1611690520-cad13a71384007d4c452b5b97d2163c9 (826920), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Доказательство необходимости. При доказательстве необходимости условия (4) для равновесия системы воспользуемся общим уравнением динамики (Մ— т,из,) бг„= О, (5) которое справедливо в любой момент времени для систем с идеальными удерживающими связями. Если при 1о < 1 < 1з система находится в состоянии равновесия, то щ, = О и из уранпения (5) сразу следует условие (4). Докизательство достаточности более сложно. Мы дадим его далее в п. 158.
Здесь только заметим, что это доказательство будет по существу использовать принцип полной детерминированности движения, т. е. однозначного определения движения системы по начальным положениим и скоростям образующих ее материальных точек. Следующий пример показывает, что при отсутстнии полной детерминированности движения принцип виртуальных перемещений может ие иметь места. Пусть материальная точка единичной массы движется вдоль оси От, под действием силы Г(х) = нхд (ы ) О; О < 13 < 1). Уравнение движения точки имеет вид (6) 114 Глава 1Ъ' Положение равновесия х = 0 допускается связями: условие (4) выполнено при всех 1, так как в положении равновесия Г = О.
Тем не менее точка, находясь при 1 = 0 в начале координат и имея при этом нулевую скорость, может не оставаться в нем при 6 > О. Действительно, при начальных условиях х(0) = О, х(0) = 0 уравнение (6) помимо решения х = 0 имеет еще одно решение вида (7) х(1) = аг, где Аь 1 (1 П)21 1 — б 2(1+В) ~ ' 1-В' 43 Отметим еще.
что, так как Ь > 2, для решения (7) ;г(0) = О. Это указывает на то, что, если даже ускорение точки в положении равновесия равно нулю, нее равно точка может не находитьсн в равновесии при 3 > О, хотя и выполнены условия (3) и (г1). Игнорирование этого обстоятельства привело к тому, что во многих учебниках и научно-методических статьпх доказательство достаточности принципа виртуальных перемещений либо неполно, либо ошибочног. ПРИМЬР 1. На рис. 58 изображен механизм, состоящий из стержней, образующих три одиниковых параллелограмма. Стержни Мгу', гсВ, ВТ, и Гхг11 — оельные, соРис. 68 единенные в точках пересечения шарнирами.
Положим, что гпочки Ао и Аг соединены нитью; требуется определить ее натялгение. Мысленно перережем нить и заменим ее дейсгпвие приложенной к точке Аг силой У. Пусть шарнир А1 сдвиггется вниз и бв —.— его виртуальное перемещение.
Ввиду цельности стержней Мрз1, В$, ВЬ и ГхгСь1 при вирту льном перемещении диагон ~ьи всех параллелограммов удлинятся на одну и ту же величину. Вследствие этого точка Аз с гестится вниз уже на 2бч, а Аз — на Збв. Приравняв нулю сумку работ сильг У и веса Р на вирту льном перемещении. получим равенство ЗРбз — Рбв = О. гДовольно обширную библиографию по атому вопросу см., например, в реботах: ГеронимусЯ.Л.
О принципе виртуааьных перемещений 0 Бюллетень Ясского 1!олитехн. ин-та, 1963, Т. 9(13), вып. 3 — 1. С. 261 — 262; Блюмин Г.Д. О принципе виртуальных перемещений 0 Изв. ЛН СССР. МТТ, 1982, раб, С. 22 28. г 1. Статика произвольной механической системы 115 Отсюда, ввиду того, что бв ф О, следует равенство Рьб)г — Ргб)г = О, г151, — Рг —,б1~ = О. Яг Пг Отпади следует, что Рг о1 ог Р а О А нелогично, мысленно закрепляя поршень 2, можно получить, чтпо Рь Рз Яг Пз' Рис. 60 т. е. давление на жидкость передается равномерно во все стороны.
Примкр 3. У стены здания положены три одинаковые трубы, как пока- зано на рис. 60. Какую горизонтальную силу Р нужно при гожить к оси правой трубы, чтобы удержать трубы в равновесии, если вес каждой трубы равен РУ Пгимиг 2 (Зякои Плсилля). Закон Паскаля описывает характер распространения давления в несжимаемой жидкости: дивление на поверхность жидкости, произведенное внешними для жидкоспш силами, передается ею равномерно во все стороны. Чтобы прои ьлюстрировать закон Паскаля, расслотрил сосуд, иеликол запол- Р, пенный песжимае кой жидкостью; в сосуде имеются три отверстия закрытые по- Р доижныли поршнями 1, 2 и 3 (рис. 59).
Ье Пусть Бь — площадь е'-го поршгт„а б16— его виртуальное перемещение (1 = 1, 2, 3). — -Яе Закрепим мысленно поршень 3, тогда будут двигаться поршни 1 и 2. Определенное движение поршня 1 вызовет определенное движение поршня 2. Объел жидкоспш, Рис. 59 вдавленной первым поршне и равен Яьб1„. объем жидкости, вошедшей в трубку второго поршня, равен Пгб1г. Из ус говия несжилаемости жидкости имеем Ягб1г = Пгб1г. Составил сумму рабопь сил Рг и Рг на рассмотренном виртуальном перемещении: 116 Глава !Ь' Если правой нижней трубе сообщить виртуальное перемещение вдоль оси От,, то работу совершат только две укаэанные на рис.
60 силы: Р и Г. Радиусы-векторы гл и го точек их приложения в системе координат Оку эадаготся равенстваэии (а — радиус сечения труб) гн —— (4сх сов а, 0). гл — — (2а соз а, 2а ян а), Па указаннол виртуальном перемещении угол а получает приращение ба. Поэтому дзэл = 2адсх( — а1х1а, сова), дг~ = 4о, дьх( — яна, О). Приравняв нулкэ сумму работ сил Р и Г на виртуальном перемещении, получиль равенство Р Й'л+Г боя =О, которое с учетом тога, что Р'=10, — Р), Г'=( — Г, 0), можно записать в виде — Р 2а сова ° да+ Г 4аяпа ° ба = О.
Опигода при да ф 0 получаем Г = — с18аР. 1, 2 63. Общее уравнение статики в обобщенных координатах. Пусть дх, дэ, ..., д„, — обобщенные координаты системы, в ф(д, а, 1) -- соответствующие им обобщенные силы. Уравнение (4) в обобщенных координатах запишется в виде Г ° бг = ~~~ Г!,(с1, О, !)3д! = О. (8) ь=з Если система голономна, то число ее обобщенных координат т совпадает с числом степеней свободы и и величины дд в (8) независимы. Приравнивая нулю коэффициенты при дд в уравнении (8), получаем, что в положении равновесия системы а = оо (и только в нем) обобщенные силы равны нулю: (О) Яз=О 1з=1,2, ..., п). З П йтапсика произеоаьной механической система 117 Равенства (9) образуют систему л, уравнений относительно неизвестных спо, озо, ..., оно, задающих положение равновесия системы.
Если все активные силы потенциальны, то, согласно п. 54, из (9) получаем Щ= — — =0 (1=1,2, ..., п), д~д (10) бпеч.ь = ~~~ пыбсй (й = 1, 2, .... гп — п = е), (11) где величины пы являются функциями коэффициентов Ьдй, входящих в уравнения (28) и. 16. Уравнение (8) после подстановки в него выра- жений (П) и приведения подобных членов примет вид Фбч =О., 3=1 (12) где Цс хс Ц, + ~~~ прД„.ьр (1 = 1, 2, ..., п). (1З) Так как величины дд; независимы, то из (12) следует, что Ц'„. = 0 (1 = 1. 2, ..., и). (14) где П вЂ” — потенциальная энергии системы. Отсюда следует, что необходимые и достаточные условия равновесия голономной системы (с идеальными уде1гжнвакпцими связями, в потенциальном поле сил) совпадают с необходимыми условиями экстремума потенциальной энергии в рассматриваемом положении равновесин системы.
В частности, если система движется в однородном поле тяжести, то условия (10) примут вид дхс/дд; = 0 (1 = 1, 2, ..., и), где хс — координата центра тяжести рассматриваемой системы в неподвижной системе координат с вертикальной осью Ох, т. е. для тяжелой системы необходимые и достаточные условия равновесии совпадают с необходимыми условиями экстремальности высоты ее центра тяжести над горизонтальной плоскостью. Если система неголономна, то величины бд1, в (8) не будут независимы; они связаны е уравнениями (28) и. 16. Среди пч величин 661 независимыми будут только и (и = т,— л) нз пнх.
Пусть для определенности это будут величины бды одз, ..., дала. Разрешив уравнения (28) п. 16 относительно бин+ы бдп+з, ..., бо, получим 118 Глава !11 Равенства (14) представляют собой систему и уравнений относительно т неизвестных Чш, Чэо, ..., Ч,„о, опРеДелЯющих положение Равновесия системы. Так как число неизвестных превышает число уравнений, то в общем случае имеем многообразие состонний равновесип, размерность которого не меньше числа в неголономных связей.
Отметим, что из (13) и (14) следует, что для неголономной системы в потенциальном поле сил некоторые или даже все частные производные потенциальной энергии в положении равновесия могут быть отличными от нуля. 11Римкп 1. Нушпь несвободная материальная точка с неинтегрируемой связью Чз — Ч1 Ч2 движется в силовом поле с потенциалом вида П = -(Ч1'+ Ч,'+ Ч,').
1 2 Ч, =О, Ч,+Ч,Ч, =О. Отсюда с.гедует, что положения равновесия образуют одномерное многообразие Ч1 = О, Чг = О, Чз = Чзо, где Чзо — произвольное число. Если Чзо ф. О, то в положении равновесия производная дП/дЧэ от.1ична огп О нуля. ПРНМйг 2. Два одинпковых стержня ОА и АВ весом В и длиной 2а скреплены шарниром А. Конец Г) стержня Г)А закреплен в неподвижном шарнире, а к концу В стержня АВ приложена горизонтальная сила Р)2.
Оба стержня расположены в вертикальной плоскости. Требуется найти углы сг и Д при равновесии систелгы 1рис. 61). степени свободы и является голономной. За примем угльь о и Г). Найдем обобщенные сиэтим обобщенным координатам. Н плоскости Рис. 61 Система имеет две обобщенные координаты лы сг„и Ггд, отнвечаюгцие Тогда т = 3, в = 1, и = 2; жы = О, о12 = Ч1, .Цз = — 1й (1 = 1, 2. 3); ьэ1 = Ч1: Г)г = Чэ — Ч1Чз Условия равновесия (14) запишутся в виде двух уравнений с тремя неизвестными: З 1. Стапьика произвольной механической системы 119 стержней возьмем систему координат Оэ:у, ось Ох которой направим вертикально вниз. Для активных сил Хсп Ер, Хд и радиусов-вектпоров з'с, гп, гв точек их приложения имеем г~, — — а(соясч, в1па), гр — — а(2совсг+сояД, 2в1псз+я1п(1), гп — — 2о,(сова+ сов)э', вша + я1пД).
Вычислим элементарную работу активных сил на виртуальном перемещении системы, отвечающем вариаииям бсз и б)1 обобщенных координат. Так как б гаусс —— обо( — я1п сз, сова), бгп —— а( — 2 вша ба — вшП б)), 2совсь ба+ соя() ° бП), бгп — — 2а( — вшсг ° бсз — в1пП ° бД, сова без+ сояД ° бД), то бА = Рс бгс + Уп бгп + Гв бз'в = = Ра((сова — Зв1псг)ба+ (сояф — я1пД)бф. Поэтому Ц = Ра(соя сз — 3 в1п сх), сгя = Ра(сов)з — в1п)З).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
