1611690520-cad13a71384007d4c452b5b97d2163c9 (826920), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Матрица А, задавая переход от одного ортонормированного базиса к другому, нвляется ортогональной, т. е. А ' = А'. Из последнего равенства следует, что ее элементы связаны шестью независимыми Перемещение твердого тела, при котором перемещения всех его точек геометрически равны, назовем поступательным перемещением. Перемещение твердого тела, при котором его конечное положение получается из начального путем поворота вокруг неподвижной прямой, называется вращением (вокруг этой прямой), а сама неподвижная прямая называется осью вращения.
Винтовым перемещением называется совокупность поступательного перемещения и вращения, в которой поступательное перемещение происходит вдоль оси вращения. 19. Векторно-матричное задание движения твердого те- Е1 ла. Углы Эйлера. Пусть Г),Х1'Х з абсолютная система координат Р (рис. 17), Π— произвольнал фикси- р' рованная точка твердого тела, кото- Е х рую в дальнейшем будем называть Нв; О полюсом, ОХУИ вЂ” система коордн- х наг, получающаяся из системы координат О,Х1'Я при помощи поступательного перемещения, Охуз — система координат, жестко связанная с твердым телом, изучением движения которого мы занимаемся.
Само тело на рис. 17 не изображено. Пусть Р некоторая точка тела. Векторы )7г1, В заданы своими компонентами в системе ОХУЯ, а вектор р = ОР— в системе Охуг; очевидно, что р — постоянный вектор. Вектор ОР, заданный своими компонентами в системе ОХ1 Е, обозначим и.
Имеет место соотношение 50 Глава 1 соз з)з — а|п ~ 0 вш уз соз 16 О 0 0 1 Х У Х =Аз Второй поворот осуществляет переход от ОХзУзХ к еще одной промежуточной системе координат ОХзУзг. Соответствующую матрицу соотношениями: сумма квадратов влементов каждой строки (столбца) равна единице и сумма попарных произведений соответствующих элементов столбцов (строк) равна нулю. Следовательно, из девяти элементов матрицы А независимых только три.
Таким образом, матрицу А можно задать при помощи трех независимых параметров. В зависимости от конкретного выбора этих параметров матрица А будет выглндеть по-разному. Рассмотрим один из наиболее распространенных способов задания ориентации твердого тела при помощи углов Эйлера и найдем соответствующую им матрицу А. Углы Эйлера вводятсн следузошим об- г разом (рис. 18). Плоскость Оху пересека- О етсл с плоскостью ОХУ по прямой ОзУ, которая носит название линии узлов.
Угол, составляемый линией узлов с осью ОХ, У обозначается буквой ф и называется углом лрвцессии, угол между осями Ог и ОЯ обозначается буквой У и называется углом пух Х гв тации, угол между осью Ох н линией узлов обозначается буквой 1а и называется углолз собственного вращения. Рнс. 18 Три угла ф, У., у не зависят один от другого и могут быть выбраны совершенно произвольно. Если заданы три числа, являющихся значениями углов зр, у, вз, то тем самым однозначно определена ориентация твердого тела в абсолютном пространстве.
Обычно принимается, что 0 < ф < йз, О < у < н, О < р < й . Переход от системы координат ОХУв к системе Охуг осуществляетсн при помощи трех последовательных поворотов: на угол ф вокруг ОХ, на угол У вокруг ОДг и на угол у вокруг Ог. Все повороты производятся против часовой стрелки, если смотреть с конце соответствующих осей поворота. При первом повороте мы переводим систему координат ОХУЛ в промежуточную систему координат ОХгУ в. Соответствующий переход задается матрицей Ат..
Кинел!стива твердого тело перехода обозначим Аз. х, 12 1 О О О созд — япд О Яш 0 сов д = Аз Аз = И, наконец, третий поворот переводит систему координат ОХ!122 в систему координат Охуз. Этому повороту соответствует матрица Азг сову — япу О 8!ну сову О О О 1 х, 12 Аз = Матрица А перехода от системы координат Охуз к системе ОХУл рав- на произведении) матриц А!А!Аз, ее элементы аг выража!отса через углы Эйлера по следующим формулам: аы — — соз)1) сову — яп0) яп усозд, а!2 = — соз г)) яш у — 81п г)) соз у соз д, а13 = Япг~) 81п0) азг = Янгу) 1'.Оьу+ соь'у)згпус080) (3) а22 = Янгч) 81пу + СОЯ'у СОЯ у СОЯ О.
а23 = СОЯ )))зги 0) аз! — — яп у яп д, азз = соз у яп д, озз = соз д. упклжнкник 1. Привести копкретпь)й пример некоммутвтнвных по- воротов твердого тела. Отметим, что при 0 = О или д = к линия узлов Одг и углы у и у не определены, а определена только их сумма у+ У). Эта особенность углов Эйлера делает их малопригодными для исследования движений, при которых ось Оз тела может принимать направления, близкие прямой, проходящей через ось ОИ, Избежать этих трудностей можно, применян другие углы, определяющие ориентацию тела в абсолютном пространстве) или модифицируя углы Эйлера так) чтобы угол 0 до оси 02 отсчитывалсн не от оси Ол, а, например, от ОХ илн ОУ, Злмкчлник 2.
Мы видели, что конечный поворот системы ОХУл, переводящий ее в систему Охуз, задается матрицей А, являющейся произведением трех матриц, задающих последовательные повороты. Но, так как операция перел!нолсения матриц не обладает свойс)ивом колглутативности, отсюда следует, что конечные повороты твердого тела неколмутативны. Это означает, что в общем случае ориентация твердого тела, получаемая им в результате двух последовате)гьных конечных поворотов, зависит опг порядка выполнения этих поворотов. 52 Глава 1 20. Движение твердого тела с неподвижной точкой как ортогональное преобразование.
Если во все время движения у твердого тела остаетсн неподвижной одна точка О. то говорят, что тело движется вокруг точки О, или совершает сферическое движение. При движении тела вокруг неподвижной точки О в формуле (2) вектор Вв постоянен. Пусть при 1 = О оси связанной с телом системы координат Олуг совпадают с соответствующими осими неподвижной системы координат ОХУЯ. Матрица А будет при этом единичной матрицей (А = Е) и, согласно (1), (2), Я = » .= р. причем выписанные векторы задаются своими компонентами в одной и той же системе координат: либо Окуз, либо ОХУУ, что безразлично. так как эти системы координат при г — О совпадают. Мы будем считать, что векторы заданы в неподвижной системе ОХАЯЛ. Когда тело начнет двигаться, то оно будет «перецосить» с собой вектор р, поворачивая его вокруг точки О.
Через какое-то время 1 вектор р перейдет в вектор г =- А(1)р. Последняя формула определнет преобразование пространства, в котором выбрана система координат ОХУУ. Матрица А(1) ортогональна, т. е. АА' = Е. Отсюда и из правила нахождения определителя произведения квадратных матриц следует, что («1еь А) = 1. Следовательно, «1еь А может принимать тольг ко два значения +1 или — 1, но, так как «1ес А в начальный момент равен единице, стать равным — 1 при каком-либо 1 он не может в силу своей непрерывности по й Таким образом, движение твердого тела вокруг неподвия«ной точки задает собственное ортогональное преобразование.
21. Основные теоремы о конечных перемещениях твердого тела. Теорема (Эйлера). Произвольное перемещение твердого тела, имеющего неподвижную точку, можно осуществить посредством вращения вокруг некоторой оси, проходящей через эту точку. Доказательство. Заметим, что утверждение теоремы Эйлера эквивалентно тому, что у матрицы А есть собственное значение, равное +1. Соответствующий собственный вектор т задает ось вращения. Действительно, так каь г = Аг, то направление этой оси остается неизменным при движении тела. Пусть г"(Л) = йе1(А — ЛЕ) .- характеристический многочлен мат- бй Кинематика тоердого тела рицы А.
Чтобы показать, что ~(1) = О, рассмотрим следующую цепоч- ку равенств: ~(1) = с1сЦА — Е) = с1сь(А' — Е') = г1еь(А 1 — Е) = = ое1(А(А ь — Е)) = осч(Š— А) = с1ет( — (А — Е)) = ( 1)з с1ет(А — Е) = — Я). Отсюда следует, что г11) = О, и теорема доказана. Теперь найдем упоминаемый в теореме угол поворота вокруг оси. Для этого удобно перейти от системы ОХУЯ к системе ОХУ2, у которой ось ОЯ направлена вдоль оси вращения. В этой системе матрица А, задающая поворот на угол о, имеет вид сов о — ап1 о О л1по сов о О О О 1 Замечая, что А и А подобны, и пользуясь тем, что у подобных матриц суммы диагональных элементов совпадагот, получаем равенство, определяющее угол поворота еа 1 + 2 сова = аы + агг + азз Теорема (Шаля).
Самое общее перемещение твердого тела разлагается на поступательное перемещение, при котором произвольно выбранный полюс переходит из своего первоначального положен я в конечное, и на вращение вокруг некоторой оси, проходящей через этот полюс. Это разложение можно совершить не единственным способом, выбирая за полюс разшчные пьочки тела; при этом направление и длина поступательного перемещения будут изменяться при выборе различных полюсов, а направление оси вращения и угол поворота вокруг нее не зависят от выбора полюса. Доказательство. Осуществляется простым геометрическим вычислением. На рис.
19 О,Х1'л — абсолютная система координат. Системы координат ОХ1'/ и 01Х1УчЯч (не показанные на рис. 19) с началом в двух различных полюсах 0 и 01 получаются из ОоХУУ поступательными перемещениями, определнемыми соответственно векторами Ло н йю,. Считаем, что векторы Ло и Во, заданы своими компонентами в абсолютной системе координат О Х1'г9.
Положение произвольной точки Р тела в абсолютной системе координат определяется вектором В. Показанные на рис. 19 векторы р, ры 00ь считаем заданными их компонентами в 54 Глава 1 системе координат Отйг, жестко связанной с твердым телом. Имеем равенства Л = Во + Ар = Ло + А(ООг + рг) = = Ио + А001 + Ар1 = Во, + Аро Отсюда и следует справедливость теоремы П1аля. Действительно, перемещение твердого тела можно представить как поступательное, определнемое перемещением полюса, плюс вращение, задаваемое матрипей А. Причем из предыдущего видно, что матрица А не зависит от выбора полюса, по из доказательства теоремы Эйлера следует, что ось вращения н угол поворота определяются только элементами матрицы А.
Поступательное же перемещение зависит от полюса. Из приведенного выше раве1штвв видно, что для разных лотосов О и 01 поступательные перемещения, задаваемые векторами Во и Во„связаны соотношением Ко, = Ло + АОО,. Упглжнкник 2. Показать, что результирующее перемещение твердого тела не зависит от 0 порядка, в котором следуют одно за другим со- Я ставлпющие его поступательное перемещение и вращение. Теорема (Моцци).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
