1611690520-cad13a71384007d4c452b5b97d2163c9 (826920), страница 33
Текст из файла (страница 33)
В общем же случае величины ЛХ, М„, ЛХ„являются функциями времени, углов Эйлера и их производных. Тогда уравнения (4) и (5) надо интегрировать совместно. Наиболее простым и очень важным случаем является тот, когда момент внешних сил относительно неподвижной точки равен нулю. Тогда говорят, что имеет место случай Эйлера движения твердого тела вокруг неподвижной точки. Этот случай, очевидно, возможен, когда внешних сил нет совсем или тогда, когда внешние силы, приложенные ь телу, приводятся к равнодействующей, проходнщей через неподвиж- Уравнения (4) называютсн динамическими уравнениями Эйлера. ЕсЛИ Ме, Му7 ЛХ, — фуНКцИИ рг гй Г, Х.
тО ураВНЕННН (4) ОбраЗуЮт ЗаМК- нутую систему уравнений, интегрирование которой даст зависимость величин р, 77, г от времени 1 и начальных условий ро, Оо, го, Восле этого из кинематических уравнений Эйлера (см. п. 36) 199 Глава (еВ ную точку. В случае Эйлера уравнения (4) принимают внд Ар + (С вЂ” В)»г = О, В»+ (А — С)гр = О. Сй+ ( — А)р» = О. (6) Ниже мы рассмотрим движение тела в случае Эйлера подробно. 98. Первые интегралы. Так как в случае Эйлера главный момент внешних сил М относительно точки О равен нулю, то из урав- (4 венин (1) следует, что (7) Ко = сонат, т.
е. кинетический момент Кн тела относительно точки Г) имеет неизменное направленно в неподвижной системе отсчета и величина его постоянна. Так как Ар, В», Сг — проекции вектора Ко на главные оси инерции тела Ов, Оу, Ог, а Коз квадрат длины вектора Ко, то из (7) следует первый интеграл Кз = Азрз + Вз»т + Сзгз = сопят, (8) Из теоремы об изменении кинетической энергии можно получить, что кинетическая энергия тела также постоянна. Действительно, так как ЙХ = М~ве ье Й+ В('О ео 41, а но = О и М, = О, то йХ = О. Поэтому существует первый интеграл (е) Т = 1 (Арз + В»з + Сгт) = сопя(.
2 (9) Существование первых интегралов (8) и (9) можно установить и непосредственно из системы уравнении (6), Действительно, если первое уравнение системы (6) умножить на Ар, второе -- на В». а третье — па Сг и результаты слщкитгн то получим Азрр+ Вз»е)+ С'гг = О, откуда следует первый интеграл (8). Если же первое, второе и третье уравнения умножить соответственно на р, », г, то после сложения получим Лрр+ В»»+ Сгй = О, откуда вытекает первый интеграл (9). 99. Стационарные вращения твердого тела в случае Эйлера. Будем называть стационорныл орошением такое движение твердого тела, при котором его угловая скорость ео постоянна относительно тела (а следовательно, и относительно неподвижной системы отсчета; 'З' и Движение твердого тела вокруг неподвижной точки 101 см.
п. ЗО). Длн стационарного вращения величины р, уч г постоянны. Для их определения из системы (6) получим такие уравнения: (С вЂ” В)ут = 11, (Л вЂ” С)тр = О, ( — Л)рд = О. (10) Отсчода следует, что стационарное врап1ение тела может происходить только вокруг главной оси инерции тела для точки О, причем величина угловой скорости тела мажет быть произвольной. Б самом деле, если А = В = С, то уравнения (10) удовлетворяются при любых р, у, т, т.
е. вращение тела происходит вокруг оси, имеющей произвольное направление. Но при Л = В = С эллипсоид инерции для точки О превращается в сферу, и поэтому любая ось. проходящая через точку О, становится главной осью инерции тела. Если два из моментов инерции равны, напримор Л = В, то Е уравнения (10) удовлетворяютсн при р = у = 0 и любом т (вращение во- Ц круг главной оси инерции Оз), а также при т = 0 и любых р и у (вращенис х вокруг лн>бой оси, проходящей через точку О, лежащей в экваториальной О плоскости эллипсоида инерции и, сле- га У довательно, являющейся главной осьнч инерции). уг М Если величины Л, В и С различны, то уравнения (10) могут иметь Рнс.
96 только такие решения, для которых две из величин р. у, т равны нулю,. а третья произвольна,т. е. снова вращение происходит вокруг главной оси инерции. 100. Движение динамически симметричного тела в случае Эйлера. Регулярная прецессия. Будем называть тело динамически симметричгчым, если два его гланных момента инерции для точки О равны, например А = В. Ось Оз тогда будем называть осью динамической симметрии.
Исследуем движение динамически симметричного тела в случае Эйлера. Неподвижную систему координат ОХ1'Л выберем так, чтобы ее ось ОУ бьыа направлена по вектору Хо (который в случае Эйлера постоянон). Для проекций Лр, Ау, Ст вектора Ко на оси связанной с телом системы координат Отуз, образованной главными осями инерции, получаем такие выражения (рис. 96): Ар = Ко чгл й л1п ~рч Лу = Ко тйпд соз р, Сч' = Ко сову. (11) 192 1'лава Ь'11 Из последнего уравнения системы (6) при А = В следует, что 112) г = го = сопв$, т. е, проекция угловой скорости теле на ось его динамической симметрии постоннна.
Из (12) и третьего из равенств (11) получаем сову = Сто/Кы = сопл|, т. е. угол нутации постонпен. При В = Во = сопвь, г = ге = сопв1 кинематические уравнения Эйлера (5) запишутся в виде Р = гРв1пуав1пВг, У = гРвпзВосовьг, го — — гйсовуо+ Вг (14) Подставив выражение для р из (14) в первое ил равенств (11), получим (15) ф = Ко/Л = ыг = сопвж Величина ыз называется угловой скаростые прецессии. Последнее из равенств (14) позволяет теперь найти величину аг.
Получаем., воспользовавшись формулами (! 3) и (15), ~р = ге — фсовуо — — го — совуо = Ко А (16) С А — С, = го — — го —— Л Л го = из = сопвь. 0 Величина ыз называется угловой скоростью собственного вращения. Движение твердого тела вокруг неподвижной точки, состоящее из его вращения вокруг оси, неизменно связанной с телом, и движении, при котором эта ось вращаетсн вокруг пересекающей ее оси, неподвижной в рассматриваемой системе отсчета, называют прецесрис.
9 сией. Прецессия называется регулярной, если вращение тела вокруг неизменно связанной с ним оси и вращение самой втой оси происходят с постоянными по модулю угловыми скоростями. Таким образом, динамически симметричное тело в случае Эйлера совершает регулярную прецессию. В втой процессии ось симметрии тела описывает круговой конус с осью Хо и углом при вершине 2Ве, движение оси симметрии вокруг Хр происходит с постоянной угловой скоростью агз, одновременно тело вращается с постоянной угловой скоростью агз вокруг оси симметрии. 2 У.
Движение твердого тела вокруг неподвижной точки 193 тг р2 з-у2 /р2 ~ 2 Сг Л Аъ/рГ+ Ч2 < О., е1пд = 1— Ко КО 2 д = А чгр'+ у < О С то созВ = — < О, ьйпВ то созд = Сто О Поэтому 1К)4 = У1Кд. Здесь у = С/А. По условию задачи С > А, и так как моменты инерции всегда удовлетворяют неравенству А + В > С (см. и. 79), из которого при А = В следует, что 2А > С, то величина у удовлетворяет условию 1 < 7 < 2. Теперь несложно получить следующую цепочку соотношений: 1Кд-2КП 1Кд — и'- П) -1+ гКдгКР - ('- ~)1+ 7182 дв — 2,Т7~2кд~ 1 ( 1 ~ 1 ( 1 ~,г2 (;, 1 (л 1= 2Ч/7 1+ ( С„д)2 2 ~ /7гг 2 ~ ит2гг 4 ' Отсюда следует, что угол О между образующей и осью неподвижного аксоида удовлетворяет неравенству сь < агсьК(ч/2/4) = 19'28'. 101.
Геометрнческан интерпретация Пуансо. Пуансо дал замечательную геометрическую интерпретацию движения твердого тела в случае Эйлера. Эта интерпретации очень наглядна и позволяет довольно просто выявить качественный характер движения твердого тела в Пгимнг 1. Покажем, что при движении твердого тела вокруг неподвижной точки по инерции при условии А = В < С угол между образующей и осью неподвилтого аксоида не может быть больше >9'28'. Из соотношений (1;Ц, (16) и (16) следует, что при А < С постоянный угол между угловыми скоростями собственного вращения и прецессии шг и изз тупой (рис. 97).
Пусть Π— угол лгежду угловой скоростью тела и2 и вектором шз,. он равен углу между образующей и осью нелодвшкного аксоида. Пуквой З обозначим угол между векторами и2 и и22. Из того, что нри регулярной прецессии угол иутации д и модули угловых скоростей, ш, и шг постоянны, следует, что величины из, сг и В также посгпоянны. Имеют место соотношения Глава д11 случае Эйлера. Поэтому само движение тела в этом случае называют двнгкениелг Эйлера †!!уансо. Пусть Р— точка пересечения мгновенной оси вращения с поверхностью эллипсоида инерции тела для точки О (рис. 98) Ахг + Вдг + Сг~ = 1.
Обозначим я плоскость, касательную к эллипсоиду инерции в точке Р. Ее называнп плоскостью Ыуансп. Отметим следующие свойства (рис. 98) рассмат- О риваемого движения. I 1. Величина угловой скорости ы пропорциональна длине радиуса-вектора точки Р относительно О. 'Я Действительно, так как векторы ОР и аг коллинеарны, то ОР = Лы, и надо только показать, что Л вЂ” посто- К яннан величина, Подставив координаты точки Р: хр = Лр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
