1611690520-cad13a71384007d4c452b5b97d2163c9 (826920), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Из условий (9) получаем теперь, что при равновесии системы Примпр 3. Тяжелое колечко надето на прут, которому придана форма кривой, определяемой уравнениями — + — '+х =1, —,+ — '+э=1, у 2 х у 36 9 ' 6 3 где ось Ох направлена вертикально вверх. Найдем положения равновесия колечка. Пусть виртуальное перемещение колечка задается величинами бх, бу, бх. Продифферениировив уравнения, задающие форму прута, получим, что на виртуальном перемещении должны выполняться условия тбх+4убу+ 36хбх = О, бх+ 2бу+ Обх = О, 120 Глава 1Г Для положения равновесия элементарная работа Рбг (Р— вес колечка) силы тяжести должна равняться нуте.
Поэтому бг = О, и предыдущие два уривнеиия эапишутся в виде хбх+ 4убр = О, бх+ 2 бр = 0 или, после исключения бу, (х — 2у) бх = О. Зто условие должно выполняться при любых бх, следовательно, х=2у. Принимая во внимание урпвнения кривой, по которой иэогнут прут, получим два решения: 1) х=4, у=2, г= — —: 1 3' 2) т=О, у=О., г=1. Пгимир 4. Однородный стержень А1э опириется концом А на вертикальную стену, а в некоторой другой точке — — на ребро Рэ (рис. 02). Длина стержня 2а, расстояние точки В от стены Ь. Найти угол, сэ при равновесии стержня. Рассматривае кая система голономна и имеет одну степень свободы.
Примем угол а эа обобщенную координату. Потенциальная энергия П = — Рхээ, где хс - абсцисса центра тяжести стержня; хо = Ьсьасэ — асоэа. Условие равновесия дП/да = 0 дает уравнение для еы Рис. 62 Ь вЂ” + ав01и = О, е1и а откуда э Ь с4па = ~ Ч ' Равновесие стержня воэможно только в том случае, когда Ь < а. 121 З 1.
Статика произвольной механической системы 64. Эквивалентные системы снл. Рассмотрим совокупность сил (еы Гг, ..., еь), приложенную к некоторой механической системе. Допустим, что эта совокупность сил в данной механической системе заменена на совокупность сил (л';, лг*,...., У;*). При этом количество, точки приложении, величины и направления сил в первой и второй системах могут быть различными.
Двиячения механической системы под действием первой и второй систем сил при одинаковых начальных положениях точек системы и одинаковых их начальных скоростях могут быть одинаковыми, а могут отличаться. Если две системы сил могут быть заменены одна другой без изменения движении (или состоянии покоя) механической системы, то такие системы сил будем называть эквивалентными. В частности, если добавление или отбрасывание некоторой системы сил не изменяет движение механической системы, то говорнт, что эта система сил нвляется уравновешенной или эквивалентной нулю. Эквивалентность систем сил обозначается символом: если две системы (Хю Гг, ..., Гь) и (е',*, Г', ..., е';) эквивалентны, то пишут Ж; йг " Ю Фь' йг*. " й7).
Из общего уравнения динамики следует (см. замечание 1 в и. 57), что две системы сил эквивалентны тогда и только тогда, когда они совершают одинаковую работу на любых (одних и тех лсе для обеих систем сил) виртуальных перемещениях механической системы. Выразим этот критерий эквивалентности через обобщенные силы. Пусть С11 и Я1* (1 = 1, 2, ..., гп) —. обобщенные силы, отвечающие первой и второй системам снл соответственно, а бА и бА* — элементарные работы этих систем на виртуальных перемещениях бс1ю бах, ..., бс1 . Составим разность (15) Для голономной системы величины бой независимы.
Поэтому, приравняв нулю левую часть формулы (15), получим, что системы сил, приложенные к голономной системе, эквивалентны тогда и только тогда, когда их обобщенные силы совпадают при каком-либо выборе обобщенных координат. В случае неголономной системы величины бдю зависимы. Подставив в этом случае величины (П) в (15), приведя подобные члены и приравняв результат путо, получим, что в случае неголономпой системы для эквивалентности двух систем сил необходимо и достаточно, чтобы при каком-то выборе обобщенных координат совпадали величины ф и Я';, вычисленные для обеих систем сил по формулам (13). 122 Глава 1У Пгиивв 1.
Материальная точка Р(х...у) движется в плоскости и имеет скорость, постоянно направленную ка движущуюся точку Ро(хо(у), уо(Г)). Уравнение связи имеет оид у — уо(1) . у= х. х — хо(й) (16) Оь = уо(1) — чг, Юг = — хо% + Ф. Пз уравнения связи (16) следует, что д, — у,(1) чг — хо(г) Поэтому из формулы (16) имеем Я1~ = О. Если еместо силы Р к точке Р приложена сила Р' = — ЕХ (Й ф 1), то аналогично получим гг' = О.
Поэтому силы Р и Р' е рассматриваемой кеголокомкой системе эквиоалекткьь Ешш бы связь (16) отсутствовала, то имел бы место случай голономной систекы, а силы Р и Р* не были бы эквивалентны. В 2. Статика твердого тела 65. Необходимые и достаточные условия равновесия твердого тела. Пусть к твердому телу приложена система внешних сил с главным вектором В~О и главным моментом М~, относительно произвольно выбранного полюса. Считая твердое тело свободным, получим необходимые и достаточные условия его равновесия.
Если тело несвободно, то его можно рассматривать как свободное, мысленно отбросив связи и заменив их действие на тело реакциями (и. 46). В этом случае реакции связей, которые обычно являютсн неизвестными, войдут в выражения для ЛЫ~ и М' 1. К свободному твердому телу, как к системе с идеальными связями, применим принцип виртуальных перемещений, цающий необходимые и достаточные условия равновесии системы с идеальными удерживающими связями. Поэтому наша задача состоит только в том, чтобы выразить общее уравнение статики (4) п. 62 через главный вектор и главный момент сил, приложенных к конкретной системе — твердому телу. При непостоянных хо, уо это — дифференциальная неиктегрируемая сеяло. Еледоеательно, т = 2, а = 1, и = 1. Пусть к точке Р приложена сила Е(уо(г) — у, —:со(1) +:г).
Ей отвечают такие обобщенные силы (дг =- х, уг — — у): 123 З е. Статика твердого тела мо" =о. г) Гь~ег = О, Доказательство. Заметимг что, так каь свободное твердое тело нвляется склерономной системой, его произвольное действительное перемещение за время дд является виртуальным. Позтому, воспользовавшись формулой (3) п. 32, можно элементарную работу сил, приложенных к твердому телу, на его виртуальном перемещении записать в виде бл = Лж и й1+ ИОВ агй1, (2) где и, — скорость полюса, а ы — угловая скорость тела в момент времени 1 (1о < 1 < 1ь). Так как в, и ы — произвольные величины, то из общего уравнения статики 6А = О следуют равенства (1).
Теорема доказана. Если (Гы Ргг ..., лгь) система внешних сил, приложенных к твердому телу, а т;, дь г; — координаты точек приложения силы Х; (г = 1, 2,..., Й) в декартовой прнмоугольной системе координат с началом в полюсе О, то необходимые и достаточные условия равновесия твердого тела (1) запишутся в скалярной форме в виде следующих шести равенств: ~ гье = о, ~ г,„ = о. ~ г;, = о. ь=1 (3) ь ~(гу~.
— г;Гьг) ~ ~(,г,.—,;,) ь=1 (х;Г;„— угу, ) =О, (4) =О, = О. В частных случаях некоторые из шести равенств (3)г (4) могут удовлетворяться тождественно. Механическая система, у которой реакции всех наложенных связей могут быть определены из условий равновесия, получаемых в статике, Теорема. Для равновесия твердого тела при 1о < 8 < 1, необходимо и достаточно, чтобы а момент времени 1, тело покоилось, а главный вектор В~'~ и главный момент внешних сил лгло ~ относительно про- извольно выбранного потова 0 при 1о < 1 < 1ь равнялись нулю: 124 улова 1à — Т вЂ” +Х=О, — Т вЂ” т1 =О, Х вЂ” Р=О, ~2,,ъ'2 2 ' 2 Уа — Ус — тР(о+ Ь) = О, — Ха+Хе+ гР(о,-~-Ь) = О, УЬ вЂ” ХЬ = О. 1 1 3 3 Решив эту систему, получ м, что чг 2(2о — Ь) Зс Х=1= ' Р, 2о,— Ь Зс 66.
Критерий эквивалентности систем сил, приложенных к твердому телу. Критерий эквивалентности систем сил, приложенных к произвольной механической системе с идеальными удерживающими связями, получен в и. 64. Здесь получим критерий эквивалентности длл систем сил, приложенных к твердому телу.
называетсн статически определимой, в противном случае — статически неопределимой. Если рассматриваемое в данном пункте твердое тело несвободно, то равенства (3), (4) будут системой уравнений относительно проекций реакций свнзей. Случай статически определимой механической системы имеет место лишь тогда, когда число неизвестных проекций не превосходит числа не удовлетворяющихся тождественно уравнений системы (3), (4). Пгимкг 1. Однородная доска в форме равнобедренного треугпльника АВС (ЛС = Ь = ВС) весом Р опирается вершинами на Ь три координатные ~ловкости и привя- Х вано за точку С к точке О с помощью нити СО (рис.
63). Определим катязсе- Ъ ние Т нити и реакции Х, Ъ', Я в точ- ках А, В, С. Даны расстояния а., Ь, с и с 4 у угол СОу = к,~4. Т Е На доску действуют пять сил: сила татгести, натяжение нити и реакции в точках А, В, С, причем по- а следние, ввиду отсутствия трениц перРис. 63 пекдикулярны спотввтствующим коор- динатным плоскостям. Из геанетрических сопбражекий нетруднп получить, что центр а+Ь о+Ь 2с тяжести доски имеет координаты Необходимые и достаточные условия равновесия (3), (4) запишутся в виде следующей (совместной) системы шести линейных уравнений относительно четырех неизвестных Х, у, Я, Т; 12" 'З' г.
Статика твердого тела Теорема. Для того чтобы две систвлгы сил, приложенных к твердому телу, были эквивалентны, нвобходи ко и достаточно, чтобы они имели одинаковыв главные векторы и главные моменты относительно некоторого полюса. Доказательство. Пусть система сил (Ры Хз, ..., Хь) имеет главный вектор зь1'~ и главный момент М1, а другая система сил (Х*, л'.*, ..., У,*)— главный вектор Выед и главный момент М„~'~ Использун формулу (2), составим разность элементарных работ этих систем сил на одинаковых виртуальных перемещениях тела: бл д'4 — 1Ф ~ ) ' "о "~+(Мо Мо ) Согласно определению, для эквивалентности систем сил необхолимо и достаточно, чтобы эта разность равнялась нулю. Отсюда, ввиду произвольности оо и ьз, следует, что В1"4 = ЯМ'б и М, ' = М; Получим связь между главными моментами одной и той же системы сил, вычислешпами относительно разных полюсов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
