1611690520-cad13a71384007d4c452b5b97d2163c9 (826920), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Отсюда о«Р«Рз = оз Р«Рз, или вз сов ««« = ог салаг. 2. Скорости трех точек твердого тела, не лежащих на одной прямой, вполне определяют скорость любой точки тела. (Очень простое геометрическое доказательство получаетсн, если использовать следствие 1.) 3. Если векторы скоростей трех точек твердого тела, не лежащих на одной прямой, в некоторый момент времени равньб то тело совершает мгновенно поступательное движение.
4. Если в данный момент времени скорости двух точек тела равны нулю, пьо тело либо находится в мгновенном покое, либо совершает мгновенное вращение вокруг прямой, проходящей через эти точки. б. Если скорость некоторой точки тела в данный момент времени равна нулю, то тело находится либо в мгновенном покое, либо в мгновенном вращении вокруг оси, проходящей через эту точку. 6. Мгновенное движение твердого тела в самом общем случае разлагаетсн нп два движения: поступательное со сз«оросгпью, равной тюрости произвольного полюса, и вращение вокруг оси, проходящей через этот полюс. Чтобы найти ускорение ю точки Р, продифференцируем обе части формулы (4) по времени. Получим ю = о, + аз х г+ из х г.
Вектор е = аз называется угловым ускорением. Учтя (6), формулу для ю можно записать в виде (7) ю = юв + в х г + из х (аз х г). Вектор ю„р — — е х г называют вращательным ускорением, в ю„= аз х (аз х г) . осестремительныл«ускорением. Таким образом, ускорение произвольной точки твердого тела складывается из ускорения полазав, вращательного и осестремительного ускорений.
Формула (7) носит название формулы Ривальса. ОО Глава 1 О Рнс. 2З Рнс. 24 25. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Пусть в твердом теле неподвижны две точки 0 и Ов. Прямая, проходящая через О и Оы будет осью вращения. Ось Олб неподвижной системы координат и ось Оз системьв координат Охйж жестко связанной с телом, направим по оси вращения. Ориентация тела относительно неподвижной системы координат определяется углом у(1) между осями ОХ и Ох 1рис. 23).
Точки тела, не принадлежащие оси вращения, движутся по окружностям с центрами па оси вращения и лежащим в плоскостях, перпендикулярных этой оси. Пусть точка Р тела задана в связанной системе координат радиусом-вектором р. Тогда сов ~р — гйп ~р 0 в1п ~р сову 0 0 О 1 г = Ар, А= Непосредственные вычисления показыва|от, что О -хО о о 0 0 0 0 О 0 О, в= Отсюда следует, что угловая скорость ы направлена по оси вращения, причем так, что если смотреть с конца вектора ы, то вращение тела видно происходящим против часовой стрелки. Угловое ускорение в также направлено по оси вращения, причем в ту же сторону, что и ы, если ф~р > О, т.
е. если вращение ускоренное (этот случай представлен на рис. 24), и противоположно ы, если р~р < О, т. е. если вращение замедленное. 'з'4. Киаемвтика твердого прело, Для вычисления скорости и ускорения точки Р примем начало координат О за полюс. Тогда но = О и из формулы (4) имеем и = аг х т. Вектор и легкит в плоскости, перпендикулярной оси вращения.
Его модуль и = ыИ = ~фй, где й --- радиус окружности, по которой движется точка Р. Учитывая, что ш, = О, из формулы Ривальса (7) получим ш = в х г+ аг х н. Вращательное ускорение ш,р — — в х г направлено по касательной к траектории точки Р (к окружности радиуса д); его модуль ш,р — — га = ~Дд (рис. 24). Осестремительное ускорение ш„= аг х н; опо лежит на перпепдикуллре, проведенном к оси вращения из точки Р, и направлено к оси вращения; его модуль ш„= ыгд. Отметим.
что вращательное ускорение точки Р в случае вращснил тела вокруг пеподвигкной оси лвллется ее касательным (такгепциальнрем) ускорением (см. и. 6), в осестремительное ускорение является нормальным ускорением точки Р. Модуль полного ускорения точки Р вычисляется по формуле ш = д~й~+ ыл. Угол Д между направлениями осестремительного и полного ускорений вычисляется по формуле $д Д = г/ы~. 26. Движение вокруг неподвижной точки. Пусть твердое тело имеет одну неподвижную точку О. Тогда снова и = О, ш = О и формулы для и и ш те же, что и в случае вращения тела вокруг неподвижной оси, рассмотренном в п. 25, Таким образом. в данный момент времени скорости точек тела таковы, какими они были бы, если бы тело вращалось с угловой скоростью аг вокруг неподвижной оси, на которой в данный момент времени лежит вектор ш.
Эта ось называется мгновенной осыв вращения, а вектор ы - мгновешрвй угловой скоростьро. Все точки мгновенной оси вращения имеют скорости, равные нулю. Мгновенная ось вращения перемещается и в теле, и в абсолютном пространстве. В свлзи с этим заметим, что при движении твердого тела вокруг неподвижной точки (и в общем случае движения свободного твердого тела) ы не является производной некоторого угла р, так как нет такого направления„ вокруг которого поворот па угол р совершается. При своем движении мгновенная ось вращения описывает в теле коническую поверхность — подвижный аксоид, а в абсолютном пространстве коническую поверхность неподвижный аксоид.
Вершины этих аксоидов совпадают с неподвижной точкой О. Аксоиды касаются один другого по образующей, совпадающсй с мгновенной осью вращения. Можно показать, что при движении тела подвижный аксоид катитсл по неподвижному без скольярепия. Годограф вектора ы лежит на неподвижном аксоиде. Так как в = ы, то угловое ускорение в направлено по касательной к годогра- 62 Глава 1 Рис. 26 Рис. 26 фу и вовсе не обязательно по мпювениой оси вращения (рис. 25). Положим са = сае, где е — единичный вектор, коллинеарный ьс.
Тогда е = ес + ез, где вектор ес — — сье направлен по мгновенной оси вращения, а е = ые перпендикулярен ей. Вектор ес характеризует изменение са по модулю, а ез по направлению. Если мгновенная ось вращения вращается вокруг точки О с угловой скоростью сс, то ез = й х са, Согласно формуле (7), ускорение са какой-либо точки Р тела равно сумме вращательного и осестремительпого ускорений.
При этом саар : е х и : ес х и + ез х и Вычислим осестремительное ускорение. Пусть 11 - точка на мгновенной оси вращения, в которой ее пересекает опущенный на нее из точки Р перпендикулнр (рис. 26). Обозначим вектор Рс) буквой Е Тогда ис„= са х (са х и) = са~е х (е х и) = (6) = щз(е(е т) — г] = из(ОЯ вЂ” т) = со~1. Таким образом, са„ совпадает с тем нормальным ускорением, которое имела бы точка Р, если бы тело вращалось вокруг мгновенной оси вращения., как вокруг неподвижной, с угловой скоростью са. Следует иметь в виду, что, в отличие от случая вращения тела вокруг неподвижной оси, при вращении тела вокруг неподвижной точки са,р и ис„, уже не обязаны бытысасательной и нормальной составляющими ускорения точки Р.
УнРАжненне 3. Показать, что при движении твердого тела вокруг ноподаижной точки вращательная компонента ускорения какой-либо точки тела совпадает с касательной, а осестремительная компонента - с нормальной в том и только в том случае, когда эта точка лежит в плоскости, содержащей са и е. Кинематика твердого тела сь = щзАО = щОС. Из ЬАГ)В имеем е1псг = =3 ос ~ свесь = —, ОС =АОв!ысч = — а. 4, 12 5' ' 5 Поэтому АО 5 щ =,юз — — — щю ОС 3 Далее, ип = со х АР. Скорость вр перпендикулярна плоскости рисунка и направлена на читателя, ор = щАР в1п2сз = 8юза. Так кан модуль угловой скорости постоянен, то угловое ускорение диска определяется равенством е = ьз1 х из.
Вектор е перпендикулярен плоскости рисунка и направлен на читателя, г = щзы вю(к/2 — сь) = = 4щг/3 Найдем теперь ускорение точки Р. Имеем ю = ю,р л- юью где ю,р — — е х АР, ю„= юг1, юьр — — еАР = 20юза/3, юьь = 40юга/3. Вектор ю,р направлен перпендикулярно АР, лежит в плоскости рисунка и составляет с вектором ю„, угол В = к — 2а. Следовательно, и: = юг + юг, — 2юьью„сое2сг = ьз,а. 4.|07, Пгимйг 1. Диск радиуса За катит- , ю„ У ся без скольжения по горизонтальной плоскости, описывая окружность радиуса 4а с постоянной уг- ю' лавой скоростью ьоз и сохраняя ю,, свою плоскость вертикальной. Най- А ', О ти скорость и ускорение наивысшей точки диска Р. Будем представлятпь себе диск ЖВ как осноеацие конуса, движущего- ю, ся вокруг неподвижной точки А (на Рис.
27 рис. 27 показано сечение АРВ этого конуса, скорость центра диска направлена перпендикулярно плоскости рисунка па читате м~. Ввиду отсутствия скольжения скорость точки В диска равна нулю. Лоэтому угловая скорость ю диска направлена по АВ от точки А к В. Величина угловой скорости может быть найдена из равенств Глава 1 Доказательство. Так как движение не являетсн мгновенно поступательным, то ы ~ О. В абсолютной системе координат векторы в, ы и неизвестный вектор ОС запишем в виде Хо О Х„ О О О Поскольку скорость в, искомой точки С равна нулю, то для нахождения 27. Плоское движение те- ~У ла.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
