1611690520-cad13a71384007d4c452b5b97d2163c9 (826920), страница 27
Текст из файла (страница 27)
А. Оптимизации гравитационной системы стабилизации спутников с одностепенным подвесом на свебозллиптической орбите, Мо Ин-т прикладной математики АН СССР, препринт ьте90, 1974. ГЛАВА Ъг1 Основные теоремы и законы динамики 5 1. Основные динамические величины механической системы ВО. Количество движения системы.
йвличеством движении механической системы называется вектор сл=~' т %" И ьч Так как Мгс = 2 т, г, то ЛХов = 2, 'т, е, = Я. Таким обРазом, и=1 и=с (2) т, е. количество движения системы равно массе системы, умножонной на скорость ее центра масс. В1. Главный момент количеств движения (кинетический момент) системы. Пусть р - радиус-вектор точки Р системы относительно некоторой точки А, называемой центром (рис. 82).
Моментом количества движения (кияегпичвским моментом) точки Р втпнвсительно цвигпра А называется вектор лч л, определяемый по формуле Рис. 82 ль л=р ит ое Моментом количества движения (кинетическим моментом) точки Р относительно оси называется проекция на эту ось момента количества днижения точки относительно любого выбранного на данной оси центра. В независимости момента количества движения относительно оси от выбора центра на этой оси можно убедиться точно так же, как в и.
49 при определении момента силы относительно оси. з 1. Основные динамические оелочины механической системы 151 Главным моментом количеств движения (кинетическим моментом) системы относительно центра А называется величина М Кл = ~л,р х т е . о=1 Главным моментом количеств движения (кинетическим моментом) системы относительно оси называется проекция на зту ось главного момента количеств движения системы относительно любого выбранного на данной оси центра.
При изменении центра кинетический момент изменяется. Найдем зависимость между его значениями для двух различных центров А и В. Пусть р л и р„л радиусы-векторы точки Р„соответственно относительно центров А и В. Тогда 1Ч Я Ха=фрахте =~(рл+ВА)хт е Я Ж рычхт е +ВАх ~ т е,=Хл+ВАх 9. ы=1 Таким образом, (4) Хв = Хл + ВА х ьд. Установим связь между значениями кинетического момента системы относительно какого-либо произвольного центра и относительно центра масс системы.
Предварительно введем важное здесь и в дальнейшем понятие движения системы относительно ее центра льасс. Таким движением называется движение точек системы относительно поступательно движущейся системы координат с началом в центре масс системы. Эта система координат называется еще нвниговой системой координат. Покажем, что абсолютный кинетический момент Кв системы относительно центра масс С равен относительному кинетическому моменту Кс„относительно С. Действительно, пусть ес — абсолютная скорость центра масс, е, — абсолютная скорость точки Р, системы, е „ — скорость точки Р в ее движении относительно центра масс. В силу того что кенигова система координат движется поступательно, переносные скорости всех точек системы одинаковы и равны ес.
Поэтому абсолютная скорость точки Р, участвующей в сложном двиокении, будет определяться формулой (б) 1ои2 Глава УГ Пусть р „— радиус-вектор точки Ри относительно центра масс. Тогда к Ьс, = ~~1 Р „Х тие„. (6) и=1 Вычислим теперь абсолютный кинетический момент системы относи- тельно точки 01 М Я гс л' Рит х 1п ои= л' Рии ххах(ос+а,и) = и=-1 и=1 (7) Ю Ж П1ирии Х аС Ь Х ЛР и Х ™иам" и=1 и=1 Так как центр масс находитсн в начале кениговой системы координат Я (рс, — — 0). то 2 т р, = Мрс, = 0 и, следовательно, из (6), (7) и=1 вытекает, что Кс = Ас . Замечен, что М Е Еии М оси т. е.
количество движения системы в ее движении относительно центра масс равно нулю, из (4) получаем, что кинетический момент системы в ее движении относительно центра масс одинаков длн всех точек пространства и, согласно предыдущему, равен Кс. Поэтому абсолютный кинетический момент системы относительно центра 0 равен сумме ее относительного кинетического момента (одинакового для всех точек пространства) и момента вектора ьГ относительно центра 0 в предположении, что он приложен в центре масс системы. 82. Кинетический момент твердого тела, движущегося вокруг неподвижной точки. Примем неподвижную точку О тела за начало системы координат Окуз, оси которой неподвижны относительно тела.
Пусть р„ — радиус-вектор точки Р„ тела относительно начала координат, его проекции на оси Ол, Ой, Оз обозначим х, д, з . Проекции мгновенной угловой скорости 1а тела на те же оси обозначимр, д, г. Вычислим кинетический момент тела относительно точки О. Учитываа, что скоРость ои точки Ри Равна а1 х Р, имеем 1Х Ф Я ЛС=~~1 РиХт а„=~~1 Р Хт,(1аХР )=~~ т Р Х(ШХР ). и=1 Ч й Основные динамические ееличини механической сис1неми 153 «=1 «=1 т (х„ + у + х„)и1 — 2 т,(рх + ду + гз )р . «=1 «=1 Отсюда получаем следующее выражение длн проекции Ко вектора Ко ва ось Отн Ко = тХ т,(х + у„+ з„)Р— Х тт (Рх + 1УР«+ гр )х «=1 «=1 т,(уз-~зз) Р— 2 т х й, су — 2 т, х„з«г.
Аналогично можно выписать выражении длн проекций Кор и Ко,. Учти формулы (2), (3) и. 77 для осевых и центробежных моментов инерции, окончательно получим Кон = Лер —,У,ргу — Ле.. КОр = — Уерр+ Дру — Ур.г Ко, = —,Уе,р — Лр,с!+ Л,г. (8) Эти формулы можно записать более компактно, использовав матрицу Л„ определяющую тензор инерции тела длн точки О (см. п. 77): (9) Ко = Лир.
В частном случае, когда оси Ох, Оу, Оз представлнют собой главные оси инерции тела для точки О, матрица Л диагональна; се диагональными элементами служат главные моменты инерции тела для точки О, т. е.,Уе = А, .У, = УУ, .У, = С. В этом случае Кон = АР, Кои = !Ус!с Ко. = Сг. (10) Если твердое тело вращается вокруг неподвижной оси, например вокруг оси Оз, то Р = д = 0 и, согласно (8), (11) Кое = — Л 1' Кор = — 1 ег., Ко = У 1'. Используя формулу а х (Ь х с) = Ь(а с) — с(а Ь) для двойного векторного произведении трех векторов а, Ь, с, выражение длл Ко можно переписать в виде 154 Глаоа ЪУ Из (11) видно, что при вращении тела вокруг неподвижной оси напревления оси вращения и кинетического момента тела, вообще говоря, различны.
Они совпадают тогда и только тогда, когда ось вращения является главной осью инерции тела. 83. Кинетическая энергия системы. Теорема Кенига. л'инетической энергией системы называется величина Т, определяемая по формуле зч Т= — ~~1 т,,о . (12) и=1 Доказательство. Согласно (5) н (12), имеем — гни(еС' + оии) 2 ~л и=1 ~,и=1 / Чи=1 , з + ~~ ° ~+ 2,л 1 ч ,,г зч + — з гп„— и=1 и=1 Так как относительная скорость центра масс он, равна нулю, то отсюда следует, что и 2 с 2~~- и=1 Теорема доказана. 84.
Кинетическая энергия твердого тела, движущегося вокруг неподвижной точки. Пусть Охуг — жестко связанная с телом система координат с началом в его неподвижной точке О и пусть мгновенная угловая скорость тела ьз направлена вдоль оси и, косинусы При вычислении кинетической энергии очень часто используется следующее утверждение. Теорема (Кенига). Кинетическая энергия системы равна сумме кинетической энергии, которую имела бьь материальния точка, раслололсенная о центре масс системи и имеющая массу.
раоную массе системн, и кинетической энергии движения системы относительно центра масс. 166 'З Я Основные динамические величины механической системы углов которой с осями Ох, Оу, Ог соответственно равны о, )з, 7. Тогда проекпии ьз на оси Ох, Оу, Ог вычисляются по формуле у = ьз)3, т = ьз.у. (14) р = ьзгх, Если д„— расстояние от точки Р до оси и, то о, = ьза', и для кинетической энергии тела имеем выражение где ˄— момент инерции тела относительно оси и. 11одставив в (15) выражение для Ля из формулы (1) и. 77 н воспользовавшись формула- ми (14), получим окончательно Т = — (Лху + Лзд +,1,г ) — Л зРо — Л,,Рг — Лз,г1г.
(16) Если оси Ох, Оу, Ог представляют собой главные оси инерции тела для точки О, то формула 116) принимает вид Т = 1 (Арз + Вдз + Сгз), (17) где А, В, С вЂ” моменты инерции тела относительно осей Ох, Оу, Ог. Для твердого тела, вращаннцегося вокруг неподвия.пой оси, например вокруг оси Ог, формула (16) сильно упрощаетсн. Так как в этом случае р= у=О, ~г~ =ьз, то Т вЂ” 1Л,Р 2 (18) Зямнчянин 1. Между мгновенной угловой скоростью ьз твердого тела и его кинетическим мокентом относительно неподвижной точки О существует простое геомегприческое соответсгпвие.
Дейсгпвитеззьно, из формул (8) и (16) следует, что Т = — 1зьо зо). (19) Упглжнвннк 1. Пусть известен эллипсоид инерции тела для неподвижной точки О и задана мгновенная угловая скорость ы. Найти направление и модуль кинетического момента Тьо тела относительно точки О. Так как кинегпическая энергия движущегося тела положительна, то отсюда следует, что угол между векторами Ао и ьз будет всегда острым.
Используя (19), можно также геометрическим пугпем найти направление одного из двух векторов ьз и Ио, когда задано каправление другого. 156 Глава р1 8 2. Теоремы об изменении основных динамических величин системы 85. Общие замечания о теоремах и законах динамики. Рассмотрим движение системы материальных точек Р (и = 1, 2, ..., Л') в некоторой инерциальной системе координат.
Нусть пг — масса точки Р, а р — ее радиус-вектор относительно начала координат. Если система несвободна, то ее можно рассматривать как свободную, если помимо активных сил, приложенных к точкам системы, учесть реакции связей. Если затем все силы, приложенные к системе, разбить на внешние и внутреннис, то из аксиом Ньютона получим дифференциальные уравнения движения рассматриваемой механической системы в виде ги оь=Х~Е+К~1 (и=1, 2,..., Ж), (1) где ш„ — ускорение точки Р, в инерцнальной системе отсчета, а Х ' (в) и Р„соответственно равнодействующие всех внешних и внутренГй них сил системы, приложенных к точке Р,. Для исследования движения надо при заданных начальных условиях проинтегрировать систему уравнений (1) и найти зависимость г от времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
