1611690520-cad13a71384007d4c452b5b97d2163c9 (826920), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Согласно этому принципу, среди сравниваемых кинематически возможных в данный момент времени движений (для которых 1;*ч = г*,, ди, ~ О) действительное движение выделяется тем, что для него и только длн него выполнено уравнение (1). 107 6 Х Принцип Гаусса В 3. Принцип Гаусса 59. Формулировка принципа Гаусса (припципа наименьшего принуждения). Вариационные принципы Даламбера — Лагранжа и Журдена не связаны с понятием экстремальности. Гаусс предложил замечательную модификацию принципа Даламбера-Лагранжа., которая вводит в этот принцип понятие минимальности некоторого выражения. Эта модификация принпипа Даламбера — Лаграплса получила название принципа Гаусса, или принципа наименьшего принуждении. Для получения математической формулировки принципа Гаусса будем сравнивать в некоторый момент времени движения, в которых все точки системы имеют те же возможные положения г' и скорости и,*,, что и в действительном движении.
Возможные же ускорения точек системы в сравниваемых движениях будут отличаться (на величины, не обязательно нвлнющиеся бесконечно малыми). Такой способ синхронного варьирования называется варьированием па Гауссу (п. 12). Если для разности возможных ускорений ю„*, — ю*„в двух сравниваемых кинематически возможных движенинх ввести обозначение 6ю„, то, согласно и. 12, 6г„= "~' 6ю (Ь1) .
Подставив это значег ние виртуального перемещения в общее уравнение динамики (3) и. 57 и сократив его на с~г(Ь1)~, получим (Р, — ги„ю,) 6ю, = О. Замечая, что массы точек ги, постоянны, а силы Р«не зависят от ускорений точек системы, уравнение (1) можно записать в виде 67=0., (2) где введена величина (3) называемая принуждением или мерой принуждения. Согласно (2), величина л, рассматриваемая как функция возможных ускорений, стационарна при значениях ускорений точек системы, соответствующих действительному движению. Величина Я ие только стационарна, но и минимальна на действительном движении.
В самом деле, пусть ю„„ускорения точек системы в их действительном движении, а Уо соответствующее им значение величины У. Тогда, полагая, что в сравниваемом с действительным 108 Глава Из кипематически возможном движении величина ю равна ю„, + Бю „ находим, что У вЂ” Яо = ,'з (т ю„ — У„)дю,„ + †,„ ~~~ зп„(йю„„)'. (4) ь=з е=З Первая сумма в правой части равенства (4) обращается в нуль в силу уравнения (1), а вторая строго положительна, так как не все величины дю„, (и = 1, 2, ..., зч') равны нулю. Позтому величина У на действительном движении принимает наименьшее значение в классе возможных ускорений системы. Таким образом, мы получили п р и и и и и Г а у с с а или, как часто говорят, принцип наименьшего принуждения: среди сравниваемых кинематически возможных движений (для которых з;*„= з;*„, о,'„= и,*...
дю ф О) действительное движение выделяется тем, что для него принуждение. Я минимально. Птимкр 1. Найдем ускорение точек т, и тг из примера 1 и. 57, применяя принцип Гаусса. Имеем 2пьз( и' е) + 2гпг(ззз И 1 г 1 .г — = зпз(за+ д) + тг(из — д) = О, ог дю тг — зпг и~ тз + зпг Примят 2. Применяя принцип Гаусса, найдем дифференциальное уравнение движения математического маятника (пример 2 и. 57).
Функция Я имеет вид У= 2т х — згь + д — т" 2 2 — т(1~зрг + 2у1 гйп чхр) + — т(1~ф~ + 2у1 соз Ф р + дз). Из условия дЯ/дф = О следует уравнение (6) и. 57. Примят 3. Материальная точка массой т, под действием активной силы Е движется по гладкой поверхности, задаваемой уравнением г = = 7(х, у). Найдем дифференциальные уравнения движения точки. Из уравнения связи имеем (5) дх. ду дхг даду дуг 5 3.
Прчнчип Гаусса 109 Нулсно минимизировать величшгу, равяув (тт, — Г ) + (ту — Г„) + (,тпг — Г,), где производная 5 задана 91ормулой (5). Независимьвми переменными яв- шготся й и д. Окончательно получаем уравнение тт, — Р + (гпг' — Г,) —, = О, дг" * да ту — Г + (гпБ — Р,) — = О, дГ" Р ' л д где У следует заменить на правувз часть равенства (5).
00. Физический смысл принципа Гаусса. Пусть в момент времени 1 точки Р, несвободной механической системы имеют радиусы-векторы г и скорости и; т , как всегда, обозначает массу точки Р„, а Є— равнодействующую всех активных сил, приложенных к точке Р„. г В момент времени 1+от точка Р„займет положение А, (рис. 56). При этом А,, Р 1 дг+ 1 )олг)г + 2 Рис.
56 Удаление В„А„точки при несвободном движении от ее положения при свободном движении вызвано действием связей, принуждающих точки системы отклоняться от движения, свойственного точкам свободной системы. Математически это принуждающее воздействие связей можно характеризовать длиной вектора ВеА,. С другой стороны, для того чтобы сообщить материальной точке какое-то ускорение, необходимо воздействие тем большее, чем больше (при прочих равных условиях) ее масса.
Поэтому принуждающее воздействие связей на точку естесг твенно оценивать величиной т„В„А, а длн всей системы суммой где многоточием обозначены члены выше второго порядка относительно й. Если бы в момент времени 1 система была освобождена от связей (без изменения Р„т„, г, о„), то движение ее точек на интервале времени Й было бы отличным от движения точек несвободной системы. Пусть В„- положение, которое заняла бы точка Р„в момент времени 1+ дг. Тогда Глава гП этих величин по всем точкам Р (и = 1, 2, ..., ггг). Если пренебречь членами выше четвертого порядка относительно гП, то ч г те В А = гп (Ег Аг РвВв) = 4гпвгаг) шв т ) Если просуммировать эти величины по всем точкам системы и отбросить несущественный множитель ~Ягй), то получим принуждение для системьг в виде в=г Величина У нвлнется мерой отклонения действительного движения системы от ее свободного движения.
Так как, согласно принципу Гаусса, величине Я в действительном движении минимальна, то могкно сказать, что несвободная система совершает движение, наиболее близкое к свободному. ПРимеР 1. Материальная точка мас- Р, сой т, движется под действием си- А лы тяжести по гладкой прямой, наклонелной к горизонтальной плоскости под углом а (рис. 57). Найдем ускорение точки, пользуясь тем, что ее действительное движеггие наиме- В~ а нее отклоняется от свободного дви- жения.
Пусть в начальньгй момент С точка занимает положение Р и имеРис. б7 ет скорость, равную нулю. При свободном движении точка движется по верпгикали и за время дд проходит расстояние РВ = ~~ фгЮ)г. В действительнолг несвободном движении по прямой РС точка движется с неизвестным ускорением иг и за врелгя гд проходит расстояние РА = ~( гогй)г. Поэтому г г ДЩ)г ггггггд)г угдг)г игггЦ)г +, — 2, гйпа= (гй) = — (ш~ — 2г7го вша+ уг). Минимум этой везгичиггы достигается при ш = яаггг а. Это и есть искомое ускорение.
61. Экстремальное свойство реакций связей. Физический смысл принципа Гаусса можно выразить и в других терминах. Замсчая, 111 2 Гь Приичип Гаусса что гя„2л„= Р„+ В„, мы можем переписать выражение для принуж- дения в виде дз (6) Условие того, что величина Я минимальна для действительного движения, приводит к зкстремальному свойству реакций связей: для действительного движения реакции связей минимальны 1в смысле минимума величины (6)).
ГЛАВА 1Ъ Статика В 1. Статика произвольной механической системы 62. Общее уравнение статики (принцип виртуальных перемещений). Задачи статики сформулированы в и. 47. В этом параграфе кратко рассмотрим некоторые основные вопросы статики произвольной механической системы с идеальными удерживающими связями. В следующем параграфе будут подробно изучены вопросы статики твердого тела, явллющегося важнейшим длл приложений частным случаем механической системы.
Рассмотрим несвободную систему материальных точек Р„ (и = 1, 2, ..., Х) со связями, задаваемыми уравнениями (1), (2) п. 10. Найдем условия, которым должны удовлетворить связи, чтобы система при г, = г„, могла находитьсл в состолнии равновесия па интервале времени 1о < 1 < 1с. Во-первых, конечно, положения точек, задаваемые радиусами-векторами г„= и„,, должны быть возможными на интервале 1о < 1 < 1ы т. е. на этом интервале должны выполняться тождества .)я(гно 1) г— а 0 (и = 1, 2, ..., г). Во-вторых. из уравнений (2) (5) и. 10., 11, задающих ограничения на скорости и ускорения точек системы, получаем при г = г,.
п„= О, те„= 0 и 1о <1 < $1 тождества дол(г„„1) д(„(гао 1) д~Я„(г„„т) д1 ' д1 д1з (о=1,...,.г; Д=1,...,л). (2) Из (1), (2) следует, что система при 1о < 1 < 11 маркет находиться в состоянии равновесия в каком-либо ее возможном положении г„= г„, только тогда., когда связи удовлетворлкгг условиям ~о(г„о, Е) = О., од(г ., 1) = 0 (2) (1о < 1 < 1П а = 1, 2, ..., г; )У = 1, 2, ..., л). З Б бтаозике кроизволькой механической системы 113 Пусть тождества (3) выполнены, т. е. состояние равновесия г = г „ допускается связями, и пусть при 1 = 1о имеем г, = зим о„ = О. Будет ли система при выполнении условий (3) находитьсн в состоянии равновесия, зависит от приложенных ь ней сил. В основе статики механической системы лежит и р и н ц и п виртуальных перемещений, или принцип Лагранжа. Сформулируем его в виде теоремы.
Теорема, Чтобы некоторое допускаемое идеальными удерживанзщими связями состояние равновесия системы действительно было ее состоянием равновесия на интервале го < 1 < бы необходимо и достаточно, чтобы дгя любого момента времени из этого интервала элементарная работа активных си г на любом виртуаьгьно к перемещении равнялась нулкз, т. е. чтобы выполнялось условие Уь ' бгк = О (1э ~ ~1 ~ ~м). (4) Уравнение (4) называется общим уравнением статики.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
