1611690520-cad13a71384007d4c452b5b97d2163c9 (826920), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Это условие будет выполнено, если прн научении дннженнл можно пренебречь разморамн части1цл н ее вращением. Можно илн нельзя принять материальный объект за материальную точку, зависит от конкретной задачи. Например, при определении положения спутника Земли в космическом пространстве очень часто целесообразно принимать его за материальную точку; если же рассматриваются задачи, связанные с ориентацией антенн, солнечных батарей, оптических приборов, установленных на спутнике, то его нельзя считать материальной точкой, так как в вопросах ориентации нельзя пренебрегать вращением спутника и его следует рассматривать как объект, имеющий конечные, хотя и малые по сравнению с расстоянием до Земли, размеры.
В теоретической механике материальная точка представлнет собой геометрическу|о точку, наделенную по определению механическими свойствами; эти свойства будут рассмотрены в динамике. В кинематике же материальная точка отождоствлнетсн с геометрической точкой. Геометрическое место последовательных положений движущейся точки называется ее траекторией.
Если прн г1 < 1 < гз траектория— прнмая линии, то движение точки прямолинейное. в противном случае криволинейное. В частности, движение точки на интервале времени 11 < Г < гз называют круговым, если на этом интервале траектория точки лежит на окружности.
Механической системой, или системой материальных точек, или. для краткости, просто сисглемой мы будем называть выделенную каким-либо образом совокупность материальных точек. 3. Задачи кинематики. Задать движение точки (системы)— значит дать способ определении положопин точки (всех точек, образу1оших систему) в любой момент времени. Задачи кинематики состоят в разработке способов задания движе- З з. Кинематика точки нин и методов определении скорости, ускорении и других киномати- ческих величин точек, составляющих механическую систему. В 2. Кинематика точки 4. Векторный способ задания движенин точки, Рассмотрим движение ма- Р териадьной точки Р относительно некото- Ю рого тела, которое считается неподвижным. т Пусть Π— точка, принадлежащая этому телу.
Радиус-вектор г движущейсн точки Р относительно О можно задать как векторРис. 1 функцию времени: и = г(т). С течением времени конец вектора и описывает траекторию точки (рис. 1). Производная от и называется скоростью точки Р. Производная от о он г1з г г11 г11з (2) т 11) = щ(1)з+ у11)у'+ з(1)й. При этом для скорости имеем выражение о(1) = — = о з + ову + о, й, сЬ г1с где о = щ, ои — — у, о, = з — проекции скорости и на оси Ощ, Оу, Оз.~ Величина скорости и и ее направление определяютсн равенствами соа(о,у) = —,„, У соа(о, з) = — „, соа(о, Й) = — „. Производнан по ь какой-лиоо величины, нвлшощейсн функцией аргумента а часто обозначаетсн точкой над соответствующим символом, обозначающим эту величину. называется ускорением тачки Р. 5.
Координатный способ задания движения точки. Пусть Ощд неподвижнан декартова прямоугольная система координат, а з„у, и .. орты ее осей Ощ, Оу, Оз. Тогда вектор-функции г(1) может быть задана тремн скалярными функциями щЯ, у(1), з(1) — координатами точки Р: Глава 1 Аналогично для ускорения ю(б) получаем ю(ь) = — = и) с+ юез + ю.й, ~:Ь й (Ь) где п~я = т',. тов — — у, ю, = д — проекции ю на оси Ох, Оу, Ог. И тогда (6) сое(ю,г) = — „;, сое(ю,т) = —,„,, соь(ю,й) = —,. Пгимиг 1.
Задан закон движения точки Р: х = асовбб, у = ав1пбГ, г = сг, где а,б,с — постоянные. Найдем траекторию. скорость и ускорение точки. Нз первых двух равенств, возведи их в квадрат и сложив, получим х +у =а. Зто показывает, что точка движется по поверхности цилиндра радиуса а, ось которого совпадает с осью Ог (рис. 2). Пусть сз угол между проекцией ОА радиуса- вектора ОР на плоскость Оху и осью Ох.
Тогда Рис. 2 у= аяпр, х = а сов ьз, х = — абвзпбд у = абсозЫ, б = с; Величина скорости постоянна, но направление скорости изменяется со временем. Найдем ускорение точки. Имеем х = — аб сов Н, у = — аЬ япЫ, »= Зеггге= ~' соа(ю, з) = — япбб, г =0; сое(ю, Ь) = — сое бй, сог(ю, й) = О. Ускорение имеет постоянную величину и направлено по внутренней нормали цилиндра (от Р к В; отрезок РВ параллелен АО).
а г = ор(Ь. Следовательно, прямая ОА равномерно вращается, а точка Р равномерно перемещается по ойразующей АР. Таким ойразом, точка Р движется по винтовой линии. Определим скорость точки Р. Имеем З Я. Кинематика точки г(п) = †', — = — я(п), Дг г1т 1 (7) До' йт Р где р — радиус кривизны траектории в точке Р. Использун определе- нии (1) и (2) скорости и ускорения, получаем при помощи (7) ег ег Йт е = — = — — = о,г, й ИоМ ,1е 1о, лг л, Дз, оз ш = — = т+о — — = г+ — п.
Я Щ 'ло <Ц 112 Р (9) б. Естественный способ задания движения точки. Пусть в пространстве задана кривая, по которой движется точ- у) ка Р. Для определения положения точки Р + б О, на ее траектории возьмем произвольную точку 01 кривой за начало отсчета дуг и зададим положительное направление отсчета (рис. 3), Каждому положению точ- Рис. 3 ки Р поставим в соответствие свою дугову1о координату о, аналогично тому как на прямолинейной оси каждой точке отвечает своя абсцисса. Величина о будет положительной или отрицательной в зависимости от направления отсчета дуг; при этом длина дуги 01Р ранна ~е~. Если е = о(1) известная функция времени, то движенио точки Р задано.
Такой способ задания движения точки называется естественным. При этом мы будем предполагать, что о(1)— дважды непрерывно дифферснцирусмая функция. Получим выражения для скорости и ускорения точки Р при естественном способе задания движения. Введем естественный трехгранник, образованный единичными векторами т, и, 6, составляющими пра- Р. о„о, ог ее вую тройку (рис. 4). Векторы т и и лежат ~ оо о Ф в соприкасающейсн плоскости траектории в оЧ оо Л оооо" точке Р и направлены соответственно по ка- 1 е лФ"л сательной к траектории в сторону положи- „ооо~ тельного отсчета дуг и по главной нормали Ь траектории в сторону ее вогнутости, век- Рис.
4 тор Ь направлен по бинормали траектории в точке Р. Радиус-вектор г точки Р относительно какой-либо фиксированной точки будет сложной функцией времени: г = г(а(1)). Из дифференциальной геометрии известно, что Глава Г Здесь введено обозначение о = д. Величина о положительна, если точка Р движетсп в положительном направлении отсчета дуг О~Р, и отрицательна в противном случае; о = ~о,р Согласно (8), скорость всегда направлена по касательной к траектории. Из (9) следует, что ускорение всегда лежит в соприкасающейся плоскости. Его можно записать в виде ш=ш+ш„, ш,= т, ш„= — п, сРо- ог л1г ' и р (10) где ш касательпое (тпаигенииальное) ускорение, а чо„- нормальное ускорение точки.
Формулы (10) выражают теорему Гюйгенса о разложении ускорения точки на тангенпиальное и нормальное. Тангенциальное ускорение характеризует быстроту изменения модули скорости, а нормальное — ее направлении. Величина ускорения определяетсн равенством ш=,Г '+ Если о = соней то движение точки называется равномерным. Движение будет ускоренным или замедленным в зависимости от того, возрастает илн убывает величина скорости. Так как аз = аг = дз, то доз~дг = 2дд. Отсюда следует, что движение будет ускоренным, если знаки величин д и д одинаковы, и замедленным, если их знаки противоположны.
Если на интервале времени 1ь < 1 < 1 д = 0 (ш,:— 0), то на этом интервале движение равномерное. Если на каком-то интервале шп = О, а н ф О, то на этом интервале движение прямолинейное (р = оо). ЗАМЕЧлине 1. Из соотношений (8) и (9), в частности, следует, что если вместо одной декартовой системы координат мы возьмем другую декартову систему координат, неподвизкную относительно первой. то излгенится векторное уравнение г = г(1) движен я точки Р, но скорость и ускорение не изменятся. Пгиывг 1, Используя теорему Гюйгепса, найдем радиус кривизны эллипса 2 2 — + — =1 3 62 в произвольной его точке, Будем рассматривать эллипс как траекторию лгатериальной точки с законом движения у = 6ыпй ж = асоег, 'З Л. кинематика точки Нз равенства 4 2 О + 2 Р' получаем такое выражение для радиуса кривизны: оз Р= т/чсг — и12 Учитгивац что 'а+с= % "ь+о '*ь ( ю,) л ч~ (аг — Ьг)з е1о С сонг е ивз' а з1п 1+ Ь соч о получаем следующее выражение для радиуса кривизны как функиии ги (аг и1нг 2+ Ьг созг Ь) з~г Р= аЬ г %»= и='Р Пн Р чо„= от, Величины чз и ю' называются соответственно угловой скоростью и угловым ускорением радиуса ОР (см.
также п. 25). Введем обозначения чз = из, йг = е. Тогда для величины ускорения точки Р получаем выражение О, Рис. б чо = т/юг + чо2 = Йч/ег+из4, Угол /2 между полным ускорением точки чо и се нормальным ускоре- нием (рис. 5) находится из равенства ш, 2К/1 = —,' = —. иы При равномерном круговом движении е = О и ~~ = О. В частности, в вершинах эллипса, лежащих на оси Ох (для них 4 = О, к)ч р = Ь /а, а в вершинах, лежащих на оси Оу (для них Ь = к/2, 3к/2), р = аг/Ь, 7. Круговое движение. Пусть точка движется по окружности радиуса В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
