1611690520-cad13a71384007d4c452b5b97d2163c9 (826920), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Величины д»',»дг,, д7' /д». адн, ад в (10), (11) вычислнютсв при» = »', г = г*,. В дальнейшем под действительными перемещениями точек системы за время д» будем понимать их Глава 1 бесконечно малые перемещении, линейные по ФП они удовлетворяют уравнонинм (10). (11). Помимо действительных перемещений, в теоретической механике прияцнпиальное значение имеют так называемые виртуальные перемещения. Пусть при у = 1* система занимает некоторое свое возможное положение, опредсляемое радиусами-векторами ее точек г*. Виртуальным перемещением системы называется совокупность величин дг, удовлстворнющая линейным однородным уравнениям Х ,~" д,=о дгл г =1 »г ар дг, =0 (г« = 1, 2,..., г). (12) ()1 = 1, 2,..., е), (13) и=1 где величины Э1„7Эг и ад, вычислены при 1 = 1*, г = г*.
Остановимся на введенном понятии виртуального перемещения подробнее. Величина дг, задастсн проекцинми дх, дуле дз . Так как число неизвестных дх , ду„, дх (и = 1, 2,..., 1«') превосходит число уравнений (12), (13), которым они удовлетворяют, то количество виртуальных перемещений бесконечно. Из (10),(11) и (12), (13) следует, что для склерономной системы действительное перемещение будет одним из виртуальных. Пусть дх„ду„дх, — бесконечно малые величины. Из (7), (8) и (12), (13) видно, что множество линейных относительно Ы возможных перемещений склерономной системы совпадает с мнон«еством ее виртуальных перемещений. Можно сказать, что виртуальные перемещения — зто возможные перемещения при сзамороя«енных» (1 = Ф* = савву) связях.
Коммвнтлгий 3. В примерах 1 и 2 п. 11 множества виртуальных перемещений одинаковы и представляют собой совокупность построенных из точки Р векторов дг, лежащих в проходящей через Р касательной плоскости к поверхности, по которой движетсн матери лвная точка. Бесконечно малые приращения дх, дуя, дх называются вариациями величин х, у, з„. Переход при фиксированном У = 1' из положении системы., определяемого радиусами-векторами г*, в бесконечно близкое положение, определнемос радиусами-векторами г,* + дг, называется синхронным варьированием.
При синхронном варьировании мы не рассматриваем процесс движении и сравниваем допускаемые связнми бесконечно близкие положения (конфигурации) системы для данного фиксированного момента времени. '2 б. Общие основания кинематики система Рассмотрим две совокупности возможных перемещений с одним и тем же значением величины схе. Согласно (б), 2 '-12Г» = Е»е'"~~+ 22О»е(С~~) + (е*, — е*,) Ьб= О (о =1, 2,..., т). (14) »=1 Аналогично из (2) получаются равенства ад» ° (е* — е*) Ьс = О (д = 1 2,....
в). (15) »=1 Если теперь подобную процедуру проделать с уравнениями (4) и (5) (только надо будет еще подставить п1 = ео' (1 = 1, 2), а умножить на 1/2(Ь1) ), то придем к равенствам 1т дзс (11) 2 1е ( с де2с 2 д27 1 ) (,л,б)2 л дг7 (,22)2 д д нг/ »г~ 2 + с' дд (», »е) 'г» Гн 2 г» (2112)2 1» (/дал ап»'(Щ~, П1»е) 2 + ~ д Ю ' т »=1 — — е ' ю дал,, (Ьг) + Š— (е.' -е,*) . + д1 ' ' 2 (17) дав,, (Ьс) + 2 — ° (е — е„„) — О (о = 1, 2,..., г; д = 1, 2,..., е). Возмояпеые скорости е'1 и возможные ускорения ео', (1 = 1, 2) удовлетворяют уравнениям (2) — (5). Подставим в (3) величины 2 = 1', г» = г*, е„= е", и умножим обе части етого равенства на Ь|, затем подставим в (3) величины 8 = 8", г, = т;*„и„= е', и снова умножим на слй Если теперь из первого результата вычесть второй, то получим равенства 40 Г21ава 1 Составим теперь разность двух возможных перемещений: '~1ги ~"ьзьи (еи1 о 2)~~ + (чаи1 шиь) 2 + ' ' ' (~8) (2л1) Если бе = е', — о "2 ф О.
то главная часть величины (18) линейиа по сьй Она равна де„2ль и, согласно (14), (15), удовлетворяет уравнениям (12) и (13), т. с. совокупность величин Бг =до Ь1 (ьи=1, 2,..., 11') (10) будет виртуальным перемещением. Синхронное варьирование (19), прсдполагающео о,', ф- е*,, назынаегсн варьировиниел по Журдену. Если же о*, = и„*,, но дчв, = ьв„*, — и1*, ф О, то главная часть (Ь1) разности (18) равна дш, . И, так как в (16), (17) все суммы, кроме первых, при е*, = е'ь обращаются в нуль, главная часть разности (18), согласно (16), (17) и (12), (13), будет виртуальным псромощением (20) дг = — дш (Ь1) (и=1, 2,.... Х).
2 Такое синхронное варьирование, в котором предполагается, что ое, = е*ь, а чв', У': ш„*,, называстса ваРьиРованием по ГаУссц. 13. Число степеней свободы. Виртуальные перемещении Бхи, дУио дх, (и = 1. 2,..., Х) УдовлетвоРЯют г + в УРавненивм (12), (13). Число независимых виртуальных перемещений системы называется ее числом сл1епеней свободы. Число степеней свободы мы будем всюду обозначать п. Ясно, что п = 311' — г — в. Пгимвг 1.
Одна свободная точка в пространстве имеет три степени свободы. Пгимвг 2. Система, состоящая из двух точещ связанных стержнем, двилсущимся в плоскости, имеет три степени свободы. Пгимьв 3. Конек, движущийся по льду (пример о из и. 10), имеет две степени свободы. Пгимиг 4. Материальная точка, движущаяся по подвижной или непо- движной поверхности, имеет две степени свободы. Пвимьг 5.
Система двух стержней, соединенных шарниром и движущихся в плоскостпи (ножиицы), имеет четыре степени свободы. 14. Обобщенные координаты. Рассмотрим несвободную систему со свнзями (1), (2). Ьудем предполагать, что г функпий 7' от ЗЖ 41 'З 3. Общие основания кинеяонаони снснсеяы аргументов хн, д, лн (и = 1, 2,..., Х) независимы (время 1 здесь рассматривается как параметр). В противном случае одна из связей противоречила бы остальным или была бы их следствием.
Наименьшее число параметров, необходимое длн задании возможного положения системы, называется числом ее независимых обобщенных координат. Так как функции /„(11 = 1,..., 1) независимы, то число обобщенных координат, которое мы будем обозначать т, равно ЗЮ вЂ” г, Эа обобшенные координаты можно приннть т из Зсзс декартовых координат х, ун, зю относительно которых можно разрешить систему уравнений (1). Однако, как правило, такой выбор обобщенных координат практически мало пригоден. Можно ввести любые другие ьк независимых величии Чы Чз, ..., Ч, в своей совокупности определяюших конфигурацию системы. Они могут быть расстоянинми, углами, плоШадями и т. и., а могут и пе иметь непосредственного геометрического толкования.
Требуется только, чтобы они были независимы, а декартовы координаты х„р„, зн точек системы можно было выразить ЧЕРЕЗ Ч1, Чз, ..., Чо, И й гь = г.(Ч1, Чз " Ч 1) (1'=1 2 "., Ю) (21) Эти функции, будучи подставленными в уравнения (1), обращают их в тождества. Ранг матрицы дх1/дЧ1 " дх1 /дЧ, др1/дч1 ... ду1/дч дя1 /дЧ1 ... дл1/дусе (22) дхк/дЧ1 ° ° ° дхк/дЧ др /дч " ду /дч для/дсй " - дзк/дчж равен т,. Это следует из того, что среди ЗХ функций х„, д, з из (21) От Ш аРГУМЕитОВ Ч1, ЧЗ,..., Чса (1 ПаРаМЕтР) ИМЕЕТСЯ т НЕЗаВИСИ- мых, через которые могут быть выражены все остальные координаты точек системы. Мы будем предполагать, что обобшеиные координаты Ч1, Чз,..., Ч выбраны так, чтобы любое возможное положение системы могло быть получено из (21) при некоторых значенинх величин ч1, чз,..., ч„,.
Если зто не удается сделать сразу длн всех возможных положений системы, то обобщенные координаты вводятся локально, т. с. для различных совокупностей возможных положений вводятся различные системы обобшенных координат. Тлава 1 Функции (21) будем предполагать дважды непрерывно дифференцируемыми функциями всех своих аргументов.
Кроме того, будем считать, что если система склерономна, то времн 1 не входит в зависимости (21), чего всегда можно добиться соответствующим выбором обобщенных координат. При исследовании конкретных задач механики очень часто совсем нет необходимости составлять уравнения связей (1). Из физической сущности задачи обычно ясно, как надо выбрать обобщенные координаты в таком количестве, которое необходимо и достаточно для задания возможных положений системы.
Если же зависимости (21) требуются при решении задачи, то они составляются, как правило, с помощью геометрических соображений. 15. Координатное пространство. Для каждого момента времени с между возможными положениями системы и точками т-мерного пространства (уы дэ....., д,„) устанавливаетсн взаимно однозначное соответствие. Пространство (уы уэ,....
д ) называется координатным прастранством (или пространством конфигураций). Каждому возможному положению системы отвечает некоторая точка координатного пространства, которую будем называть изображазощей точкой. Движению системы соответствует движение изображающей точки в координатном пространстве. Близость точек координатного пространства определяется естественным образом через близость соответствующих положений системы.
Между положениями системы и точками координатного пространства устанавливается таким путем взаимно однозначное и непрерывное соответствие. Пгимкг 1 (Млткгилльнля точка днижктся по плоскости). Пвврди- нотное пространство — сама эта плоскость.
Пгимкг 2 (Систкмл 1Ч снонодных точкк н пгостглнстнк). Координатное пространство есть 21ч'-мерное евклидова пространство (ш~ В. зы ши ун зн) Пгпмкг 3 (Маятник). Положение маятника, представляющего собой твердый стержень, подвешенный за один из концов к неподвижной точке, задается углом 1э (рис. 1Л), которнй примем за обобщенную координату. Поставим в соответствие каждому положению маятника точку на числовой вси, имеющую координату у. Такое соответствие между положениями маятника и точками числввви оси не будет взаимно однозначным, так как разным точкам вси у и д + 2Ьг (к = т1, т2,...) соответствует одно и то же положение маятника.
Однозначности можно двбитьск, выделив на числовой аси полуоткрытый интервал 0 < уз < 2я. Нв при этом нарушается непрерывность 'г 3. Общие основания кинематики системы О 2т бз Рис. 14 Рис. 15 соответствия, так как два близких положения маятника, для которых «э = О и аз = 2к — е, не будут соответствовать блиэкил точкал на выделенном полуинтервале. Чтобы восстановить непрерывность, нужно считать точки аз = О и аз = 2п тождественными.
Наглядно это ложно сделать, «оклеив» точки аз = О и «э = 2п. Полученный геометрический образ — окружность и будет координатныл пространством лаятника. Пгимег 4 (Двойной мАЯтник). Он состоит из двух соединенных шарнирол твердьсх стержней, один из которых подвешен за свободный конец к неподвижной точке Л (рис. 15). П остальном стержни могут свободно перемещаться в одной плоскости.
За обобщенные координаты ложно при ять угльч у и зб, образуемые стержняли с вертикальным направлением. Каждому положению мола«ника ставятся в соответствие два значения аз и уц определенных с точностью до чисел, кратных 2«г. Поэтому если мы воэьле.к в плоскости ьэ, ф квадрат со стороной 2к и отождествил в нем противоположные стороны, то поэгучим координатное пространство двойного маятника. Наглядно это можно сделать, «оклеив» противоположные стороны квадрата. После первой с лейки получится цилиндр, а пос ге второй — искомый геометрический образ тор. ПРИМЕР 5 (ДВЕ СВЯЗАННЫЕ СГЕРЖНЕМ МЛГЕРИАЛЬНЫЕ ТОЧКИз ДВИЖУ- щиеся по плоскости (Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
