1611690520-cad13a71384007d4c452b5b97d2163c9 (826920), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Тогда (см. рис. 5) о = Л~Р. Из (8) и (10) следует, что улова 1 2В 8. Скорость н ускорение точ- ки в полярных координатах. Пусть е движение точки происходит в заданной плоскости. Помимо декартовых координат х(1), у(1) движение может быть задано, например, прн помощи полнрных ко- Р ординат (рис. 6). Пусть заданы функции г = г(1), «р = р(1). Найдем скорость и ускорение точки Р. О Пусть е, единичный вектор, направрис. 6 ленный вдоль радиуса-вектора г точки Р относительно О в сторону возрастания величины т, а ег — вектор, получающийся из е„поворотом последнего на угол к/2 против часовой стрелки.
Единичные векторы е, и ег задают направлении двух взаимно перпендикулярных осей; радиальной и трансверсальной соответственно. В системе координат Оху векторы е, и ег можно записать в следующем виде'. е' = ( — я1п~р,соя~р). е, = (соя «р, я1п ю), Так как х = г соя р«у = гяшаз, то в системе координат Оху имеем е' = (х.,у) = (говядо — г«ряш«р, гя1пез+гозсоя~р), (12) и«« = (х, у) = ((г' — гозг) соя с« — (гр'+ 2гД я1пез, (И) (г' — гарт) я1п ез -ь (гсо' + 2гу«) соя р).
Проекции о, и о скорости на радиальную и трансверсальную оси называются соответственно радиальной и трансверспльной торост«ьни. Из (11) н (12) имеем (1Л) о,=(е е«)=г, о„= (е е„) = гф. Длн проекций ускорения аналогично получаем и« = р — г«р ., кн = г«р Ч- 2тф. -г Примни 1. /7вилсение точки задано в полярных координатах: г = а1, «р = Ь1 (а, Ь = сопля). Найделс траекторию, сяоростпь и ускорение точки. Здесь, как и всюду в давьнепшем, код векторами мы понимаем векторы- столбцы. Штрихом обоанвчеетсн окервцил трансконированин. 27 б г.
Кинематика точки г=а, ьр=б, г=О, ьр=О. Поэтому радиальная скорость п„постояььна и равна а, трансверсалъная гкоРость оп = ььб1. Дла величины скоРости полУчаем о = lю~ + ог = аЯ+ б~бз. Дли ради льиога и траисверсаль~ога ускорений из (15) получаем выражении щ,. = — а(ьз7, тг = 2аб. Ве шчина ускорении опре.- де гнется равенством ю = ° Ьиьз + щз = аб „/4+ бзбз. .„Г„ 9. Криволинейные координаты, В предыдущем пункте мы видели, что движение точки по плоскости не обязательно задается только декартовыми координатами; можно, например, задавать движение в полиРных кооРдинатах, Вообще, всикие тРи числа Чы Ч„дз, однозначно определяющие положение точки в пространствеь можно рассматривать как координаты этой точки.
Эти числа, в отличие от прямолинейных декартовых координат, называют криволинейными координатами. Движение точки считаетсп заданным, если ео криволинейные координаты вн (ь = 1,2,3) — известные функции времени Чь(1), Свизь между декартовььми и криволинейными координатами задается равенством т г(дь Чз Чз) хам+И+™ (16) где х1 у~ г — функции Чы дз> Чз, ььоторые считаем дважды непрерывно дифференцируемыми. Радиус- вектор г — сложная функция времени: г = г(ан(б) дг(1) Чз(ь)). О Пусть Ро — какая-либо точка в пространстве, ее криволинейные кооРдинаты обозначим Чьо. Чзо Чзо. Первой координатной линией, проходящей через Реь назовем кривУю г = ь'(Чь, Чго, дзо), полУчающУюсЯ из (16) пРи фиксиРованных дз, дз и при изменении дь в некотором интервале.
Аналогично определяются втораи и третья координатные линии. Касательную и ь-ой Рис. 7 Исключив из даннььх равенств время 1, получил уравнение траектории г = аьр/б. Эта кривая назывиется спиралью Арх меда; у нее величина радиуса-вектора аропорииаи льна величине полярного угла. Д лес имеем Гтава 1 координатной линии в точке Ро называют 1-й координатной осью, проходящей через Ро. Единичный вектор 1-й координатной оси (рис.
7) может быть записан в виде 1 дг дт ди др дз (17) г)г *=дч;= Величины Н; называются коэуфициеятани Лиме. Производные в (17) вычисляются в точке Ро. Если векторы еы ез, ез взаимно ортогональны, то криволинейные координаты называют ортогональными. Мы будем рассматривать только ортогопальные криволинейные координаты. Найдем проекпин о„, и иги (1 = 1, 2, 3) скорости о и ускорении та точки Р на оси криволинейной системы координат. Из (1), (16), и (17) получаем о = — = — д1 + —,Чз + — Чз = о, е~ + о, ез + и ез: (18) с1г дг дг дг = !т = дд дч.
дчз где величины о, вычисляются по формулам (18) оса = О„.д„. (1 = 1, 2, 3). Для нахождении величины щсо равной скалнрному произведению зл ° ео заметим, что она, согласно (2) н (17), может быть представлена в виде (20) Далее, (21) гй 1, дд;,/ дд,дт дйдчз дд;ддз а из (18) получаем (22) дз. дчд ддз ддз ддз дф дчз дф Ввиду того, что г — дважды непрерывно дифференцируемая функция от ды дз, дз, можно менять порядок дифференцировании по дь 'З Л. Нинелчатика точки (к = 1, 2, 3) и уо Поэтому из (21) и (22) следует, что (23) Кроме того, из (18) вытекает равенство дг до Вуч Вс)х (24) Используя (23), (24), равенство (20) можно записать в ниде Если тспеРь ввести обозначение Т = из/2, то выРажение длл юч, можно записать в следующем окончательном виде: ичо, — — — 1 — —.
— — ) (ч' = 1, 2, 3). 1 г' й ВТ ВТ'1 '= Н; (,д1ад; Ву„) (25) Пгимиг 1. Найдем скорость и ускорение точки в цилиндрической и сфе- рической систаиах криволинейных координат. В случае цилиндрической системы координат (рис. 8) полагаелч оч — — т, йг — — р, дз = г, и тогда х = т соя чр, у = г яп 1о, х = г„. Н„=1, Н, =т, Н,=1; и,=г, ее=гчр, (26) Т= -(т +т у +г ): (27) чс, = р — гчр, 2 (28) и~г = гф+ 2гфч ю, = гц и: г иг — т з1п ОД ое — г0 2 ч, чо, = г' — гЯп Очоз — гВи, и~и = тапчучч+ 2ЯпВЦ+ 2гсозВфО, (31) щв = гВ + 2тΠ— т яп 0 соз В~ох. В сгьучае сферической систелчы координат (рис. 9) дч = т, уг = ьо, аг = О, и х = тяпу сову, у = тяпВяпр, г = гсоз0; Н, = 1, Нт = тз1пу, Не = г; Глава 1 Рис. 9 Рис.
8 Пииыкг 2. Пусть материальная точка движетсн равномерно по поверхности сферы радиуса а. Точка начинает движение на экваторе, направление ее скорости о образует с меридианами сферы постоянный угол о. Найдем уравнение зпраектории точки (локсодромы), а также момент времеии т, в который точка достигает полюса сферы. Положение точки на сфере зададим при помощи координат у, 0 (рис.
9). Из формул (29) имеем се — — а ззи 0А св = ау. Без ограничения общности примем, что двизкение точки начинается на оси Ох (т. е. при 1 = О, д = О, 0 = к12), угол 0 во время движения уменьшается от к/2 до О, а ф ) О. Так как направление скорости о пересекиет меридиан ьс = сопй под Углом сг, то с18сз = — ов(оо, что пРиводит к диффеРепциальномд уравнению — = — сФд сг взп 0.
00 ачз Проинтегрировив это уравнение с учетом упомянутых выше начальных условий, получим уравнение локсодромы в виде е — ые ае 2 Так как при, 0 = О ьо = сзэ, то локсодрома делаетп около полюса бесчисленное множество витков. Однако общая длина дуги локсодромы конечна.
Найдем ее. Имеем Цв = а Цйз + з~пз 0 йуз = — а йу 1 + ььз а = — а 00 21 'З 3. Общие основания кинематики сиппемн Так как вся дуга 1 локсодромы соответствует изменению В от я/2 до О, то 1 = . Поскольку движение точки равномерное, то зрели яо 2 сова' движения т будет равно 2п сов а' 0 3. Общие основания кинематики системы 10. Свободные и несвободные системы. Связи. Рассмотрим движение системы материальных точек Р, (и = 1, 2,..., Х) относительно некоторой прнмоугольиой декартовой системы координат, предполагаемой неподвижной. Состонние системы задается радиусами- векторами г и скоростями о се точек.
Очень часто при движении системы положении и скорости ее точек ие могут быть произвольными. Ограничения., налагаемые иа величины г и о„, которые должны выполняться при любых действующих иа систему силах, называя>тсп связями. Если на систему ие наложены связи, то оиа называется свободной. При наличии одной или нескольких связей система называется несвободной, Пгимвг 1. Материальная точка может двигатьсн только в заданной плоскости, проходящей через начало координат.
Если ось Ог декартовой системы коордшгат направить перпендикулярно плоскости, в которой движется точка, то = О уравнение связи. Пгимкг 2. Точка движется по сфере переменного радиуса П = 1(г) с центром в нач ле координат. Есэш к, у, г — координаты движущейся точки, то уравнение связи имеет вид кэ + уэ + г~ — з г(1) = О. Пгимкг 3. Две материальные точки Рг и Рз связаны нерастяжимой нитью длиной Е Связь задается соотношением Р— (гч — гэ) > О.
Пгимкг 4. Материальная точка может двигаться в пространстве, оставаясь внутри или на границе первого октанта. Связь задается тремя неравенствами: ю > О, и > О, г > О. Пгимиг б (Движвиив конькл по льдх). Пусть конек движется по льду, расположенному в горизонтальной плоскоппи. Конек будем моделировать тонки л стержнем, одна из точек которого, например С на рис. 10, во все время движения имеет скорость, направленную вдоль стержня. Если ось Ог направлена вертикально, к, у, г — координаты точки С, а у — угол, который образует стержень с осью Ок, то связи задаются двумя соотношениями: г = О, у = сткий.
32 1лава 1 В общем случае свнзь задается соотиошеиисмх 11г, о„, 1) > О. Если в этом Ог соотношении реализуется только знак раСг ) уз венства, то связь называется удерживаюиьей )двусторонней, неосвойождающей). В примерах 1, 2, 5 связи удерживающие. Если жс реализуетсн как знак равенства, так и знак строгого неравенства, то связь О называется неудерживающей (односторонней, освобождаюгцей). В примерах 3, 4 связи неудерживающие. Системы с неудерживающими связнми в дальнейшем но рассматриваютсн.
Если УРавнение свнзи можно записать в виде 11геч 1) = О, не содержвщсм проекции скоростей точек системы, то свнзь иазываетсн геометрической 1нонечной, голвномной). В примерах 1, 2 связи геометрические. Если же в уравнение свнзи 1(г, о, 1) = О входит проекции скоростей о, то связь назьшветсл дифференциальной (кинематической). Дифференциальную свнзь 11г, о, 1) = О называют интегрируемой, если се можно представить в виде зависимости между координатами точек системы и временем (как в случае геометрической связи). Ноинтегрирусмую дифференциальную связь называют еще неголономной связью. Коммвнтдрий 1. В примере 5 дифференциальная связь у = к 1й~р неинтегрируемая. Покажем это.
Предположим противное, т. е. что л, у, уз связаны соотношением 1(к, у, уз, 1) = О. Пусть к, у, уз отвечают реальному движенизо конька. Вычислим полную производную у" по времени В1 . Оу, О1 . ду з = — лг+ — у+ — ф+ —:— О. дк ду д~р ВЗ Используя уравнение связи, 1" можно записить в виде (ду ду\, ду, ду ,1 = 1 — + Зад — ! й+ — ф+ —— : О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
