1611690520-cad13a71384007d4c452b5b97d2163c9 (826920), страница 18
Текст из файла (страница 18)
48 йА = Е ° йт = РЯ" " = —,Р(Р) ~ = Гмп)дг = — дП. Поэтому П = — / Гыс)де+ сопе1. (6) В качестве конкретного примера найдем потенциал для движения точки массой гпз в ньютоновском гривитационном поле точки массой т,. 1111 1112 В этом случае ГЯ = — г, где у .—. универсальная гравитаци- 2 аннан постоянная. Если считать, члю П = 0 при г = оо, то из (6) следует такое выралсение для потенциали центрального ньютоновского силового поля: гй1пг2 П=-7 (7) 54.
Элементарная работа системы сил в обобщенных координатах. Обобщенные силы. Пусть У вЂ” равнодействующая всех сил, приложенных к точке Р системы 1и = 1, 2,..., гч'), а г -- радиусы-векторы точек Р относительно начала координат. Пусть положение системы задается ее обобщенными координатами уз О =1. 2,..., т). Элементарную работу д'А системы сил на виртуальных перемещениях дг, будем обозначать бА. Найдем выражение элементарной работы через обобщенные координаты и их вариации йу,. Радиусы-векторы точек Р являются функциями обобщенных координат и времени, а виртуальные перемещения йг,г выражаются через вариации йгг, обобщенных координат по формуле (27) и. 16. Поэтому кг гх га га / гх дА = р Р„° йт = ~~г Р„. ~~ йуз = ~2 , "Р„., йд,.
18) — зг =1 '/ о г ПРимеР 3 (Центгьтльное силовое по- Х ле). Силовое поле назьгвается центральнымг если силаг приложенная к движущейся в нем точке, направ гена вдоль прямой, проходящей через заданный центр — неподвижную точку О. Пусть при этом величина силы зависит только от расстояния от точки до центра. Так кик Р(г) = е'1т) — „, где Р— радиус-вектор точки Р относительно цент- раО, то "З эй Работа.
Силовая функция. Яде лысые связи Введем обозначение 111=~ Г, —,' (э'=1, 2, ..., т). дуд Тогда формула (8) запишется в виде ы бА = ~~ 11збуз. з=1 Величина 1уз. называется обобщенной силой, соответствуя>щей обобщенной координате оз (1, 2, ..., гп). В общем случае обобщенные силы будут функциями обобщенных координат, скоростей н времени.
В практических задачах при вычислении обобщенных сил формулами (э), как правило, не пользуются. Обычно дают системе такое виртуальное перемещение, при котором дуь = 0 длн всех К, кроме К = ф. Тогда бА = бА = ь)збуз и 6А1 дй. У1 Пусть силы Г, потенциальные с потенциалом П = П(г, 1). Тогда и обобщенные силы потенциальные, причем им соответствует потенциал, полученный из функции П(г, 1), если в ней величины г выразить через обобщенные координаты.
В самом деле, учитывая (5), имеем бА — ~~ Язббз- —.. ~~~ Га бг, = -дП =- — ~~ д бцз. 1=1 а=1 1=1 дуз Отсюда следует, что в случае потенциальных сил обобщенные силы мо- гут быть вычислены по формулам — — (у=1.2, ...,т). дП дйу ПРииеР 1 (МАТеРИАльиАЯ тОчкА ДВижетсЯ ВДОль оси Ох НОД Действием силы Г,). Л этом случае пь = 1, обобщенная координата --. абсцисса х точки, бА = Г бх, сг = Г . ПРимеР 2 (ТВеРДОе телО ВРАЩАетсЯ ВОКРУГ непОДВижнОЙ Оси 'и).
Здесь т = 1, эа обобщениую координату примем угол уэ поворота тела вокруг оси. Пусть зь~'з и М„е гливный вектор и главный момент внешних сил относительно полюса О, выбранного на оси вращения. )(ля подсчета величины бА воспользуемся формулой (3) п. 52, взяв Глава П бА = лс® в, дт+ М!'д ° ы с!! = М!"1ду.
Следовательно, М(ь! Здесь ̄— главный момент внешних сил относительно оси и. Об ПРиыеР 3 (Движение ДВОЙКОГО мАитникА В ВВРтикАльной плоскости В иоле тяжести (Рне. 15)). Пусть стержни, образующие маятник, имеют одинаковую длину ! и одинаковую массу т. Эта система имеет две степени свободы. За обобщенны координаты примем углы ~р и ф, иэображенньье на рис. 15.
Для вычисления потенциала П возьмем систему координат с началом в точке А и с осью Ах, направленной вертикально вниз. Тогда, обозначая через хь и хг абсциссы центров тяжести верхнего и нижнего стержней, имеем П = — туг — тдхг. Но хг = и†соаЗг, хг = 1соаф+ — сааза. Поэтомй ! ! 2 2 П = — — тя!(2 соя ьг+ соаф), 1 2 и дт обобщенных сил получаются следующие выражения: = — — = — — ту!ыпчг, дП 3 П1о 2 — — тпрр! щп ф. ПП 1 Пф 2 55.
Идеальные связи. При движении несвободной системы на ее точки действуют реакции связей. Пусть В, равнодействующая реакций связей, действующих на точку Р„системы (и = 1, 2, ..., !У). Связи называются идеальными, если работа дз! реакций этих связей на любых виртуальных перемещениях равна нулю, т. е.
й дг =О. и=1 (10) Условие идеальности связей не вытекает иэ их уравнений, оно вводится дополнительно. Рассмотрим несколько примеров идеальных спязей. вместо действительного перемен!ения виртуальное. !!оследнее возможно, так как твердое тело является склерономной механической системой (п. 18), а для с лерономных систем действительное перемещение является одним иэ виртуальных (п.
12). Учитывая, что Оь = О, иолу- З 8. Работа. Силовая функция. Идеальные связи Пгимел 1 (МАТЕРПАльнАН точкА Р диижкт- СЯ ПО ГЛАДКОЙ ПОВЕРХНОСТИ (ДВИЖУЩЕЙСЯ ИЛИ нкподвижпой)). Виртуальные перемещения бг лежат в касательной к поверхности плоскости как в случае неподвижной, так и в случае движущейся поверхности (см. п. 12).
А реакция поверхности ортогональна ей (рис. 49). Поэтому АА = =Я ° бг=О. ПРИМКР 2 (СВОВОДНОК ТВКРДОК ТЕЛО). У свободного твердого тела нет других связей, кроме Рнс. 49 тех, которые обеспечивают постоянство взаимных расстояний между точками, образующими твердое тело. Эти связи действуют на точки тела посредством сил, которые для твердого тела являются внутренними. По, согзьасно и.
52. внутренние силы в случае твердого тела не совершиют работу. Поэтому бА = О. В дополнение к п. 18 мы можем теперь сказать, что свободное твердое тело представляет собой голономную склерономную систему с идеальнымн связями. ПРИМЕР 3 (ТВЕРДОЕ ТЕЛО.
ИМЕЮЩЕЕ ОДНУ НЕПОДВИЖНУЮ ТОЧКУ (Рис. 50)). В этом случае бА = О, так как бг = О (неподвихсна точка приложения реакции связи Л). ПРИМЕР 4 (ТВЕРДОЕ ТЕЛО, ВРАЩАЮЩЕЕСЯ ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ). Здесь б.4 = О по той же причине, что и в примере 3. ПРИМЕР 5 (ДВА ТВЕРДЫХ ТЕЛА, СОЕДИНЕННЫХ В ТОЧКЕ О ШАРНИРОМ (Рис. 51)). Здесь Ль = — Лз, бгь = бгг.
Поэпьому бА = Яь ° бгь + + Вз бгь = Вз (бг1 — бгз) =О. Рнс. 52 Рнс. 50 Рнс. 51 ПРимкР 6 (ДВА тВеРдых телА., сопРикАсА10щихся пги дВихчении ГЛАЛКИМИ ПОВКГХИОСтямн (ГИС. 52)). Относительная скорость точ- 1ОО Глава 11 ки соприкосновения тел лежит в общей касательной плоскости к поверхностял »пел в точке их касания. В этной же плоскости лежит разность бгз — бгз виртуальных перемещений точек, в которых соприкасаются тела. Проме того, как всегди, Вз = — Вз, но в рассматриваемом случае реакции Вз и Вг перпендикулярны общей касательной плоскости.
Поэтому бЛ = Вз ° бгз -~- Вз ° бгг = Вз ° (бгз — бгг) = О, ПРимеР 7 (ДВА ТВЕРдых тклА, соирикАсАющихсн НРи дВижении Авсолютно шкгоховлтыми повккхностнми). По определению зто означает, что относительные скорости точек, катар»»ми соприкасаются тела, равны нулю. Следовательно, б(гз — гг) = О, и поэтому бЛ = Вз бгз з'- Вг - бгг = Вз . б(гз — гз) = О. ПРимкг 8 (Двк млтктиьльиык точки, сокдиикннык НАтинхтой идкАльиой нитью). Под идеальной нитью понимается не обладающая массой нерастяжимая нить, катарин не оказывает сопротивления изменению ее форм»с Для определенности будем считать, что нить перекинута через неподвижньлй гладкий стержень Л (рис.
ОЗ). Так как нить невесома, то ее реакции Т1 и Тз, приложенные к точкам Р, и Рз, равны по модулю, Т, = Тг = Т (натяжение нити всюду одинаково). Найдем работу уеикций на виртув гьных перелещениях точек. В силу того, что нить нерастяжима, бг, сова» = бег совах. Поэтому бЛ = Т, бгз + + Тз бгз = Тбг, совгзз — Тзбгз совах = Т(бгз саво» вЂ” бгг севов) = О. Очень многие механизмы можно трак- товать как сочетание простейших чдета- А 1 '., Т, лей», рассмотренных в примерах 1 — 8.
Од- нако в действительности не существует ни и, абсолютво гладких, ни абсолютно шерохо- Р, ватых поверхностей, не существует абсо- Т лютно твердых тел и нерастнжимых ни- тей. Поэтому в реальных ситуациях рабо- Р, та реакций связей отлична от нулн. Часто зта работа бывает малой и в допустимом а,' приближении моячет очитаться равной нуЖ, -- лю.
дтот факт и приводит в теоретической механике к выделению важнейшего класса Рис. ВЗ свнзей, названных выше идеальными. Однако очень часто связи нельзя считать идеальными. Такой случай встречаетсп, например, когда при движении тела соприкасаются не абсолютно гладкими участками своих поверхностей и имеет место относительное скольжение. В этом случае, отнеся силы трения к неизвестным активным силам, можно условно считать связи идеальными, 1 Я. Рапота. Си ~овал функция. Идеалвиие связи 101 Появление новых неизвестных требует тогда привлечения новых экспериментальных данных, например законов трения скольжения.
В дальнейшем мы будем рассматривать, как правило, только идеальные связи. Остановимся на следующем весьма важном обстоятельстве. Упомннутая в и. 47 первая задача динамики для случая несвободной системы может быть более подробно сформулирована так. Заданы активные силы е„, приложенные к точкам Р, материальной системы, массы гп точек, связи, возможные начальные положения т„, и скорости п, точек системы. Требуется найти положения точек т„и реакции связей Я„ как функции времени. Таким образом, требуется найти 6!У скалярных неизвестных.
Длн решения этой задачи мы имеем Здс+ г+ я скалярных уравнений: ЗХ уравнений из векторных уравнений двиваепия (2) и. 45 и г+ в уравнений связей (!), (2) п. 10. Так как число 6!У больше ЗХ+ г+ в (на число степеней свободы системы и = ЗХ вЂ” г — я), то сформулированная задача неопределенна.
Выделением класса систем с идеальными связями мы делаем задачу определенной, так как одно равенство (1О) эквивалентно и уравнениям. Длн их получения нужно в правой части равенства (!О) выразить зависимые из виртуальных перемещений бхы бры бхы ..., бтк, бди, бяи через независимые и затеса приравнять нулю коэффициенты при этих независимых виртуальных перемещенинх. Число же последних равно числу степеней свободы, т.е. и. Гллвл 111 Дифференциальные вариационные принципы механики В 1. Принцип Даламбера — Лагранжа 56.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
