1611690520-cad13a71384007d4c452b5b97d2163c9 (826920), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Рис. 103 Рис. 102 В противоположность полодиям (из областей 1 — 1чг), которые нвлнются замкнутыми кривыми, герполодии, хотя и состоят из симметричных участков, представляют собой, вообще говоря, незамкнутые кривые. Герполодил поочередно касается окружностей р~ — — сопэ1 и рг = сопз1. Моменты касания соответствуют переходу вектора иг через главные плоскости эллипсоида инерции. Дуга герполодин аб (рис. 102) соответствует четверти дуги полодии.
После того как точка Р придет снова в то же положение на эллипсоиде и, следовательно, опишет полную полодию, радиус-вектор ОР повернется на угол 4о, где о — угол, 202 Глааа У!1 Ар = Кояпдяп1а, Во = Коэ1пдсоэр, Ст = Косоэд. (27) Эти соотношения позволяют сразу определить углы д и р как функции времени при известных функцинх р, о, т: соэд = Ко (28) Для нахождения угла дл сначала получим величину ф из первых двух уравнений (б): ряпу+ осоэ~р якд Если затем в это выражение подставить величины япу и соэу, полученные из первых двух равенств (27), то оно запишется в виде Арз -> Воз ф= Ковш д Воспользовавшись теперь третьим из равенств (27) и формулой (8), окончательно получим Арз -1- Вд1з 12 3+В2 2' (29) образованный отрезками Оо и ЦЬ на рис.
102. Если отпев|ение п,1я— рациональное число, то герполодия будет замкнутой, в противном случае она будет незамкнутой. Каждой из полодий 1 — 4 (рис. 99), существующих в случае Коз — — 2ТВ, соответствует герполодия, нвляющаяся спиралью, навивающейся на точку 1~ (рис. 103). Эта спираль бесконечно много раз обходит точку О. Однако ее общая длина конечна, так как она равна длине соответствующей дуги полодии. Если эллипсоид инерции есть эллипсоид вращении, то как походил, так и герполодня представляют собой окружности.
104. Определение ориентации твердого тела в абсолютном пространстве для движении Эйлера — Пуансо. После того как в п. 102 величины р, о, т были определены как функции времени, можно из кинематических уравнений Эйлера (5) найти углы ф,д,у, определяющие ориентацию твердого тела относительно неподвижной системы координат ОХУЯ. Задача сильно упрощается, если, как н в п.
100, ось ОЯ направить вдоль неизменного кинетического момента Ко (рис. 96). При таком выборе неподвижной системы координат проекции Ар, Вд., Сг вектора Ко на оси связанной с телом системы главных осей инерции Ох, Од, Оз вычисляются, согласно рис. 96, по формулам З к. Движение твердого тела вокруг неподвижной точки 203 Отсюда угол ф найдется квадратурой. Так как правая часть формулы (29) положительна, то угол ф монотонно возрастает во всех трех возможных случаях движения, рассмотренных в и. 102, т. е. при любой возможной зависимости функций р, а, т от времени. Если движение тела не является стационарным вращением или асимптотическим движением, то, согласно и.
102, величины р, гй т представляют собой периодические функции времени. Когда значение 1 увеличивается на период, то синусы и косинусы углов д и уо принимают свои первоначальные значении. Значения же з1п уг и сов уг через период, вообще говоря. изменяются, так как за период угол ф увеличивается на некоторую постоянную величину. Это следует из (21). Действительно, пусть т, — период по времени функций р и ф Тогда из (29) имеем ф(1+ т,) = уг(г) и, интегрируя, получим Уг(1+ т.) = Уг(1)+ с, где с -- постоянная интегрирования. Если число с/(2к) не рационально, то твердое тело никогда Е не возвратится к своей первоначальной ориентации в абсолютном пространстве. Если же с чв 2я '"' С О где гн, и — целые числа (гг ф О), то движение твердого тела периодическое, с периодом, равным ят„. О 105.
Уравнения движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки н нх пер- Х вые интегралы. Рассмотрим дви- И жение твердого тела вокруг непа- рно. 104 движной точки О в однородном поле тяжести. Ось О/ неподвижной системы координат направим вертикально вверх. С движущимся телом жестко свяжем систему координат Овуе, оси которой направим вдоль главных осей инерции тела для неподвижной точки О. Координаты центра тлжести С в системе координат Овуе обозначим о, 6, с. Ориентацию тела относительно неподвижной системы координат будем определять при помопди углов Эйлера уь О, т, которые вводятся обычным образом (рис. 104). Моменты инерции тела относительно осей Ов, Оу, Ог обозначим А, В, С, а силу тяжести Р. Пусть единичный вектор н вертикальной оси ОЯ имеет в связанной с телом системе координат Овуг компоненты чн уз, уз.
Величи- 204 раааа у!! 'у! = ып да!ну, 'уз = з1пдсоз!р, (30) уз = созд. Вектор н постоянен в неподвижной системе координат, поэтому его абсолютная производная равна нулю: !1гз/оГ = О. Учитывая связь абсо- лютной и локальной производных вектора (п. 30), последнее уравнение можно записать в виде — + о! х тз = О, йн ог (31) где !о угловая скорость тела.
Уравнение (31) называется уравнением Пуассона Обозначая, как обычно, р, о, т проекции и! на оси Ов, Ор, Оз, векторное уравнение Пуассона можно записать в виде следующих трех скалярных уравнений: !Ьу! !! уз д уз !1! = т уз — д уз, ' — — руз — т'у!, ' = !Гу! — руз. (32) од ' Ф Внешними силами, действующими на тело, являются сила тяжести и реакция точки О.
Последняя не создает момента относительно точки О, а момент Мс! силы тяжести Р относительно точки О равен ОС х Р. Учитывая, что Р = — Рн, можно написать (33) Мо = Рут х ОС. Если М., Мю М, — проекции Мсу на оси Озд Оу, Оз, то из (33) полу- чим Ма = Р(узс — узЬ), Мл — — Р(узо — у!с), М, = Р( ~!Ь вЂ” уза).
(34) Таким образом, динамические уравнения (4) имеют вид А — ' + (С вЂ” В)от = Р("уз с — узЬ), ор о'! г14  — + (А — С)тр = 1 ('узй — у!с), Ж С вЂ” + ( — А)у!о = Р(-у,Ь вЂ” уза). Й дг (35) Уравнения (32), (35) образуют замкнутую систему шести дифференциальных уравнений. описывающу!о движение тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. ны у!, уз и уз равны множителям при ф в выражениях для р, о.
и т в кинематических уравнениях Зйлера (5): 5 2. Движение твердого тела. вокрдг неподвижной точки 205 Если из системы УРавнений (32), (35) величины Р, д, г, Уы Узг Уз найдены как функции времени, то функции Я(1), у(1) находятся из (30), а для нахождения функции чд(1) нужно воспользоватьсн любым из ьинематнческих уравнений Эйлера (5). Таким образом, основная задача состоит в интегрировании системы уравнений (32). (35).
Анализ этой системы и составлнет главнук> сложность задачи о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. Укажем три первых интеграла системы (32), (35). Один из них следует из того, что модуль вектора чг постоянен и равен единице: 'Уг +'Уз + Уз = 1. 2 2 2 (36) Егде один интеграл следует из теоремы об измеяении кинетического момента. В самом деле, так как внешние силы — сила тяжести н реакция точки Π— не создают момента относительно вертикальной оси, то (см. п.
87) проекция кинетического момента Хгг тела на вертикаль постоянна, т. е. Хсч ° гг = соней В подвижной системе координат вектор Хсг имеет компоненты Ар, Ва, Сг, поэтому последнее равенство может быть записано в виде (37) АР.Уч + Вй Уз -~- Сг Уз = сопвс. Замечая далее, что работа реакции точки О равна нулю. сила тяжести является потенциальной и потенциал П не зависит от времени, получим, что во время движения тела его полная механическая энергия Е = Т -ь П постоннна (см. и. 88). Принимая. что потенциальная энергии равна нулю, когда центр тяжести тела находится в горизонтальной плоскости ОХ1 г получим, что П = РЬ, где 5 — взятое со знаком расстояние от центра тяжести тела до плоскости ОХУ; 6 = ОС п = ауч ф буз + суз. И так как Т = — (Арз -~- Вд~ + Сгг), то интеграл энергии запишется в виде 1 2 — (Арз + Вгу~ + Сгг) + Р(апц + 5 уз + с уз) = сопэй (38) Если воспользоваться теорией множителя Якоби, то можно показать', что для того, чтобы интегрирование системы (32), (35) можно было свести к квадратурам при любых начальных условиях, достаточно помимо выписанных трех первых интегралов (36) (38) найти еще один независимый от ннх интеграл.
чсм. и. 162. 206 Глава И1 К настоящему времени показано, что четвертый алгебраический пеРвый интегРал относительно Рг 55 т, Ум Ут, Уз сУществУет только в следующих трех случаях, а именно: в случаях Эйлера, Лагранжа и Ковалевской. В случае Эйлера тело произвольно, но его центр тяжести находится в неподвижной точке О, т. е. и = Ь = с = О.
Этот случай подробно изучен в и. 98 104. В случае Лагранжа эллипсоид инерции тела для неподвижной точки явлнетсн зллипсоидом вращения, а центр тяжести находится на оси вращения, т. е., например. выполняются равенства А = В, сс = Ь = О. Как следует из последнего уравнения системы (35), в этом случае четвертым алгебраическим первым интегралом будет проекция угловой скорости тела на ось динамической симметрии: г = сопачн В случае Ковалевской эллипсоид инерции для точки О нвляется эллипсоидом вращения, например вокруг осн Од, моменты инерции удовлетворяют соотношению А = В = 2С, а центр тяжести тела лежит в экваториальной плоскости эллипсоида инерции, т. е.
в наших обозначениях с = О. Для эллипсоида инерции, являющегося эллипсоидом вращения, любая ось, проходящая через точку О и лежащан в экваториальной плоскости, служит главной осью инерции. Поэтому будем для простоты вычислений считать, что ось О:г проходит через центр тяжести, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
