиусом г привязан за край нитью к точке А гладкой вертикальной стены и опирается на стену выпуклой поверхностью в точке В (рис. 67). Какова длина нити, если в положении равновесия плоскость лезкащего в основании большого круга об- Может оказать<и, что точка О не принадлежит твердому телу. Однако ато не меннет наших рассуждений, таи как точку О можно считать принадлежащей твердому телу, мысленно представив ее лежащей на одном иа концов невесомого стержня, который вторым своим концом жестко прикреплен к телу.
129 1 х. Статика твердого тела разует с вертикалью угол т/48 Каково натяжение нити и давление полушара на стенуг На полушар действуют три силы: сила тяжести Р, давление стены зч и натязкение ни- У ти Т. Линии действия сил Р и зч пересекаются в точке Я. Согласно теореме о трех силах, в положении равновесия линия действия силы Т,А Т (т. е. направление ншпи) также должна про- д ходить через точку В. Таким обризом, полушар находится в равновесии под действием висте- И 0 мы сходящихся сил. Я х В прямоугольном треугольнике ОЯС С г'.ЯОС = к/4 и, так как центр тяжести С Р полушара отстоит от центра О окружности большого круга на расстоянии ОС = Зс/8, Рис.
67 05 = ОС соя(т/4) = Зч/2е/16. Обозначим а угол между направлением нити и вертикалью. В ЛОВЯ ~005 = к/4, с'.ОВО = к/2+ сь, г'.ОВЯ = к/4 — оц поэтому 577 077 ОЯ я1п(к/4) я|п(т/2 + а) я1п(т/4 — и) ' или 2ВВ = с" Я '~ 8(соя и — я1п сь) Отсюда следует, что $8сь = — '~я1пи =, сояп = ), ЯЭ = ч/89',(а.) ' Из ДАВЯ теперь находим длину нити А77 = (2 — ч/2)с.
Приравняв нулю суммы проекций сил Р, зЧ7 и Т на оси системы координат Вху, получим два уравнения, определяющих натяжение нити и давление полушара на стену: Тсояа = Р, Т я1п и = з"ч', откуда найдем 130 Глава 1У Примкр 3. Три стержня АО, ВО и СО прикреплены к вертикальной стене шарнирами и скреплены шарниром в точке О, к которой прикреплен груз весом Р. Стержни АО и ВО расположены в горизонтальной плоскости и образуют со стеной углы по 60'. Третий стержень СО расположен в вертикальной плоскости, проходящей через О и середину АВ, и образует со стеной угол 30'.
Определить усилия в стержнях АО, ВО и СО. Весом салшх стержней пренебречь. Для определения искомых величин рассмотрим равновесие. точки (узла) О. На узел О действуют активная сила Р и реакции Ял, Яя и Яо стерзкней образующие систему сходящихся, сил, не лежащих в одной плоскости.
Условия равновесия запишем в виде равенств (3), выбрав систему координат, как показано на рис. 68. Нмеем Р; = Ял соа 60' — Яв соа 60 = О, Х';з — — — Ялэзп60' — Явыпбй' — Явып30' = О, ~~' Еы = — Вс сов 30' — Р = О, Решив полученную систему уравнений, найдем 2чг3 3 ВА=ВВ= 1 3 у Величины Ял и Яв положительны, следовательно, реакции Ял и Ян направлены так, как показано на рис. 68 (стерзкни ОА и ОВ растянуты), величина Яв отрицательна (стержень Г)С сжат). б. Рассмотрим теперь равновесие твердого тела, к которому прилозкена плоскан система сил„т. е. система сил.
линии дейРис. 68 ствин которых лежат в одной плоскости. Пусть этой плоскостью будет плоскость Оху. Тогда проекции Ры сил на ось Ог и координаты г;, точек их приложения (з = 1, 2, ..., В) равны нулю и условии (3), (4) сводятся к трем равенствам Г; = О, ~~ Г;„= О, Я(х;Гц„— уьЕ;е) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
