1611690520-cad13a71384007d4c452b5b97d2163c9 (826920), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Лини- ей действия силы Г мы называем прямую, на которой е лежит вектор Г. Моментом силы Г относительно аси и называет- Рис 46 ся проекции на эту ось момента силы Г относительно точки, взятой на втой оси.Момент силы Г относительно оси и обозна- чается гна(Г). Пусть е — единичный вектор оси и (рис. 46). Возьмем на атой оси точки 0» и Оз. Тогда, согласно определению, т„(Г) = (г» х Г).е, а так- же т,„(Г) = (гз х Г) е. Составим разность (г» х Г) е — (гг х Г) е. Опа равна нулю, так как (г» х Г) ° е — (гг х Г) е = ((㻠— гз)х хГ) ° е = (0»0» х Г) ° е, а векторы 0»Оз х Г и е ортогональны. Тем самым показана независимость величины т (Г) от выбора точки на оси.
Пусть Гв, Гв, Р, и х, у, г — компоненты силы Г и радиуса- вектора г точки ее приложения соответственно в декартовой прямоугольной системе координат Оиуг с началом в точке О. Тогда из (6) следует, что момент силы Г относительно точки 0 задаетсн в етой системе координат компонентами т, (Г) = уГв — гГ„., тв(Г) = вХв — шР;, га,(Г) = хГв — уГв (7) 92 Глава 11 Мо»» ~ ~ньо(»' ) = ~~' г х»'.
(8) «=1 «=1 Так же,как н для главного вектора. можно показать, что главный момент внутренних сил равен нулю и Мо = ~ то(»'„' ), т. е. главный (») «=1 момент всех сил системы равен главному моменту М ее внешних (») сил. Главным моментом Ми системы сил относительно оси и называется проекция на зту ось главного момента Мо, вычисленного для какой-либо точки оси. Независимость величины М, от выбора точки на оси доказывается так же, как и в случае одной силы в л. 49. В декартовой системе координат Окуз главный момент Мо имеет компоненты, вычисляемые по формулам Ж М» = ~~' (Уи»и» з«К у) ~ Х Му — Л~~ (зиР» ли»и») ~ «=1 1Ч М» = ~~~ (лиг у Уи»ие) ' (9) Величины М,, Му и М, -- главные моменты сил относительно осей Ол, Оу и Оз.
Направление главного момента определяется формулами М, Му М, соз(Мо,у) = — *, соз(Мо,,т) = — ", соз(Мо,й) = — ', Мо ' Мо' Мо' Мо = Ы, -(- Му -ь М,. (10) Величины те(Р),т„(Р) и »п,(Р) — моменты силы Р относительно осей От, Оу и Оз. Из (7) сразу следует, что момент силы относительно оси равен нулю тогда и только тогда, когда линия действия силы и ось лежат в одной плоскости.
50. Главный момент системы сил. Пусть снова»' —.. равнодейству1ощая всех сил, приложенных к точке Р, механической системы, а г — радиусы-векторы точек Р» относительно точки О. Главным моментом Ме зтоб системы сил относительно точки О называется сумма З Ю. Работа. Силоваа 4ункциа. Идеальнме вонзи В 3. Работа. Силовая функция. Идеальные связи 51. Работа системы сил. Пусть Х равнодействующая всех сил системы (внутренних и внешних), приложенных к точке Р, а йг„— смещение точки Р, вдоль ее траектории. Эленентарной работой гйА силы Р на перемещении йг называется скалярное произведение г1'А =Х йг,=У,,йя,+Р„ийу +Г„,йе.
Элементарная работа й'А всех сил системы получается путем сумми- рования выралгений (1) по индексу ис вйА = ~~ Х ° 4з = ~(Р. Ат, -Ь У ийр„-Ь Р вйе ). (2) Символ а) указывает на то, что правые части в (1) и (2) ие обязательно являются полными дифференциалами. В выражения (Ц и (2) для элементарной работы входит работа как внешних, так и внутренних сил. Обозначив через й'А~е~ работу внешних сил, а через й'Арб — работу внутренних сил, выражение (2) можно записать в виде й'А = й'Ао~ + г1'Аб~. Пусть точка Р„совершает конечное перемещение из положения М, в пололгение М„,, описывая дугу М„М„, и пусть Р„и аг, могут быть выражены через один и тот же скалярный параметр 1 (который пе обязательно должен быть временем) так., что положения М „и М, точки отвечают значенинм 1в и П этого параметра.
Тогда выражение (1) будет представлено в виде функции параметра 1, умноженной на его дифференциал, и может быть проинтегрирована по 1 в пределах от 1о до 1ы Результат интегрирования называется полной работой А силы Г, на рассматриваемом конечном перемещении вдоль пути М,Миг Полная работа всех сил системы представляет собой сумму по и величин А . 52. Элементарная работа сил, приложенных к твердому телу. Здесь покажем, что элементарная работа системы сил, приложенных к твердому телу, определяется лишь работой внешних сил, и найдем нужное для дальнейшего выражение элементарной работы через главный вектор, главный момент внешних сил и характеристики мгновенного кинематического состояния тела.
Будем представллть себе твердое тело как механическую систему, состоящую из Дг (Х ) 2) отдельных точек Р„взаимные расстоннил между которыми не изменяются. Пусть Р равнодействующая всех 94 Глава 11 сил, приложенных к точке Р„тела, которую будем записывать в виде суммы равнодействующих Х + Х всех внешних и внутренних сил, (в) П) приложенных к точке Р,. Пусть Π— произвольно выбранный полюс в твердом теле. Скорость еи точки Р, относительно неподвижной системы координат определяется по формуле (см. и.
24) э„=о,+ыхг, где о, — скорость полюса, ы — угловая скорость тела. Поэтому смещение точки Р вдоль ее траектории равно (э, + ы х г,) Й, где Ф— диффереш)иал времени. Для элементарной работы системы снл получим выражение Х /я к 4'А= ~~1 Х ° (э,+а1 х г„)й = ~~~1 Х ~ ° о,й+~~1 (а1 х г ) ° Х й. и=1 и=1 и=1 Воспользовавшись свойствами смешанного произведенил, перепишем это выражение в виде 11'А= ~~ Р,) ° о,В1+ (~ г х Р а114. / ),и=1 Заменяя К на сумму Х„и Х и учитывая, что главный вектор и главный момент внутренних сил равны пулю, получаем окончательно УА Д(в) 1+ )У(в) 41 1дЕ Л1в) И М, ГЛаВНЫй ВЕКтар И ГЛаВНЫй МОМЕНТ ВНЕШНИХ СИЛ относительно точки О. 53.
Силовое поле. Силовая функция. Потенциал. Предположим, что на материальную точку, движущуюся относительно инерцнальной системы отсчета, во всем пространстве или в какой-то его части действует сила, зависящая от полоя1ения точки (и, быть может, от времени), но не зависящая от скорости точки. В этом случае говорит, что в пространстве или его части задано силовое поле, а также, что точка движется в силовом поле. Соответствующие понятия для системы материальных точек аналогичны. Силы, завислщие от поло1кепил, в механике встреча1отся очень часто.
Такова, например, сила, приложеннал к точке, движущейся по горизонтальной прямой под действием пружины, к которой эта точка прикреплена. Важнейшим примером силового поля в природе является З 3. Работа, Силовая фуяяция. Идеальные связи гравитационное поле: действие Солнца на планету данной массы вполне определяется в каждой точке пространства законом всемирного тяго- тенин. Силовое поле называется потенциальным, если существует скалярная функция П, зависящая только от координат х„, у,, г точек Р, материальной системы (и, быть может, от времени), такая, что Р, = .
Еи=,, гз=, (и=1,2,..., Ж). (4) Функция П называется силовой функцией. Функция П = — Г называетсн потенциалом, или потенциальной энергией. Функция П определена с точностью до аддитивной постоянной. Потенциальное поле называется нестационарным или стационарным в зависимости от того, зависит функция П явно от времени или нет. Силы Х, удовлетворяющие равенствам (4), называются потенциальными.
Элементарная работа сил стационарного потенциального полл представляет собой полный дифференциал. В самом деле, из (2) и (4) получаем из= г.1зсы»з"зз + з"з*) =си=-м. (з> з, дх» Пу» дг» Поэтому если в рассматриваемой области пространства П нвляется однозначной функцией от х, у„г (и = 1, 2,..., Х), то полнан работа сил потенциального полл при переходе из одного положения системы в другое не зависит от путей перехода точек из их начальных положений в конечные. В частности, если все точки системы описывают замкнутые пути, то полная работа равна нулю. ПРимкР 1 (ОднОРОднок ВОлк тяжксти).
Пусть тп — масса точки, И вЂ” ускорение свободного падения. Тогда (рис, 47) г"я = О, Рзз = О, дз', = — ту; П = таг Пгимкг 2 (Силовок полк хпгхгой пгхжнны). Пусть материальная точка движется вдоль оси Ох (рис. 48) под действием пружиньц к которой она прикреплена. Исли при х = О пружина не деформирована, то при малых отклонениях точки можно считать, что со стороны ~ружины к ней приложена сила Е = — йх (й > О). П этом случае П = ~/, йх~. Глава П Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
