1611690520-cad13a71384007d4c452b5b97d2163c9 (826920), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Движение твердого тела называу ют плоским, если все точки тела песо ремещаются в плоскостях, параллель- ных некоторой неподвижной плоскос- Х ти. Пусть этой неподвижной плоскос- тью будет координатная плоскость О, О„ХУ абсолютной системы коорди- Х нат. Каждая прямал, проведеннал в терно. 28 ле перпендикулярно плоскости О,ХУ, движется поступательно. Поэтому длл определении движении этой прямой достаточно знать движение накойлибо одной ее точки. Движение же всего тела булет известно, если известно движение любого сечения тела плоскостью. параллельной неподвижной плоскости О ХУ.
Следовательно, изучение плоского движения тела сводится к изучению движении плоской фигуры в ее плоскости. Плоская фигура, вынужденная двигаться, оставаясь в своей плоскости, имеет три степени свободы. За обобщенные координаты примем две координаты Х, У полюса О и угол ~р, образованный осью Ох, жестко связанной с фигурой системы координат с осью ОьХ абсолютной системы координат (рис. 28). Скорости и ускорения точек плоской фигуры мо1 ут быть найдены по формулам (4) и (7), справедливым для самого общего случая движения твердого тела. Остановимся только на некоторых специфических свойствах плоского движения.
Теорема. Если двигкение плоспой фигуры в ее плоскости в данный момент времени не является лсгновенно поступательным, то в этот момент времени существует единственная точка С фигурьь скорость которой равна нулю. Скорости оппальных точек таковы, какими они были бы при мгновенном вращении фигуры вокруг точки С. Об Кинел«атипа гпоердого тела ее координат получаем из формулы (4) векторное уравнение е,+«охОС=О, которое эквивалентно двум скалярным уравнениям Х.— фУ,=О, У.-~дХ«=0, откуда получаем Х, = — —,Уо, Уо = —,Х„, или в векторной форме 1 ' 1 'Р Ф (10) Если теперь принять точку С за полюс, то теорема будет полностью доказана.
Точке С называется мгновенным центром скоростей. Формула (10) лает геометрический способ нахождения мгновенного центра скоростей, если извести«и угловая скорость а> и скорость полюса и . Смотря с конца вектора «о, повернем вектор и на угол х/2 против часовой стрелки (рис. 29), затем от точки 0 в направлении, которое занял повернутый вектор вон отложим отрезок длиной о„/щ„ конец С этого отрезка и будет мпювенным центром скоростей.
Рис. 29 Рис. 30 Часто вектор вл не задан, но известны скорости ел и ев двух точек А и В плоской фигуры. При построении мгновенного центра скоростей здесь следует рассмотреть следующие возмоя«ности. 1) Если ел = ев, то движение мгновенно поступательное, так как из формулы ев = ел + ы х АВ следует, что ы = 0 (здесь мгновенный центр «находится в бесконечности>; терминология оправдывается тем, что при ф -+ 0 величины Хо и У«неограниченно возрастают по модулю).
2) Если ел ф- ев, но скорость одной из точек, скажем точки А, равна нулю, то А и есть мгновенный центр скоростей. 66 Глава 1 3) Если векторы ел и ев неколлинеарны (рис. 30), то мгновенный центр скоростей лежит на пересечении перпендикуляров, проведенных к векторам ел и ив в точках А и В. Это проще всего показать, опирансь на свойство проекций скоростей двух точек твердого тела на соединяющую их прямую (см. следствие 1 п. 24). Действительно, проекции еа на СА и СВ равны нулю, таь как вектор ел перпендикулярен СА н ев перпендикулярен СВ. А поскольку СА и СВ неколлинеарны, то отсюда следует, что ес = О.
4) Пусть ел ф ев, но вектор ел параллелен оя. Случай, когда вектор АВ не перпендикулярен ол (или ея). невозможен, так как тогда проекции ол и ев на прямую, проходящую через точки А и В, не будут равными. Если же вектор АВ перпендикулярен е,ь (и ев), то мгновенный центр скоростей, как нетрудно проверить, лежит на пересечении прямой, проходящей через точки .4 и В, и прямой, проходящей через концы векторов ел и ев (рис. 31). А В ~'и, Рис. 31 При движении тела мгновенный центр скоростей перемещается и в теле, и в абсолютном пространстве.
Геометрическое место его положений на неподвижной плоскости называется неподвижной цвнтроидой, а геометрическое место положений мгновенного центра скоростей в самой движущейся плоской фигуре называется подвижной ивнтроидой. Можно показать, что при движении тела подвижная центроида катится по неподвижной без сколыкения. Теперь рассмотрим некоторые особенности, касающиеся распределения ускорений точек твердого тела при его плоском движении. Теорема. Пусть плоская фигура двигается в своей плоскости.
Если в некоторый момент времени хотя йы одна иэ величин ф или ф отлична от нуля, то в этот момент времени существует единствеюьая точка 11 фигуры, ускорение которой равно нулю. Показательство. Пусть заданы ускорение полюса гол, мгновенная углован ско- 67 Кинематика тоердого тела рость ог и мгновенное угловое ускорение е. Требуется найти вектор ОЯ такой, чтобы ускорение точки Я было равно нулю. Из формулы (7) по- лучаем векторное уравнение дла 01,): юо + е х ОЯ + ог х (ог х 04',)) = О. (11) Учитывал, что в абсолютной системе координат Хо О О Х42 О, 00= 1), (1 О О О дгХ,2+ РУг = Х, -РХ,~ + Ч1г1), = ~' .
(12) Из условии теоремы следует, что определитель системы (12) фз -Г т4 отличен от нуля. Поэтому она имеет единственное решение Хд — г 4 (~Р Хо — ~Рло); 1д — з 4(Р Хо + Ф 1'о). Р'+ р' Р'+ Ф' Эти формулы можно представить в векторной форме: 00 = (т~юо+е х юо). г „4 (13) Точка Я называетса мгнооеьчеам центром ускорений. Из (13) следует геометрический способ нахождения мгновенного центра ускорений (рис. 32).
Опреде- 4е' лим угол 13 равенством Этот угол пе зависит от выбора полюса и одинаков для всех точек тела. Чтобы получить точку ц), надо вектор юо повернуть на угол,3 в направлении вращения фигуры, если вращение ускоренное, и в противоположном направлении, если вращение замедленное. Затем от полюса 0 в направлении, которое занял повернутый вектор юо, надо отложить отрезок 00, длина которого вычисляется по формуле Рис.
32 юо Г 2 + ю4 из (11) получаем систему двух линейных уравнений относительно Х41, УЦ. Глава 1 Конец Я етого отрезка и будет мгновенным центром ускорений. Рис. 32 соответствует ускоренному вращению фигуры против часовой стрелки. Если мгновенный центр ускорений О принять теперь за полюс, то ускорение любой точки Р в данный момент времени может быть определено так яге, как и при вращении вокруг пеподвияьной оси, проходящей через Г1: чо = иь + ьо„, оз = Я1'ч/ез + юь.
Пгимкв 1. Пусть диск катится по неподвиясной прямой беэ скольжения и скорость его центра О постоянна (рис. 33). Так как при отсутствии скольжения скорость точки Р диска, которой он касается неподвижной прямой, равна нулю, то мгновенный центр скоростей совпадает с точкой Р. Подвизкной цецтроидой будет обод диска, а неподвижной— прямая, по которой он катится.
Так как скорость точки О постоянна, то мгновенный центр ускорений совпадает с центром диска. Рассмотренный пример показывает, в частности, что мгновенный центр скоростей и мгновенный центр ускорений . - это, вообще говоря, разные точки, Рис. ЗЗ Рис. 34 Пгимкг 2. Тонкий стержень АВ опираегпся своей точкой Р на прямой угол, а концом А скользит по горизонт лыьой направляющей с постоянной скоростью е. Найдем абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки Р в зависимости от времени, если 01э = 6 и в начальный момент времени ОА = й (рис.
34). Гкорость точки Р направлена вдоль стерзкня. Мгновенньяй центр скоростей С будет пересечением перпендикуляров, проведенных к стержню в его гаечке Р и к горизонтальной оси в точке А. Пусгпь г4. Кинематика твердого тела ОА = и (к = И)г тогда иг КАОР и ЛАРС имеем АР= ь1йг+тсг зСР= ' ', СА= 6 ' 6 Угловая скорость стержня находится иэ равенства о = ыСА, откуда о ой ой СА йг+ кг Б, '+ оа0' Вектор ы перпендикулярен плоскости рисунка и направлен к читателю.
Вектор углового ускорения стержня е также перпендикугирен плоскости рисунка, но его направление противоположно направлению ьо поскольку — ( 0 . Модуль углового ускорения определяется равенстдог дс вом г = ~, откуда М, 2озЩ (Кг + югйз) Для модуля скорости точки Р имеем Поскольку точка. А является мгновенным нентром ускорений (о = соней), то модуль ускорения точки Р вычисляется при помощи равенств й ь'+4 'о (Кз + г~г)~/~ 28. Кннемвтнческне инварианты. Кинематнческнй винт. Снова вернемся к общему случаю движения твердого тела, рассмотренному в п. 24. В формуле (4) для скорости точки Р тела угловая скорость ы ве зависит от выбора точки Р.
Вектор ьо называют первым кинематическим инвариантом. В более узком смысле мы будем называть первым кииематическим инвариаитом величину 1з — — ыг. Далее, из формулы (4) следует, что для любых двух точек тела А и Л скалярные произведения их скоростей ол и ов иа вектор со одинаковы. Позтому проекции скорости точки на направление угловой скорости не зависит от выбора втой точки.
Скалярное произведение скоростей точек тела на его угловую скорость называется вторым кинематическим инвариантолс 1г —— о ° ы. 7О Глава 1 'М Покажем, что в самом общем случае движения твердого тела, когда Гл ф О, скорости его точек таковы, как если бы тело О совершало мгновенно винтовое движение. Для этого, согласно п. 23, надо показать существование такой примой М1т', все точки н которой в данный момент времени имеют Ь" скорости, направленные вдоль этой прямой и параллельные ы. Пусть выбран какой-либо полюс О и в О у данный момент известны его скорость ео н угловая скорость тела ьа. Пусть они зада- Х '. М ны своими компонентами в системе координат ОХУХ, получающейся из абсолютной системы координат О„ХУХ при помощи поступательного перемещения (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
