1611690520-cad13a71384007d4c452b5b97d2163c9 (826920), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Относительное ускорение лежит в плоскости окружности и направлено к ее центру: пг,„' = (О, — исзЛзгпср, — исзПсозуг). Кориолисово ускорение пгс .= 2иг х о„ перпекоикуляргсо и госкости окруьжпости; и,' = ( — 2исзЛсоагр, О, 0). Абсолсоткое ускорение точки Р опресселяется по усормуле (! 0). Имеем — ягс',2~ Ф, ' Фг. и..= я~/4+ у. 3 6. Сложное движение твердого тела 33. Постановка задачи. Пусть твердое тело движется относительно системы координат Огвгдглгг которая. в свою очередь, движется относительно неподвижной системы координат О,ХУУ. Тогда говорят, что по отношениго к системе О„ХУЯ тело совершает сложное движение, которое состоит из названных двух составлягощих движений. Аналогично определяется сложное движение из произвольного числа и составляющих движений, Задача изучения сложного двиясения тела состоит в нахождении зависимостей между основными кинематическими характеристиками составляющих движений и сложного движения.
Мы будем рассматривать только зависимости между скоростями поступательных движений и между угловыми скоростями. Для простоты ограничимся только случаем двух составляющих движений. 34. Сложение мгновенно поступательных движений. Пусть ог скорость мгновенно поступательного движения тела относительно системы координат Огжгугзг, а аз — скорость мгновенно поступательного движения системы Огкгусзг относительно О ХУУ. Возьмем произвольную точку Р тела и найдем ее абсолютную скорость о,. По теореме о сложении скоростей (и. 31) Для любой точки Р тела переносной скоростью ое будет скорость о, а относительной скоростью о, будет скорость ог.
Поэтому любая точка Р имеет скорость оь — — ос + ез. Так как все точки тела имеют в данный момент времени одинаковые скорости, то сложное движение тела является мгновенно поступательным. 77 З 6. Сложное движение твердого тела Для случал и составляющих движений аналогично получим мгновенно поступательное движение со скоростью 35. Сложение мгновенных вращений вокруг пересекающихся осей. Пусть твердое тело совершает относительно системы координат Оитгргзг мгновенное вращение с угловой скоростью ыы а система 01егд1з1 вращается относительно системы О,ХУЯ с мгновенной угловой скоростью ыз.
Предположим, что осн составляющих мгновенных вра|цепий пересекаются в точке А (рис. 38). Точка А имеет в данный момент времени скорость, равную нулю. Следовательно, сложное мгновенное движение представляет собой вращение но- рис. 38 круг оси, проходящей через точку А. Найдем его угловую скорость Й. Возьмем произвольную точку Р твердого тела. Для нахождения ее скорости надо в (1) положить ее = ыз х АР, е, = иг1 х АР. Поэтому абсолютная скорость е точки Р равна (2) е„= гог х АР + газ х АР = (игг + игз) х АР. С другой стороны, е,=йхАР. (3) Из (2) и (3) в силу произвольности АР следует, что Таким образом, в смысле распределения скоростей точек твердого тела совокупность двух мгновенных вра|цепий вокруг пересекающихся осей эквивалентна одному мгновенному вращению с угловой скоростью, равной сумме угловых скоростей составляющих вращений.
Для случая п, составляющих мгновенных вращений вокруг пересекающихся осей аналогично можно получить одно эквивалентное вращение с угловой скоростью 78 Глава У Рис. 40 Рнс. 39 Злмнчлннв 5. Если два составляющих вращения происходят вокруг одной и той же оси с одинаковь>ми по модулю, но противоположно направленнь>ми угловыми скоростями, то ш> + шз = 0 и наличие этих вращений не влияет на скорости точек тела, участвующего в сложном двизкении. Отсюда, в частности, следует, что ш сказ>ьзящий вектор, т. е.
его начало можно перемещать в любую точку линии его действия и от этого скорости точек тела не изменятся. де>эствительпо, пусл>ь тело вращается вокруг некоторой оси с угловой скоростью и>. Вектор ш прилолсен в точке А оси вращения (рис. 39). О>п точки В оси отложим два вектора ш> и и>г такие, что ш = ш> — — — и>г, и рассмотрим слолсное вращение тела вокруг одной оси с тремя угловь>ми скоростями ш, ш>, шэ. Согласно скалатшму выше, совокупность двух вращений с угловыми скоростями ш и шг не влияет на скорости точек тела; эти вращения могут быть исключены из системы трех вращений. Таким образом, вектор ш оказался сдвинутым вдоз>ь оси вращения на отрезок АВ бе> изменения скоростей точек тела.
36. Кинематические уравнения Эйлера. Получим выражения проекций мгновенной угловой скорости твердого тела, движущегося вокруг неподвижной точки, через углы Эйлера (п. ! 9) и их производные. Рассматриваемое тело участвует в сложном движении, состоящем нч трех вращений: с угловой скоростью У> вокруг осн ОЕ, с угловой скоростью В вокруг линии узлов О)ч' и с угловой скоростью >р вокруг оси Ог (рис.
40). Уйгновенная угловая скорость тела ш равна сумме угловых скоростей составляющих вращений. Пусть р, у, г — проекции ш соответственно на оси Гд>с, Оу, Гдг, жестко связанные с телом. Выражения для р, у> г через углы Эйлера н их производные легко по- 79 з 6. Сложное дваженае твердого тела р = 1о я1 и д я 1 и аг -Ь д соя аг, а = гр я1п д соя го — д яш р, г = фсояд+ со. (4) Соотношения (4) называются тииематическими уравнениями Эйлера.
Они широко применяются при исследовании движении твердого тела. В А С В Рис. 41 Рис. 42 37. Сложение мгновенных вращений вокруг параллельных осей. Пусть твердое тело совершает мгновенное вращение относительно системы координат Омтгуггг с угловой скоростью гож а система координат Оьт,д,л, вращается относительно абсолютной системы координат О„ХУа с угловой скоростью газ и оси вращения параллельны. В этом случае очевидно, что в мгновенном сложном движении скорости точек тела будут такими же, как в плоском двилсении. Если взять какую-либо прямую в теле, параллельную мгновенным осям вращения составляккцих движений, то скорости всех ее точек в данный момент времени будут одинаконы.
Поэтому достаточно рассмотреть скорости точек тела, лежащих в какой-либо плоскости, перпендикулярной гог и огз. Пусть зта плоскость пересекает плоскость, в которой лежат газ и газ, по прямой АВ (рис. 41 и 42). Если векторы агг и агз имеют одинаковые направления, то сложное движение представлнет собой мгновенное вращение с модулем угловой скорости Й = гоз + гоз, .вектор Й лежит в плоскости векторов газ и гоз (рис.
41), параллелен им, направлен в ту же сторону и делит расстояние между ними внутренним образом на части, обратно пропорпиональные агг и ыз, т. е. аггАС = гозВС. (б) лучить из рис. 40, на котором вспомогательная прямая ОМ лежит в плоскости Овд и перпендикулярна линии узлов. Имеем 80 Глава 1 Действительно, для скорости точки С имеем выражение ва =ьч хАС4-ыз х ВС. Слагаемые векторы в правой части этого выражении параллельны и противоположно направлены.
Но при выполнении равенства (5) они равны по модущо. Поэтому па = О. Следовательно, и все точки оси, проходнщей через точку С параллельно ы1 и ыз, имеют нулевые скорости. Сложное движение представляет собой мгновенное вращение вокруг этой оси. Для нахождения угловой скорости Й сложного движения достаточно рассмотреть скорость одной из точек, не лежащей на мгновенной оси вращения (скорости нсех точек тела вполне определяются скоростями трех его точек, не лежащих па одной прямой: см.
п. 24). Рассмотрим скорость точки В. С одной стороны, ев = ы1 х АВ, а с другой ив = й х СВ. Из равенства ЙхСВ=ы, хАВ следует, что ыг и Й параллельны и одинаково направлены. Для нахождении модули вектора Й приравниваем модули обеих частей равенства (6): йСВ = ы1АВ. (7) Но, используя (5), можно получить, что (8) Из (7) и (8) следует, что й = ы1 + ыз. Аналогично рассматривается случай противоположных напранлений ы~ и ыз.
Примем для определенности, что ы, > ыз. В этом случае сложное движение представляет собой мгновенное вращение с угловой скоростью й = ьч — ыз, вектор Й расположен в плоскости векторов ы1 и ыз, направлен в сторону большей угловой скорости и делит расстояние между ними внешним образом на части, обратно пропорциональные модулям ы~ и ыз, т. е. ьчАС = ызВС (рис. 42). 38. Пара вращений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
