1611690520-cad13a71384007d4c452b5b97d2163c9 (826920), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Самое общее перемещение твердого тела явзгаетсл винтовым перемещеииель Доказательство. Рнс. 19 Разложим перемещение твердого тела на поступательное вместе с некоторым полюсом 0 н на вращение вокруг полюса. Согласно теореме П!вля, направление оси вращения и угол поворота вокруг нее не зависят от выбора полюса. Для удобства вычислений ось О,Я абсолютной системы координат направим по оси вращения, и пусть в исходном положении тела соответствующие оси абсолютной О,Х1'л и связанной с твердым телом Отрг систем координат совпадают. Коли о — угол поворота, то матрица А, определяющая ориентацию тела в его конечном положении относительно абсол|отной системы координат, имеет вид сова — в1по О ыпо соло О О О 1 ~г'2.
Иевелетике твердого те ге Теорема Моцци будет доказана, если в теле найдетсл такан прнмая, точки которой после перемещения тела из начального положения в конечное переместились бы только вдоль этой прямой. Действительно, выбирая тогда полюса на этой прямой, мы представим перемещение твердого тела в виде винтового перемещения, что и будет означать справедливость теоремы Моцци.
Представим вектор Во перемещенин полюса (ркс. 20) в виде суммь где в абсолютной системе координат Рис. 20 ~ двух векторна льО = ао + льО х ~о Хо то 0 0 0 Во ~о— жо = Пусть Р— точка тела с радиусом-вектором р относительно полюса О. В начальном положении тела р = В,. В конечном положении тела вектор р в абсолютной системе координат перейдет в вектор Мо + АМ„. Рассмотрим прнмую, параллельную оси ОЯ и проходящую через конец вектора В,. Если при перемещении тела точки этой прямой переместились вдоль нее самой, то Ло + АЛ„= В, + В .
Отсюда следует, что (А — Е)В, = — львов Если Х„, 1ю л„компоненты вектора Л„в системе О,ХУ л, то из последнего равенства следуют два скалярных уравнения, которым должны удовлетворить Х„., У,: (сова — 1)Х, — з1па1; = Хо, МпаХ, + (сова — 1)1; = 1о, Величина же В„может быть произнольной, тзк как третье скалярное уравнение удовлетворяется тождественно. Определитель выписанной системы линейных уравнений равен 4згп (а,~2).
Он отличен от нулн, если а ~ О, 2л., т. е. когда перемещение отлично от поступательного. Таким образом, мы получили в теле прямую Х = Х„1' = 1„параллельную осн вращении, точки которой смещаются при перемещении тела вдоль нее самой. Следствие 1 (теорема Бернулли — Шаля). Салеве общее перелеещвние плоской фигуры в своей плоскости есть либо поступательное перемещение, либо вращение вокруг точки. Эта точка нагываетсл ценпьрвлг конечного вращения. вб раааа ! г Плимвг 1.
Пусть >суй движется так, что три его вершины А, В, С переходят в но- С вые положения А>, В>, С> — также веру шины куба (рис. 21). Выясн м, каким простейш м движениел> может быть достиг- Р, нут этот переход. Так как центр куба О при указанном ггг" перемещении остался на месте, то применима теорема Эйлера. Свяжем с кубом систему координат ОХ1 л, оси которой В, перпендилу >ярны соответствующим граням куба. В результате перемещен я куРнс. 21 ба вси ОХ, ОУ и Ол перейдут соответственно в оси Ох., Оу и Оз (рнс.
21). Нетрудно увидеть, что матрица А, задающая перемещение !повара>п) куба, будет такой> А С, О О 1 1 О О О 1 О А= Для собственногв вектора г матрицы А, отвечающего собственному значению Л = 1, имеем г' = (1, 1> 1). Угол поворота определле>пся уравнением 2 со»Ф + 1 = О. Таким образом, указанное перемещение куба достигается вращением вокруг диагонали ОР на угол 12О". 22. Скорость и ускорение твердого тела при поступательном движении.
До сих пор при изучении перемещения твердого тела мы интересовались лишь его начальным и конечным положениями., не обращан внимания на быстроту перемещения. Теперь будем находить скорости и ускорения точек твердого тела при его движении. Двия«ение твердого тела в течение некоторого промежутка времени называется поступательным, если поступательно его перемещение между положениями, соответствующими двум произвольным моментам времени из этого промежутка. Примерами поступательных движений могут служить движение пассажирского лифта в мпогозтал«ных жилых домах, движение ящика письменного стола при его вдвигании и выдвигании, движение кабины «колеса обозрения» в парке. В первых двух примерах поступательное движение прнмолинейпое (все точки тела движутся по прямым).
в третьем примере криволинейное (точки тела движутся по криволинейным траекторинм — окружностям). Так как при поступательном перемещении любые две точки тела Р, и Рг за время А! име>от геометрически равные перемещенил >зз«> г 4. Ниеемегаиеа твердого а~ела о7 и ЬРег, то при поступательном движении все точки тела имеют равные скорости и равные ускорения. Эти одинаковые для всех точек тела скорости и ускорения называются соответственно скоростью и ускорением поступательного движении твердого тела. В дальнейшем мы увидим, что понятия скорости и ускорения твердого тела имеют смысл только для поступательного движения, так как при движении. отличном от поступательного, скорости и ускорения различных точек тела, как правило, неодинаковы.
23. О мгновенном кннематнческом состояния твердого тела. Если в данный момент времени скорости е всех точек твердого тела равны между собой, то говорят, что тело совершает мгновенно поступательное движение со скоростью и. В частности, если п = О, то тело находится в мгновенном покое. Зьмвчлнив 3. Здесь речь идет только о распределении саоростей точек тела е данный момент времени. В частности, ускорения точек тела совсем не обязаны быть одинаковыми.
Если в данный момент времени точки некоторой прямой в твердом теле имеют скорости, равные пулю, то говорят, что тело совершает мгновенное вращение вокруг втой прямой, а прямую называют мгновенной осью вращении. Злмечлние 4. В приведенном определении речь идет только о распределении скоростей точек некоторой прямой е твердом теле. Мгноеенная ось вращения, е частности, е разные моменты времени может занимать разные положения и в деижущелеся теле, и е абсолютном пространстве.
Если в данный момент тело участвует в совокупности двух мгновенных движений, поступательном вдоль некоторой оси и вращении вокруг этой оси, то говорят, что тело совершает мгновенно винтовое движение. В дальнейшем (в п. 28) будет показано, что самое общее мгновенное движение свободного твердого тела является мгноненно винтовым. 24. Скорости н ускорения точек твердого тела в общем случае движения.
Пусть О,ХУЯ неподвижная система координат (рис. 17), Π— произвольно выбранный полюс, Ояуг — жестко связанная с твердым телом система координат; система координат ОХУЯ получается из О,ХУЯ поступательным перемещением, определяемым вектором Ло. Пусть Р некоторая точка тела, р и г вектор ОР, заданный своими компонентами в системах координат Окдг н ОХУЯ соответственно.
Теорема. Существует единственный вектор ы, называемый уг говей скоростью тела„с помощью которого скорость и точки Р тела может Глава 1 быть представлена в виде (4) о=о,+ыхг. где о, — скорость по гюса О; вектор ы от выбора полюса не зависипг. о = Йе + Ар = о, + АА ' г. (б) Покажем, что матрица АА ' кососимметрическая. В самом деле, продифференцировав по времени тождество АА' = Е, получим АА'+ АА' = О. Отсюда АА " = — АА'. Применив операциго траяспонирования к обеим частям этого равенства, имеем окончательно (АА ') = — АА' = — АА Теперь введем обозначения для элементов кососимметрической матрицы АА г по формуле Π— игл игу Π— ых -игу игх О АА Если составить вектор аг' = (огх г гоу, игл) с компонентами, заданными в системе координат О,ХУЯ, то результат умножения матрицы АА на вектор г может быть представлен в виде векторного произведе- ния ы х г. Отсюда и из (5) следует формула (4).
Попутно показана справедливость равенства (называемого формулой Эйлера) Мы ввели ы, взнв предварительно в неподвижном пространстве конкретный базис, задающий систему координат О,Хг'Я. Из (4) получаем. что в этой системе координат аг = г/з го1 о. Единственность ы при заданном полюсе О следует теперь из инвариантности вихря и независимости о от выбора базиса (см. замечание 1 в п. 6). Независимость аг от выбора полюса получаем из того, что компоненты ы целиком определяются элементами матрицы А и их производными по времени, а матрица А от выбора полюса не зависит (см.
и. 21). Теорема доказана. Отметим некоторые следствия, вытекающие из формулы (4). Доказательство. Продифференцируем обе части равенства (2), учтя сначала, что вектор р постоянен, а затем воспользовавшись формулой (Ц. Получим Кинематика твердого тела 1. В калсдый момент времени проекиии скоростей любых двух точек, твердо- 2 го тела на прямую, проходящую через эти точки, равны между собой. (Па рис. 22 оз сов оз = сз соз аз. Механический смысл этого равенства весьма прост: в силу того Р, что РтРз = сопв1, точка Рь не может ни «до- Рис. 22 гнатыз точку Рз, ни «отстатьь от пее.) Доказательство следует из того, что согласно (4) оз = о1 + ш х Р1 Рз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
