1611690520-cad13a71384007d4c452b5b97d2163c9 (826920), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Понятие о вариациоииых принципах механики. Принципами называкгг, во-первых, некоторые основные начала, на которых может быть построена какая-лнбо теория, научная система и т. п., а во-вторых — законы, основные положения о чем-либо. Под принципами часто понимают также точку зрения, убеждения и т. д. Принципьь теоретической механики можно разделить па вариационные и невариационные. К невариационныль принципал относятсн, например, аксиомы динамики, обсуясдавшиеся в 1! предыдущей главы, а также законы механики, например закон сохранении энергии, закон всемирного тяготения и т.
п. Вариационные принципы механики представляют собой выраженные языком математики условия, которые отличают истинное (действительное) движение системы от других кинематнчески возможных, т. е. допускаемых связями, движений. Вариационные принципы делятся на дифференциальные и интегральные. Первые дают критерий истинного движения для данного фиксированного момента времени, а вторые— на конечном интервале времени. В этой главе рассматриваются дифференциальные вариационные принципы механики. 57. Общее уравнение динамики (принцип Даламбера — Лагранжа).
Рассмотрим систему, состоящую из Х материальных точек Р„(ц = 1, 2, ..., М). Система может быть как свободной, так и несвободной. В последнем случае связи, наложенные на систему, считаются удерживающими и идеальными. Пусть Е„и Рх — равнодействующие всех активных снл и реакций связей, приложенных к точке Р . Имеют место следующие уравнения движения (и. 45): тп,ю = Хв+ И (и = 1, 2, ..., Х), где т„ — масса точки Рьз а за — ее ускорение в инерциальной системе отсчета. 1О3 'З Д Принцип Даламбера — Лагранжа Поскольку связи идеальны, то длн любых виртуальных перемещений бг выполннется равенство (2) В„бг = О. и=1 Запишем уравнения (1) в виде Մ— гииюю„= — В„(и = 1, 2, ..., Дг).
Умножим обе части этого равенства скалярно на бг, и произведем сум- мирование по и. Тогда с учетом условия (2) получим соотношение (3) (Х вЂ” гн га ) бг — О. Соотношение (3) является необходимым и достаточным условием для того, чтобы движение, совместимое с идеальными связнми, отвечало данной системе активных сил У„(и = 1, 2, ..., Х). Необходимость условия (3) мы только что показали. Предположим теперь., что некоторое совместимое со связями движение системы удовлетворяет условию (3). Тогда если положить В = ги ш — Р, (и = 1, 2, ..., Дг), то получим, что удовлетворяются равенство (2) и уравнения движения (1), полученные непосредственно из законов Ньютона.
Соотношение (3) характеризует движение всякой системы с идеальными удерживающими связями по отношению к активным силам Г и соответствующим (для данного момента времени) виртуальным перемещениям. Оно получило название общего уравнения динамики. Входящие в (3) произведения гп, гр„масс точек системы на их ускорении. взятые с обратным знаком, называют синани инерции, Применяя эту терминологию, можно сказать, что общее уравнение динамики показывает, что в любой фиксированный момент времени сумма элементарных работ активных сил и сил инерции на любых виртуальных перемещениях равна нулю. Общее уравнение динамики получено в предположении об идеальности связей (2).
Если же свнзи таковы, что все или часть их реакций гл„ие удовлетворяют условию (2), то можно к системе активных сил добавить реакции гл„, и уравнение (3) примет вид (4) (Ри+ Си — т„ш„) бг, = О. и=1 104 Глава ГН В общем случае силы ьл, (или часть из них) неизвестны. Эта неопределенность должна компенсироваться дополнительными данными о физических свойствах и характере свнзей, порождающих реакции сг . Важным свойством общего уравнения динамики является то. что опо не содержит реакций идеальных связей. Соотношение (3) на самом деле является не одним уравнением, а содерльит в себе число уравнений, равное п, т.
е. числу степеней свободы системы, которое определяется количеством независимых виртуальных перемещений бхы бум Мгы ..., бхп, бук» дгы (см. и. 55). В каждом из этих п уравнений отсутствуют реакции связей. Общее уравнение динамики (3) содержит в себе всю информацию о движении данной механической системы с идеальными удерживакп шими связями под действием заданных активных сил. В последующих главах оно будет положено в основу получения всех основных дифференциальных уравнений движения механических систем, голономных и пеголономных. Общее уравнение динамики называют также ди»з»у»еренциальным вариационным принципом Даламбера-Лагранжа. Вариационным принцип называется потому, что в (3) входят вариации виртуальные перемещения. Название дифференциального принцип носит потому, что в пем сравнивается данное положение системы с ее варьироваппым положением в фиксированный, хотя и произвольный момент времени (синхронное варьирование, согласно и.
12). С этой точки зрения принцип Даламбера-Лагранжа может быть сформулирован следующим образом: истинное движение из всех кинематически возможных выделяется тем, что для него и только для него в данный момент времени сумма работ активных сил и сил инерции на лобььх виртуальных перемещен ях равна нулин Нвимвп 1. Две материальные точки миссой гпь и тз (тг > ьпь) соединены идеальной питью, перекинутой через г,тдкий стержень, и движутся в поле тяжести в вертикальной плоскости (рис.
54). Найти ускорения точек. Пусть х» и хз абсциссы точек, гпт и тз соответственно. Тогда из общего уравнения динамики (3) ыедует, что (зп,~» — т,хч)бх~ + (пьем» вЂ” тгхг)бтг — — О. (5) Но так как нить нерастяжими» то имеет место геометрическая связь зц + хг + яН = сопят, где Н вЂ” радиус сечения стержня. Поэтому бхь = бхг» хь = — хы и уравнение (5) запишется в виде [(тг — п3ь)Д вЂ” 1»»Н + тпг)хзт»хг = О.
105 З 1. !1ринцнл Даламбера- Лагранжа Отсии1а в силу произвольности виртуального перемещения бхг получаем гн2 гк1 Х2 7П1 + газ Рис. 55 Р:. 54 ПРИШР 2. Найдем дифузерецциаггВНОе Ууавпение движения плоского математического маятника. Маятник будем дгя простоты представлять в виде точечной массы т, прикрепленной при помощи невесомого стержня длиной 1 к то те А, вокруг когпорой стержень может вращаться без трения в вертикальной плоскости. Направляя оси Ах и Ау декартооой системы координат., как показано на рис. 55, получаем х = 1соянг, у =121пяг, бх = — 1я1п~рб1р, бу = 1соя1рб1р х = — 1 я 1п д гр' — 1 соя р фз, у = 1 соя ~о 1р — 1 я1 и 1р яз2, Общее уравнение динамики (Š— тх)бх+ (Нз — ту)бу = О дает равенство — т1(д"ягп ьз+ 11р)б~р = О, откуда, ввиду произвольности вариация бу1, следует диу14еренциальиое уравнение движения маятника гр+ — язп1р = О Я,.
(6) 106 Глава 1П 3АмечАние 1. из общего уравнения динамики (3) видно, что оно (а, следовательно, и движение системьь) не изменяется, если вместо системы сш1 х„, взять какую-шбо другую систему сил х'*, такую, чтобы элементарная работа обеих систем сил ни любых одинаковых виртуальных перемещениях была одинакова, т. е.
х' дз = 1 я' 6г. 32. Принцип Журдена 58. Принцип Журдена. Представляет интерес преобразовать общее уравнение динамики таким образом, чтобы прийти к формулам, в основном эквивалентным уравнению (3) п. 67, но имеющим другую структуру. Так как уравнение (3) п. 57, по существу, содержит в себе все законы движения механических систем с идеальными удерживакэщими связями. то эти новые формулы не будут выражением принципов, существенно новых. Однако они могут дать новую интерпретацию, обнаруживающую общие свойства движения систем и наложенных на них связей, которые не могут быть получены из уравнения (3) п.
57 непосредственно. Рассмотрим множество кинематически возможных движений нз возможного положения з„* с различными возможными скоростями о„*. Будем сравнивать их одно с другим и с действительным движением из того же положения в тот же момент времени. Так мы получаем варьирование по Журдену (и. 12), при котором дг = боэьь1, где величина до„= о*, — о*, — разность возможяых скоростей в сравниваемых движениях (эта величина не обязательно явлнется бесконечно малой). Подставлян это выражение длн дгэ в общее уравнение динамики (3) и сокращая на ЬБ получаем (х' — т,„эв ) ди = О, Формула (!) выражает диу1!ререпциальный вариационныб принцип Журдена.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
