1611690520-cad13a71384007d4c452b5b97d2163c9 (826920), страница 24
Текст из файла (страница 24)
(6) Таким образом, для равновесия свободного твердого тела при 1е < 1 < ~з под действием плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы в момент 1 = 1о тело покоилось, а суммы проекций сил З гм Статика твердого тела но две координатные оси и сумма моментов сил относительно третьей оси при 1е < 1 < 1ь равнялись нулю.
Птимкт 4. Однороднгий стержень, изогнутый под прямым углом, име- О ющий оба колена одинаковой дли- А ны 21, опирается на краб стола дли- а щ г ны АВ = а = 2)/зг. Найти положе- С и ние равновесия и давления Ял и Лгв а на края стола. Трением пренебречь.
Пусть положение равновесия, оп- Р ределяется величиной а угла ОВА Р (рис. 69). Стержень находится в рав- Рис. 69 навесив под действием плоской системы четырех сил, показанных на рис. 69; реакции в точках А и В ортогональны соотвегпствующии коленам стержня. Приравняв нулю суммы проекций сил на оси, направленные по ОС и ОР, получим Хл = 2Рвьпа, Хв = 2Рсова. Условие равенства нулю суммы моментов сил относительно точки О дает 2, 2 5 з 1з1 А е1па + Р1 соэ а = н1ХВ соэ а + Р1 е1И а~ или — (е1п а — сое а) = е1па — сова. 4, 2,2 5 ' Последнее уравнение имеет три решения. Для первого решения зУл = Хв = ъг2Р. 7Г аь 4 е1па = сова, Для второго и третьего решений 1 ° 9 —,(з1иа+ сова) = 1, аг = а, = — атсьйп —,, аз —— — — а„ Р 16 ~ 5чГ7 2 2 Р 16 х 5чг7 2 2 УНРЬЖНЕНИВ 1.
Поназатьч что условия равновесия твердого тело под дейсз вием шюской системы сил могуч быть представлены и следуюшнх, эквивалентных условию (6), формулировкахг в) суммы моментов сил относительно каждой нз трех произвольных, не ленгащих на одной прямой, точек рваны нулю (теорема о трех моментах); б) суммы моментов сил ощюсительцо каждой из двух произвольных точек и сумма проекций сил нв произвольную осьч не перпендикулярную прямой.
проходящей через этн точки, равны нулю. И2 Глава 1Г Н последних двух равенствах верхний и нижний знаки отвечают соответственно значениям сз = сзз, а = оз. Пгимвг 5. Два одинаковых однородных стержня весом Р каждый соединены шарнира.к В и прикреплены шарнирами А и С к неподвижной опоре так, что стержень АВ горизонтален, а стержень ВС образует с вертикалью угол сь (рис. 70). Определить реакции ширниров.
1 У, Х, Х, У„' Рис. 70 Мысленно уберем шарнир В и рассмотрим равновесие каждого из стержней в отдельности. На каждый из стержней действуют сила тяжести и реакции шарниров, которые мы представляем их компонентами в системе координат Аху, показанной на рис. 70. При этом, согласно третьему закону Ньютона, реакции Х', 'К' шарнира В, действующие на стержень ВС, должны быть направлены противоположно реакциям Хв, Ув, действующим на стержень АВ. По величине же 1в = зв.
Хв — — Хв, Составим условия равновесия ~6) для каждого из стержней. Введя обозначение АВ = ВС = 2а, найдем для стержня АВ Рш ХА+ХВ =О> Х~~ Рза = зА+зв — 1 = 0~ тл.-(У)) = Ув 2а — Ра = О, для стержня ВС Рзе: Хв з, Хс: 0 Х~ Р'а: зв + Ус Р: 0 ~~ь тв.-(У) = — Раьи1сь — Хо 2асозо+ Уо 2ае|па = О. Из полученной системы шести уравнений с шестью неизвестными найдем Хл: Хв Хс агась Рл 1в 2Р )'с 2Р Направление реакции Хл противоположно указанному на рисунке. 'г' 2.
Стпатика твердого тлело, 09. Равнодействующая двух параллельных сил. Теорема. Две параллельные и одинаково направленные силы Гг и Гг (рис. 71), приложенные к твердому телу, имеют равнодействующую В* = Гг + Гг, эта равнодействующая лежит в плоскости сил Г, и Гг. и ее линия действия делит отрезок, соединяющий точки Р, и Рг приложения сил, внутренним образом на части, обратно пропорциональные величинам Гй и Гг. Две параллельные, не равные по величине и пропгивополозгсно направленньяе силы Г1 и Гг имеют равнодействующую зь' = Гг + Гг, она направлена в сторону большей силы, лежит в плоскости сил Г1 и Г», а линия ее действия делит отрезок РгРг внешним образом на части, обратно пропорциональные величинам Гг и Гг- Рис. 71 Доказательство.
Если пологкить Гь* = Гг + Гг и выбрать точку О так, что Гй ОРг = Гз ° ОРг, то, согласно и. бб, система двух сил Гг и Гг будет эквивалентна системе, состоящей из одной силы Гь* (т. е, В' будет равнодействующей сил Г, и Гг). Действительно, обе системы сил имегот одинаковые главные векторы Гь = И* = Гг + Гг и одинаковые (равные нулю) главные моменты Мо относительно точки О. 70. Теория пар. Пусть параллельные силы Гг и Г», приложенные к твердому телу, равны по модулю и противоположно направлены (Гд — — — Гг).
Такую систему сил называют парой сил. Плоскость, в которой леясат силы Гг и Гг, называют плоскостью пары, а расстонние И между линиями действия сил — плечом пары (й ф О). Главный момент снл, составляющих пару, не зависит от точки, относительно которой он вычислнется. В самом деле, возьмем произвольную точку О пространства (рис. 72) и найдем главный момент сил Гг н Гг относительно этой точки: ЛХо = гг х Гг + гг х Гг — — — т, х Гг + гг х Гг = '= (гг гг) х Гг = й х Гг.
164 1лава 1»' Отсюда видно, что величина Мо пе зависит от точки О. Векторное произведение М = с( х Гз называют л«ол«ентом пары. Вектор М перпенцнкулярен плоскости пары и направлен так, «ь что наблюцатель с конца вектора М «видит» векторы Гс и Гз указывающими на вращение т, плоскости пары против часовой стрелки. Если Г модули снл Гг и Гз, то М = аГ. Момент пары — это свободный вектор, и, как будет Рис.
72 видно из последу»ощих теорем этого пункта, он полностью определяет действие пары на твердое тело. Теорема. Пара сил нс имеет равнодействующей. Доказатсльсзпоо. Предположим противное, а именно предположим. что существует сила М* такая, что (Гы Гз) Л*. Возьмем произвольную точку О на линии действия силы Я". Согласно критерию эквивалентности систем сил, приложенных к твердому телу (п. 66), главный момент Мо системы сил (Гы Уз) относительно точки О доля«еп равняться моменту силы В* относительно той же точки, т. е. должен быть равен нулю.
Но момент Мо равен моменту пары и, следовательно, отличен от нуля. Противоречие доказывает теорему. Теорема. Пары сил с равными моментами эквивалентны. Эта теорема сразу следует из теоремы п. 66 об эквивалентности систем сил, привоя«енпых к твердому телу, так как у двух пар главные векторы равны (каждый из них равен нулю), а главные моменты (т. е. моменты пар) равны по условию. Следствие 1. Пару сил, приложенную к твердому телу, можно заменить другой парой в той же плоскосгпи, если при такой замене не и«- меняв»пся величина момента пары и его направление. Следствие 2.
Пару сил, приложенную к твердому телу, можно переносить в плоскосгаь, параллельную плоскости пары. Теорема. Совокупность нескольких пар с моменгпами М, (« = 1, 2, ..., п) эквивалвнгана одной паре, момент М которой равен сумме моментов данных пар: М вЂ” М» + Мз + ° ° + мп. (7) Эта теорема также является следствием теоремы п. 66 об эквива- лентности систем сил, приложенных к твердому телу.
З г. Статика твердого тела Так как для системы пар 2хг"~ = О, то условия (1) равновесия твердого тела сводятся к одному векторному равенству М = О, которое на основании формулы (7) запишетсн в виде трех скалнрных равенств и„= о, ~ И,ь=.О. (8) Если все пары лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях, то условия равновесия запишутся в виде одного скалярного равенства. Например, если плоскости пар перпендикулярны оси Ог, то условием равновесия будет последнее из равенств (8). НРиивР !. К граням многогранники приложекья парии сил, моменты которых пропорциональны площадям соответствующих граней и направлены перпендикулярно соответстеурощим граням внутпрь многогранника.
Показать, опо такая система сил является уравновешенной. Пусть Я вЂ” площадь какой-либо гранщ а М вЂ” модуль момента соответствующей пиры. Тогда И = !гЯ, где л — коэффициент пропорциональноппи (1 ) 0), одинаковый для всех граней. Пиру, приложенную к риссматриваемой грани, мазано заменить эквивалентной системой сил, действующих по каждой из сторон грани в направлении движения часовой ппрелки, если смотреть со стороны внешней норма и.
Модуль каждой из этих сил равен 1!2йа, где а— длина соответствующей стороны грани. Если такую процедуру проделать для всех лар, приложенных к граням многогранника, то вдоль каждого ребра многогранника будут действовать две равные по модулю, но противоположно направленные сильь Следовательно, приложенная к многограннику система пар сил является уравновешенной. 71. Теорема Пуансо. В предыдущих пунктах были рассмотрены задачи о приведении системы сил, приложенных к твердому телу, в частных случаях системы сходящихсн снл, параллельных сил н пар. Теперь рассмотрим задачу о приведении сил в самом общем случае. Теорема (Пуаисо).
Произвозгьная система сил, приложенных к твердому телу, эквивалентна системе, состоящей из одной силы, приложенной в какой-либо точке О тела (центре приведения) и равной главнолгу вектору Л данной сиетле ли сил, и одной пары, моментп которой равен главному моменту Мсз всех сил относительно точки О. Справедливость этой теоремы непосредственно следует из критерия эквивалентности систем сил, приложенных к твердому телу (и. 66).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
