1611690520-cad13a71384007d4c452b5b97d2163c9 (826920), страница 37
Текст из файла (страница 37)
106 тоже очень интересное свойство, так как в обычных условиях тело с прекращением действия силы продолжает свое движение по инерции. Пусть па быстро вращающийся гироскоп в течение малого промежутка времени т действует сила Р, причем величина Рт является конечной. Если плечо втой силы относительно точки О равно Ь, то ЛХ = РЬ. Конец а вектора Ьо приобретает скорость п„ модуль которой, согласно теореме Резвая, равен РЬ. Точка а за время т переместится на расстояние аа' = пат = ГЬт.
Учитывая, что Оа, равняется Сиь, получаем, что ось гироскопа за время т повернется на малый угол 3, определяемый равенством 212 Глава 171 (но не единственным) свойством гироскопа, широко используемым на практике. Рассмотрим гироскоп, вращающийсн вокруг своей оси симметрии с угловой скоростью ыы Пусть гироскоп совершает прецессию за счет того, что тело, на котором он установлен, вращается с угловой скоростью ыз.
Необходимый для прецессии момент Мы создается силами давления, действующими со стороны тела на гироскоп. Этот момент может быть вычислен по основной формуле гироскопии (46). По третьему закону Ньютона гироскоп давит на тело, па котором оп установлен, с такими же по величине, но противоположно направленными силами. Эти силы создают момент Мг„м воздействующий на тело, вынуждающее гироскоп совершать прецессию. Этот момент называют гироскопическим молентол. Очевидно. что М„,р — — — Моь В рамках приближенной теории гироскопа имеем (51) Мгир = Ошз х шз ° В заключение, опираясь на зле- 2 ментарную теорию гироскопа, рассмотрим задачу о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижпой точки в случае Лагранжа 0 1см.
п. 105). Пусть динамически симИз 7 метричное твердое тело весом Р имеет неподвижную точку О (рис. 107). В начальный момент оно расположе- Р но так. что ось симметрии Оз состав54о лает угол д с вертикалью. Пусть тело закручено вокруг осн симметрии с угловой скоростью ьЧ, направленной Рис. 107 как показано на рис. 107.
Момент Мо силы тяжести Р при любом направлении оси Ол горизонтален. Следовательно, вертикальная ось ОЯ является осью прецессии. Ось гироскопа движется по поверхности конуса с углом при вершине, равным 20. Направление движения указано на рис. 107 стрелками. Угловую скорость прецессии найдем из формулы (48).
Момент Мз имеет величину Р ОО гйп0. Согласно (48), зта величина должна равняться Сьчи~з зш0. Приравняв вти два значения для Моь получим (52) Углован скорость прецессии не зависит от угла О. эх. Пвизкение твердого тела вокруг неподвижной точки 218 Таким образом, быстро вращающееся тяжелое твердое тело в случае Лагранжа совершает регулнрную прецессию. Полученный вывод является приближенным. Он получен в предположениях элементарной теории гироскопов. В действительности движение гироскопа отличаетсн от регулярной прецессии. В частности, угол У не обязательно постоянен, он может изменяться в некотором интервале; колебательное движение оси симметрии гироскопа называется нутацией.
О Рис. 109 Рис. 108 Пгимкг 1. Гироскоп состоит из колеси радиусом В = 0,1м, делающего и = 100 оборотов в секунду. Рама гироскопа, не изображенная на рис. 108, свободно вращается вокруг неподвижной точки О, рисстонние которой 00ь от колеса гироскопа равно 0,2 м. Считая колесо однородным диском и пренебрегая массой рамы, определить направление и угловую скорость прецессионного движения, которое начнет совершать гироскоп, есл,и будет предоставлен самому себе при горизонтазььном положении плеча 00~.
Ускорение свободного падения принять равным 10 м/с . Момент силы тяжести Мо горизонтален, перпендикулярен 00з и направлен как показано на рис. 108, его величина Мсз = тк ° 00ь, где т — масса колеса. Согласно формуле (46), для укизанного на рисунке направления вращения колеса момент Мо вызовет регу ярную прецессию гироскопа с угловой скоростью прецессии изз, направленной вертикально вверх. ,7ля подсчета величины угловой скорости прецессии можно восвользоваться либо основной формулой гироскопии (46), либо формузгой (48) приближенной теории гироскопа (у нас У = к/2, и поэтому эти формулы совпадают).
Получим Ощььог = ту 00ы 214 Глава УН Учитывия, что С = 1/2тйз, находим отсюда тд 00ь тд' 00ь 2 шз Сшг 1/2тНз 2кп И рамках приб щженной теории гироскопа У = сопзь и точка Оз будет описывать горизонтальную окружность в направлении, указанном сгпрелкой. При этом величина угловой скорости плеча 00з равна — —. 21 ко' Союз гир— р М,„г — — Сшь х шз, Гироскопический момент М, р горизонтален.
Гироскопические же давления вертикальны, и при направлении вращения пропеллера, указанном на рис. 109, гироскопические давления при повороте авиамодели влево от курса стремятся поднять ее носовую часть вверх. 8 3. Движение свободного твердого тела 108. Дифференциальные уравнения движения свободного твердого тела. Пусть требуетсн найти движение свободного твердого тела относительно неподвижной системы координат О,ХУл. Согласно теореме П1аля (и. 21), любое движение твердого тела можно рассматривать как совокупность поступательного движения, определяемого движением произволыюй точки тела (полюса), н движения тела вокруг этой точки как неподвижной.
При описании движения полюс желательно выбрать так, чтобы его движение определялось наиболее просто. Из основных теорем динамики следует, что за полюс удобно взять центр масс. Действительно, согласно теореме о движении центра масс, последний движется как материальная точка, к которой приложены все внешние силы системы, а теоремы об изменении кинетического момента н кинетической энергии для движения вокруг центра масс (см. определение этого понятия в и. 81) формулируются точно так же, как и для движения вокруг неподвижной точки. Пгимкг 2.
Модель аэроплана, летящая со скоростью о, совершает поворот по горизонтальной окружности радиусом р. Момент инерции проке лера и мотора относительно их общей оси вращения равен С. Пропеллер и мотор вращаются с угловой скоростью шы Найти момент гироскопических давлений. Угловая скорость гьрецессии вертикальна и по величине равна о(р, угол нутации В равен к/2. Согласно (46), находим 21о З У. Движение свободного твердого теле Пусть М вЂ” масса тела, ос — - скорость центра масс, Ьс кинетический момент тела в его движении относительно центра масс, т.
е. (см. и. 81) относительно системы координат, которая имеет начало в центре масс тела и движетси поступательно. Если В(" и М ' — глав(е! (в) ный вектор и главный момент внешних сил относительно точки С, то из теоремы о движении центра инерции (и. 86) и теоремы об изменении кинетического момента (п. 87) имеем два векторных дифференциальных уравнении 41гс М(е) с . М г(нс ~(е) г1( МД 1'с У(2 азу гР Хс у(2 Пусть СХУЯ вЂ” поступательно движущаяся кенигова система координат, а Слуг .
система координат, жестко связанная с движущимся телом. Если р, д, т — - проекции угловой скорости тела на оси Сш, Су, Сг, а Мг, Мо, М, --- компоненты вектора М в системе координат Слуг, (е) то второе уравнение из (1) запишетсн в виде уравнений (3) п. 97: Л вЂ” ( — Л „д — Уе, 1( + (А — А,)тУ'+ 1„,(т — Ч )+ " Д( -(-р(.1. „т — Д д) = М,, — Яео — -(-,Уо — — .1и„— + (Д вЂ” Дг) тр )- Уе,(р — т )-)- г(р г(Ч е(т, 2,,2 е" Д( оа 'о" г1( * ' " (3) +д(уо,р — Д,„т) = Мо, — 1е* 1( — Ли.—,,( + 1' — „'+ (Уо — 1.)т+ ~е (9 — р )+ +т(Я гУ вЂ”,Уо Р) = М . Зпесь,1е..Уо,,У„,Уео, Уе .,Ре, — компоненты тензоРа инеРции тела для центра масс в системе координат Свуг.
Если оси Св.. Су, Сг главные оси инерции тела для центра масс, то уравнения (3) упрощаются и принимают вид динамических уравнений Эйлера (4) и. 97. Если Хс, Ус, гс —.- координаты центра масс тела в неподвижной системе координат ОоХУЯ, а В„Во, В, - проекции вектора В(") на оси О„Х, О,У, О,Я, то первое уравнение из (1) запишется в виде следующих скалярных уравнений: Глава И1 В уравнениях (3) величины р, В, г можно заменить па их выражения, задаваемые кинематическими уравнениями Эйлера р = йз!пдз1п~р+ дсоаьз, о = ф г 1п В соя ~р — В аш ьз, г = у) соад+ ф. (4) Углы Эйлера, задающие взаимную ориентацию систем координат Схух и СХУЕ. вводится обычным образом. Уравнения (2) — (4) образуют систему дифференциальных уравнений, описывающую движение свободного твердого тела.
В общем случае правые части уравнений (2), (3) зависят от величин Хю, Ую, Ею, ф, д, ьз, их первых производных и времени, и в этом случае систему уравнений (2) -(4) надо решать совместно. Но в простых случаях возможно раздельное интегрирование систем (2) и (3) — (4). Например, пусть свободное твердое тело движется в однородном поле тяжести. Единственной внешней силой, действующей на тело, является сила тяжести, прильпкенная в центре масс и направленная по вертикали вниз.
Если ось О,Я направить по вертикали вверх, то уравнения (2) примут вид д'У Рг„, йгг ' йгг азХс 1 дгз где л ускорение свободного падения. Отсюда следует, что прн произвольных начальных условиях центр масс тела будет двигаться по параболе. А так как момент Мю силы тнжести относительно центра масс равен нулю, то движение тела вокруг центра масс будет движением Эйлера — Пуансо. Если твердое тело несвободно, то величины Хю, Ус, Яо, дь У, у и.
может быть, их производные связаны некоторыми соотношениями. Уравнения движения по-прежнему имеют вид (2) — (4), но в правые части уравнений (2) и (3) войдут реакции связей. Пгимвг 1. В момент летания диска его плоскость занимает горизонтальное положение, а центр диска находится на высоте й над поверхностью Земли. Вентру диска сообгцена горпзонтальная скорость ао, а сам диск закручен с угловой скоростью ьзо, составляюгцей угол 6 = к/4 с его плоскостью. Векторы оо и азо лежат в неподвижной вертикальной плоскости О,Уг (рис. 110). Считая диск тонкой однородной пластинкой, найти его двизкение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
