1611690520-cad13a71384007d4c452b5b97d2163c9 (826920), страница 30
Текст из файла (страница 30)
89). Глава РТ Если шарип пройдет по вертикали расстояние г. то его потенциальная энергия уменьшится на величину Гпшз. Приравняв ее кинетической энергии системы, будем иметь Гаях = г — Гпа'ш -~- 2 2 + — т ГаГо — исав — ) + Гиеш — ) 4) ~ ' 4) ц' = 4 агшг - 2аши+ иг 2 Второе уравнение для определения неизвестных ш Рис.
89 и и получим из теоремы об изменении кинетического момента. Так как внешние силы не дают момента относительно вертикальной оси и в начальный момент вся система была неподвижна, то кинетический момент системы относительно оси АВ постоянен и равен нулю: 2 — та ьз -~- т, ~аьз — и сое — ) а = О 1, 2 Г, 7Г1 ' 4) откуда Решая совместно полученные уравнения для и и Гз, находим чгвяг ГО = За Пусть гч — давление шарика на желоб. Составим уравнение (14) только для одного цилиндра: д ~ — ° — та ш ) = асов — ° а Жр, Г1 1 221 к ')— или, так как др = ш д'з та й г = чГ2Х Ф. Но д/ дшдх 1 М 7Г и е1н 41 дз а ГГЧ бз 4' и, следоватпельно, Х = — — ~/ —, ~/Зд'2 —,— = — тд'. та 1 )К . ъГ2 чГ2 -,2 ~)92 ' з х. творвлвт ол излвнвнии основных диналттчвсних величии систнели 171 89.
Основные теоремы динамики в неинерциальной системе отсчета. Будем теперь изучать движение механической системы в произвольно движущейся неинорциальпой системе отсчета. Абсолтотное ускорение ю, точки Р системы найдем при помощи теоремы о сложении ускорений (п. 32)т и„= ит„с+ ш„+ ш,с (и = 1, 2, ..., тчт). (1ст) ит ш „= Рт'т+ Х~б -~- ч'„с-Ьд„с (и = 1, 2, ....
чДт). (20) где .у„с = — тпч„шос, т'„с = — ттто пас = — 2т„ит х юо„; величину т'„с называют переносной., а тчл — нориолисовой силали инерции Таким образом, второй закон Ньютона может быть применен в неинерциальной системе отсчета, если к силам, приложенным к точкам системы, добавить еще переносные и кориолисовы силы инерции. Но полученные в п. 86 — 88 теоремы динамики вытекали из уравнс ний (1).
Следовательно, все сформулированные выше теоремы динамики будут верны и в неинерциальной системе отсчета, если к силам, приложенным к системе, добавить переносные и кориолисовы силы инерции для ее точек. При этом силы инерции следует формально относить к внешним силам. Например, теорема об изменении количества движения в неиперциальной системе отсчета выглядит так: сй ~" = Н<'т +.7 +.7 с с~ (21) тч гДе час = 2 пт„в,с, В ' — главный вектоР внешних сил, пРиложенных тот ю =1 Ю к системе, .7, = 2,' т„- главный вектор переносных сил инерции, о=1 лт .7, = 2,' т„, — главный вектор кориолисовых сил инерции. г =1 Теорема об изменении кинетического момента в неинерциальной системе отсчета записывается в виде (для неподвижного относительно неинерциальной системы центра А) И.К лс (от Нг = Мл' + Мл.т, т- Млз,. (22) Здесь ит и атос — относительное и переносное ускорения точки Ро, а пт„ ее кориолисово ускорение; ш„ = 2со х ео, где ы -- угловая скорость неинерцнальной системы координат относительно инерциальной, а ео„ вЂ” относительная скорость точки Р .
Подставив выражение (19) для абсолтотпого ускорения в уравненин (1), получим 172 Пава Н зч Здесь льл„= 2, Р х т„ое,з Р„РадиУс-вектоР точки Р„относиз =1 тельно центра А, М главный момент внешних сил, приложенных 00 к системе, относительно точки А, Мл„з, и Млз, главные моменты переносных и кориолисовых сил инерции относительно точки А. Теорема об изменении кинетической энергии Т, системы, соответствующей ее движению в неинерциальной системе координат, будет такой: ал, = й'Абб + а'Азй + а'Аз .
(23) Здесь пз 7'=кг те„., (24) О Рис. 90 Рассмотрим какую-нибудь частицу жидкости массой т, распо,зоженную на ее поверхности; координаты частицы обозначим х и у (рис. 90). Задача состоит в нахождении зависимости у от х. По вращающейся вместе с жидкостью системе координит Оху частица покоится. Следовательно, равнодействующая силы тяжес- дзАОЗ, й'Айй — элементарная работа внешних и внутренних сил, приложенных к системе, на относительных перемщпепиях ар се точек, а й'А,г, — элементарная работа переносных сил инерции на тех же перемещснинх. В (23) отсутствует работа кориолисовых сил инерции: эта работа равна нулю, так как кориолисова сила инерции для каждой точки Р„ перпендикулярна ее относительному перемещению Ир„.
В вимиг 1. При вращении сосуда, наполненного жидкостью, вокруг вертикальной оси нсидкость отбрасывается к стенкам и внутри сосуда образуется воронкообризная полость, ограниченная поверхностью вращения (рис. 90). Определить форму этой поверхности. г с. Теоремы об изменении основных динамических величин системы 173 де г ьйа =- — = Но 1а а .= ау( йх. поэтому йу „,г — — зн йх К Решив это дифференциальное уравнение (с начальным условием у(0) = 0), получим у = х 2К Следовательно, воронка.
образующаяся при вращении сосуда, представ- ляет собой параболоид вращения. Примир 2. Материильная точка положена на гладкую горизонтальную плоскость Оху, вращающуюся вокруг неподвижной вертикальной оси Ог с постоянной угловой скоростью ш. Точке сообщена некоторая начальная скорость, лежащая в этой плоскости. Показать, что в относительном движении тпочки имеют место следующие. равенства: х +у — ш (х +у)=сопес, ху — ху Ч-ш(х + у ) = сопеь. (а) (б) Во вращающейся системе координат имеем из~ = ( — азах, — ш~у., 0). в~=(х,у, 0), аз' = (О, О, ьо), Кинетическая энергия точки в ее относительном движении апре; деляется равенством — 1 зп(хг ц з)г) 2 Для переносной и кориолисовой сил инерции имеем соответственно (т — масса материальной точки): зс~ = тшг(х, у, 0), з,'.
= 2пив(у, — х, 0). Из выражения для переносной силы инерции видно, что она яв.тется потенциальной с потенциалом, определяемым по формуле П„= — -тш (хг + уг). 2 ти Р = тд и переносной силы инерции йс = пиогх (оз — угловая ско- рость вращен я жидкости) ортогональна поверхностна жидкости. Из рис. 90 находим, что 174 Тливо гЧ Внешние силы (сили тяжести и реакция плоскости) перпендикулярны плоскости Оху, в которой происходит движение точки и, с гедовательно, работы не совершают.
Поэтому из (23) следует, что в относительном движении справедлив интеграл энергии: Т„+ Н„= сопе1, т. е. — т(т + у ) — — гпиг (т -Ь у ) = сопзФ. 1 ° 2 ° г 1 2,2 2 2 2 Этот интеграл с точностью до множителя тг2 совпадает с доказьгеаемым равенством (а). Чтобы показать справедливость равенства (б), воспользуемся теоремой об изменении кинетического момента (22)г приняв за центр А точку О. Обе части векторного равенства (22) будем проектировать на ось Ог. Моменты внешних сил относительно оси Ог ривны нулю. Переносная си га инерции проходит через точку О и, следовительно, тоже не создает момента относительно Ог. з7ля момента М, кориолисовой силы инерции получаем ЛХ, = — 2тш(хх -~- уу). Замечая, что проекция на ось Ог кинетического момента точки в ее относительном движении равна т(ху — ху), получаем из (22) т — (ху — ту) = — 2гпш(тх+ уу), д 'йг или — (ту — ту)+аг — (х +у ) =О.
а 2 2 ат ' йг Отсюда следует справедливость равенства (б) на стр. 173. 90. О теоремах динамики для движения относительно центра масс. В предыдущем пункте мы видели, что основные теоремы динамики в неинерциальной системе отсчета можно записать в той же форме, что н в нперциальпой. Отличие заьточаетсн только в том, что в формулах, выражающих основные теоремы, появляются добввочные члены, обусловленные неинерциальностью системы отсчета.
Но существует подвижная система отсчета, являкгщаяся в общем случае неинерциальной, такая, что для движения в этой системе отсчета теоремы об изменении кинетического момента и кинетической энергии выглядят точно так же, как и в инерциальной системе. Этой подвижной системой отсчета явлнется кенигова система координат, т. е. (см. и. 81) поступательно движущаяся система координат с началом в З 2.
Теоремы об изменении основных динамических величин системы 175 центре масс механической системы. Для теоремы об изменении кинетического момента мы это видели в п. 87. Рассмотрим теперь теорему об изменении кинетической энергии. Из равенств (20),(24) и из того, что переносное ускорение зоы, для всех точек одинаково и равно ускорению центра месс зос, получаем дТ, = ~~~ т„о„, .
де„„= ~~~ т„зо„° др„= к=1 к=1 1Р(ч)+РЯ+ ч . ) к=1 Х~'б др, Ч- р Р~Ц др„— ~~ т„чеке ° др„+ ~ ~т',с ° 4р„ к=1 = д'Абб + д'А® — ~ , 'т,йр„~ . зов ч- ~~~ б'„ь др,. / Последння сумма в этом равенстве обращается в нуль, так как кои риолисова сила инерции ты, перпендикулярна др,. Сумма 2, т„р раню =1 на нулю из-за выбора начала системы координат в центре масс систем мы; следовательно, сумма 2 т,др также равна нулю. Поэтому окон«=1 чательно имеем слодующее выражение для дифференциала кинетической энергии движенип системы относительно центра масс: дТ, = д'А~'~ + д'А®.
(25) Таким образом, теорема об изменении кинетической энергии выглядит точно так же, как и в случае инерциальной системы отсчета. Отличие заключается только в том, что элементарная работа внешних и внутренних сил системы вычисляется на перемещениях точек их приложения по отношению к центру масс.
Примни 1. Рассмотрим произвольную механическую систему, движущуюся в пустоте в однородном поле тяжести. Перенеся все силы системы в ее центр масс С, получим равнодействующую Р, равную общему весу системы. На основании теоремы о движении центра масс (и. 86) мы можем сказагпь, что точка С будет описывать некоторую параболу. Момент внешних сил относительно осей кениговой системы координат равен нулю. Поэтому кинетический момент Коз системы относительно центра масс остается постоянным во все время движения. 176 рлаео Ъ'! Палее, так как точка приложения равнодействующей внешних сил — веса Р системы неподвижна в кениговой системе координат (совпадает с ее началом), то работа внешних сил на относительных перемещениях системы равна нулю.
Поэтому, согласно (25), кинетическая энергия Т, в относительном движении изменяется только вследствие действия внутренних сил. В частности, если рассматриваемая мехиническая система является твердым телом, то кинетическая энергия остается постоянной. ГлАвА Ъ'11 Динамика твердого тела 8 1. Врап1епие твердого тела вокруг неподвижной оси М + Мы х ео = Л+ .Р+ я'ы г)ео й пао од + ы х Ко = Мо+ 00, х Г,. (2) Здесь М вЂ” масса тела,ы — его угловая скорость, ео — скорость центра масс тела; реакция л' не вошла в уравнение (2), так как ее момент 91.
Уравнение движения. Определение реакций. Рассмотрим твердое тело, имеющее две неподвижные точки О и 01 ~рис. 91). Пусть л' и л1 --. реакции связи в точках О и Оы Л -- главный вектор активных сил, а Мо - главный их момент относительно точки О. Примем точку О за начало неподвижной системы координат ОХУХ, ось Е ОЯ которой направим по оси Г)Оы С телом жестко свяжем систему координат Охдз; со ось Оз направлена вдоль оси ООо Тело имеет одну степень свобо- Р 1 ды.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
