1611690520-cad13a71384007d4c452b5b97d2163c9 (826920), страница 8
Текст из файла (страница 8)
16)). за обобщенные координаты ложно принять декартовы координаты х, у одной из точек и угол аз, который образует стержень с осью Ох. Координатное пространство есть слой в пространстве (х, у, у), заключенный между плоскостями»э = О и сэ = 2к, противоположные точки которого отождествлены. 46 6 3. Общие основания кинематики системы Запишем в обобщенных скоростях уравнения (2) пеголономных связей. Подставив (21) и (23) в (2), получим (26) ~ , 'Ьбб(ды г(2,..., дт, Г) 61 + Ьб(ды 62,, цо„г) = О (11 = 1, 2,..., в). Величины Ьбб, Ьб определяются равенствами Вг„ Ьб = 2,' " ° ади (((сс1,2,..., а;2=1,2,...,т), =1 В% М опГ Ьд= 2 " або+об (В=1,2,..., л). Здесь в векторах ая и скалярах ад величины гт, гт, ..., гы заменены на их выражения (21).
Для голономной системы обобщенные скорости е)1 независимы и совершенно произвольны. В неголономной системе обобп1енпые координаты, как и в голономной системе, могут принимать произвольные значения, но при атом обобщенные скорости не будут независимы: они связаны о соотношенинми (26). Чтобы выразить виртуальные перемещения бг точек системы через вариации ЙВ обобщенных координат, надо, в соответствии с п.
12, отбросить в выражении (23) дг„)дг и заменить аб на Ьа1, а г, на бг„. Тогда получим' гн Ьги = ~~ —,"баб (ы = 1, 2,..., Х). дс(. (27) 3 Для голономной системы вариации бо произвольны. В неголопомной же системе они связаны соотношениями, которые получаются из (26) путем отбрасывания величин Ьб и замены аб на Ьа".
~ Ьнзбдб = О ((1 = 1, 2,..., в). (28) Следонательно, число степеней свободы голопомной системы совпадает с числом ее обобщенных координат, а число степеней свободы неголономной системы меньше числа гп обобщенных координат на количество а дифференциальных неинтегрируемых связейз. 1 Вообще, длн любой фунииии Г(щ, дз,..., ден б) имеем бт = 2; —,бд..
дг , Оад Зцонечно, предполлгветсн, что связи (26] нвлнютсн независимыми. 46 Глава 1 17. Псевдокоординаты. В некоторзнх задачах динамики, особенно при изучении движения неголономных систем, бывает удобно ввести координаты более общего вида. которые получили название псевдокоординат. Пусть и — число степеней свободы. Рассмотрим и независимых линейных комбинаций обобщенных скоростей я, = ~~сцд, (1 = 1, 2,..., и).
(29) з=1 91 = ~ Вбл; + яз ( 1 = 1, 2,..., т). (30) с=1 Псевдоскорости я; могут принимать произвольные значения; если они заданы, то обобщенные скорости находятся из (30), Величины 40, д; в (30) функции ды дз,..., 9 . 1. Введем согласованное с (29) обозначение йг; = ~~ Субдх (1=1, 2....., и). (31) 1=1 Формула (31) фактически явлнетсн определением величин бль Именно, бя; — зто величина, равная правой части равенства (31), в которой 39 — вариации обобщенных координат. Из (31) и (28) находим выражение йд через величины йг; (1=1, 2,..., и): бц=~~ 4,.бл; 0=1, 2,..., т).
(32) Коэффициенты с — функции о„оз,..., д,е, 1. Величины и; имеют вполне определенный смысл некоторых линейных комбинаций обобщенных скоростей, но сами символы з; могут и не иметь смысла, т. е. правые части в равенствах (29) могут не быть полными производными по времени от каких-либо функций обобщенных координат и времени. Величины ~г; также осмыслены. Это — производные по времени от правых частей равенств (29). Будем называть символы тй псеадокоордияатамп а величины з., и я; соответственно лсевдоскоростями и псеедоусяореяинли.
Некоторые из п; могут быть, в частности, обобщенными координатами об тогда соответствующие я, и й; — обобщенные скорости и обобщенные ускорения. Величины с0 будем выбирать так, чтобы определитель линейной системы из ьч = п, + з уравнений (26), (29) относительно ох (1 = 1, 2,..., гп) был отличен от нуля. Разрешив эту систему, полу- чим йинематина твердого тела Здесь величины йгг могут принимать произвольные значения.
Найдем нужные для дальнейшего выражения для виртуальных перемещений дго точек системы через величины бгго Подставив (32) в (27), получим Бг =~ ~е длг (гг=1, 2,..., г1г), (33) где введено обозначение %-~ дг'е еш = р де д41 д=г (гг = 1, 2,..., Л', 1 = 1, 2,..., о,). Запишем это выражение несколько иначе. Для этого продифференци- руем обе части соотношений (30) по времени и полученное выражение для ггд подстаним в формулу (24), которая примет вид ш, = ~д е„глг+ Ь, (и = 1, 2,..., Ж), г=г где вектор-функции 1г„не зависят от псевдоускорений я,. Отсюда сле- дует, что е г = .,о (гг = 1, 2,..., Дг; г = 1, 2,..., и).
(34) дггг Подставив (34) в (33), получим окончательное выражение для Бг в виде дго = ~~ „"дл, (и =1, 2,..., Х). (35) 34. Кинематика твердого тела 18. Задачи кинематики твердого тела. Определение простейших перемещений. Абсолютно твердое тело — это такая механическая система, у которой взаимные расстояния между точками постоянны. Очень многие объекты природы и техники моделируютсл в теоретической механике системами, состоящими из отдельных материальных точек и абсолютно твердых тел. Отсюда вытекает важность изучения их движения. В дальнейшем абсолютно твердое тело будем для краткости называть просто твердым телом.
!'лааа 1 Если в декартовой прямоугольной системе координат точка Рь твердого тела имеет радиус-вектор гь, то по определению при любых г, ) величины ~т; — г" ~ = г,, постоянны во все время движения. Если помимо связей, обеспечивающих постоянство расстояний г;,, на твердое тело не наложено никаких других связей, то его называют свободн ьн твердым телом. Иными словами: свободным называют твердое тело, на перемещение которого не наложено никаких ограничений. Свободное ~перлов тело являетсн голономной склеропомцой системой.
Свободное твердое тело (такое, в котором есть три точки Р„Рз, Рз, не лежащие на одной прямой) имеет шесть степеней свободы. В самом деле, в голономной системе число степеней свободы и число обобщенных координат совпадают. Число же обобщенных координат равно шести. Действительно, чтобы задать положение одной из точек, скажем Ры нужно задать три координаты; если зто сделано, то положение точки Рз можно уже будет задать двуми параметрами, так как она может двигаться только по сфере радиусом ггз с центром Р,: после того как положении Р, и Рз зафиксированы, у точки Рз осталась только одна степень свободы, так как точка при движении должна оставаться на окружности с радиусом, равным расстоянию от Рз до прямой РгРьь и лежащей в плоскости, перпендикулярной РгРз. Итак, число степеней свободы твердого тела равно шести, как бы ни было велико число Х образующих его точек.
Из приведенных рассуждений следует, что твердое тело с одной неподвижной точкой имеет три степени свободы: если у тела неподвижны две точки, то оно имеет одну степень свободы. Если свободное твердое тело представляет собой бесконечно тонкий стержень ~или связанные им две материальные точки).
то оно имеет пять степеней свободы. Задача кинематики твердого тела состоит в разработке способов задании его движения, а также способов, позволяющих по небольшому числу кинематических характеристик, общих для всего тела, находить кинематические характеристики каждой точки тела. Дадим нужные в дальнейшем определения простейших перемещений твердого тела. Рассмотрим два положения твердого тела, которые назовем его начальным и конечным положениями. При переходе тела из начального положения в конечное оно совершает некоторое перемещение.
Будем рассматривать это перемещение, совершенно отвлекаясь от промежуточных положений, через которые тело проходит во время движения из начального положении в конечное, и от времени, в течение которого совершается этот переход. Таким образом, рассматриваемое перемещение определяется только начальным и конечным положениями тела; если конечное положение тела совпадает с его начальным положением, то никакого перемещения нет.
49 Виввмотива твердого твоа Рис. 17 и = Ар, где А — матрица перехода от системы Охуз к системе ОХ1'в. Положение точки Р тела в абсолютной системе координат задается равенством (2) и = но+ Ар. При движении твердого тела в общем случае изменяется положение полюса О, а также изменяется ориентация тела в абсолютном пространстве. Поэтому 1хо и А в (2) — функции времени: будем их считать дважды непрерывно дифференцируемыми.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
