1611690520-cad13a71384007d4c452b5b97d2163c9 (826920), страница 40
Текст из файла (страница 40)
1!7) направлен противоположно 7?. По теореме об измене- Рис. 117 нии кинетического момента скорость конца вектора 2? равна М. Отан>да следует, что вектор 7?, уменьшаясь по величине (из-за наличия составляющей Мз момента силы трения), стремится занять вертикальное пологкение (из-за наличия составляюгцей Мг момента силы трения). Таким образом, вектор 2?, а вместе с ним и ось симметрии волчка под влиянием трения стремятся к вертикали. Если действие трения будет достаточно продолжительным, то ось волчка может в конце концов занять строго вертикальное положение и останется в этом положении неподвижной. В этом случае говорят, что волчок «спит«а 113.
Движение однородного шара по плоскости при наличии тре- В ния. Пусть однородный шар массой гн и радиусом а движется по пеподвигкной шероховатой горизонтальной плос- У кости. Введем две системы координат: неподвижную ОХУВ с вертикаль- О з' )тд ной осью ОЯ и началом О, совпада- И гошим с произвольной точкой опорной плоскости, и поступательно движущуюся СХУВ с началом в центре масс ша- Рнс.
П8 ра С и осями. параллельными соответствующим осям неподвижной системы координат (рис. 118). Реакпию плоскости В представим в виде суммы двух сил: ле = Ж + л', где Ж вЂ” нормальная реакция плоскости, а г — сила трения. Если «о — угловая скорость шара, а еа — скорость центра масс, 228 Глаза У71 то скорость ар точки Р шара, которой он касаетсн плоскости, вычис- ляется но формуле ер = ер+ы х СР. Сила трения скольжения определяется соотношением (18) где Й вЂ” коэффициент трения, и — единичный вектор, направленный вдоль скорости точки Р: ер = ори. Из теоремы о движении центра инерции имеем И.ер гй = гпд' + гх. Ж (10) Пусть Хр —. кинетический момент шара относительно центра масс. Тогда, учитывая, что момент инерции однородного шара радиусом а и массой т относительно любого диаметра равен — таг, имеем о Хр = — та аг.
2 5 (20) Теорема об изменении кинетического момента для движения относи- тельно центра масс дает уравнение ЙО 5 С 77 72 77 2таг (21) Пусть Хр. Ур, Яр — координаты центра масс в системе ОХУХ, а гх, 7гу . — проекции силы трения на оси ОХ и 01". Уравнения (11) в скалярной форме запишутся в виде = — 7гх, = — 7гу, = — д — Л, (22) ~11г т х ' ,71г т у ' 11г а т — = — — 5"х, = О. й.~у 5 й.~н (23) с71 2 та ' й 4~х 5 — = — Ру, г71 2 та Так как Яр = а = сопзг, то последнее из этих уравнений даст Х = нгя, т.
с. нормальная реакция плоскости равна весу шара, причем этот вывод не зависит от того, скользит шар по плоскости (ер ф О) или нет (ер = О). Если ых, ыу, агл - проекции вектора ы на оси СХ, СУ, СЯ, то векторное уравнение (21) дает следующие три скалярных уравнения: 229 'З'З. Движение таяжелого твердого тела "еп 7 й г1г 2т (24) Заменив здесь огг на ери, а Р -- на правую часть равенства (18), получим "ио Ии 7 г11 е11 2 и + итг — = — — йКи. (25) Так как и — единичный вектор, то вектор г1и/й перпендикулярен и.
Поэтому из (25) следует, что — =О и г1м ЙЪ 7 Ж Ж 2 = --йд. (26) Таким образом, вектор и имеет постоннное направление и, следова- тельно, сила трения постоянна: (27) Р = — анди. Величина скорости точки В, согласно (26), изменлетсл во времени по закону ир(1) = еп(0) — — йдй 7 2 (28) Если обозначить через ех постоянный угол, который составляет скорость точки В с осью ВХ, то из первых двух уравнений (22), получим Хш(1) = — — йдсозгх 1з+ Хо(0)1+Хо(0), 1 Ьгг(1) = — — йдз1по ° 1~ + Ьл(0)1+ Угг(0).
2 (29) Последнее из этих уравнений показывает, что при движении шара проекции его угловой скорости на вертикаль остается постоянной. Это заключение имеет место независимо от наличия или отсутствии скольжении шара. Пусть в начальный момент ео ф О, т.
е. имеетсн скольжение. Так как Дг = гпи, то из (18) получаем, что при наличии скольжения шара сила трения постоянна по величине: Р = ягода Покажем, что она постоянна и по направлению. Длн этого продифференцируем обе части равенства (17) по времени и воспользуемсн уравнениями (19), (21) и равенствами ле = — тй + лг, СВ = йи. Получим 8 230 У'лава ИУ Первые два уравнении из (23) дают лх (1) — ых (О) бед з1п о ыг(1) = ыг(0) + С (30) Из (29) следует, что если в начальный момент скорость центра масс и скорость точки касания не коллинеарны, то на стадии движения со скольжением центр шара движется по параболе.
Согласно (28), такое движение происходит до момента 1 = 1, где 2ер(0) 71сд (31) При 1 = 1, имеем ор = 0; скольжение прекращается и начинается стадия качения шара (с верчением). Таь как ео = О, то из (24) следует, что на стадии качения сила тренин равна нулю. Из (22) тогда получаем, что центр масс движется по прямой. Согласно (23), угловая скорость ы шара при качении постоянна по величине и направлению. Точка В на плоскости двилсется по прямой, а на поверхности шара —.— по неизменной окружности, плоскость которой перпендикулярна вектору ы. При переходе в режим качения пентр шара движется по касательной к параболе (29).
Если эта касательная составляет тупой угол с начальной скоростью центра шара, то шар может повернуть назад: явление, хорошо известное игрокам на бильярде. 114. Об уравнениях дви- И женин тяжелого тела произв вольной выпуклой формы. Пусть тело движется по неподвижной горизонтальной плоскости, опираясь на нее одной точкой своей выпуклой поверхности, не имен~щей заострений и ребер, Двиу жение происходит в поле тяжести. Движение тела будем изучать Х р(т 9 л) по отношению к неподвижной сис- теме координат ОХУУ с началом Рис.
119 в некоторой точке опорной гори- зонтальной плоскости и осью ОУ, направленной вертикально вверх (рис. 119). Единичный вектор этой оси обозначим н. С движущимся телом жестко свяжем систему координат Скрз с началом в центре масс тела и осями, направленными вдоль главных центральных осей инерции.
Радиус-вектор р точки Р, которой тело касается плоскости, относительно центра масс имеет в 14. Движение тяжелого твердого тела (32) ((т., у, з) = О, выбрав знак функции 1 так, чтобы совпадающий с п единичный век- тор внутренней нормали к поверхности (32) в точке Р вычислялся по формуле йгаг( 1 !ОтаОЛ (33) Пусть кч — масса тела, д — ускорение свободного падения, ив скорость центра масс, ы угловая скорость тела, Х его кинетический момент относительно центра масс, а Л .. реакции плоскости.
Уравнения движения тела можно записать в виде двух векторных ураннений: е+игхе= — ни+ — В 1 т (34) Х+гохХ=рхМ, (35) выражающих теоремы об изменении количества движения и кинетического момента. В (34), (35) точкой обозначается дифференцирование по времени в подвижной системе координат С,сух. Вектор н постоянен относительно неподвижной системы координат СХУл, поэтому он удовлетворяет уравнению Пуассона (см.
п. 105) й+игх я=О. (36) Уравнения (34) — (36) справедливы и для движения без скольжения, и для случая движения со скольжением при наличии трения, и для абсолютно гладкой плоскости. Дополнительные к (34) — (36) уравнения, отражающие характер взаимодействия тела и плоскости, для каждого из этих случаев различны. Пусть движение происходит без скольжения. Тогда скорость точки Р касания тела и плоскости равна нулю. Это приводит к такому векторному уравнению свнзи: (37) е+ыхр=О. Уравнения (34) — (37) с учетом (32), (33) представляют собой полную систему уравнений, позволнющую определить двенадцать неизвестных системе координат Сл;уз компоненты ж, у., з. Уравнение поверхности, ограничивающей тело, в системе координат Слух запишем в виде 232 Глава $'71 Е = — та + г(Ть ы) — тЯр и) = сонэк 1 2 1 2 2 (38) Пусть теперь плоскость абсолютно гладкая.
Тогда реакция В ортогональна плоскости: (30) Уравнение связи выражает условие того, что скорость точки Х~ тела направлена горизонтально и имеет вид и (а -ь ы х р) = О. (40) Пусть Хр, 1о, Я, — координаты центра масс в неподвижной системе ОХ1'л. Соотшнпепне (40) мол ет быть также представлено в форме равенства Го = — и . (ы х р), (41) которое, ьак нетрудно видеть, является следствием геометрической ,„. г = (ри). Уравнения (34), записанные в системе координат ОХ1'Я, имеют вид Ус=О, Иа= — д+ —,„. Х ° =О, (42) Из первых двух уравнений следует, что в случае абсолютно гладкой плоскости проекция центра масс тела на опорную плоскость движется равномерно и прямолинейно.
А третье уравнение с учетом соотношений (41) и (36) позволяет найти выражение для величины нормальной реакции: 1У = тд — ти (ы х р+ ы х р+ ы х (ы х р)). (43) Уравнения (35), (36) с учетом (32), (33), (39), (43) образуют систему уравнений длн нахождения шести неизвестных р, д, г, к, у, л. Еогда эти величины найдены, реакция и закон движения центра масс тела по вертикали определяются из (43) и (42) . величии: и, аа, е„р, д, г, к., д, з, Йв, К,„, Л, — компонент векторов о, ы, р, В в подвижной системе координат Скрз.
Из теоремы об изменении кинетической энергии следует, что при отсутствии сколыкения полная моханическая энергия тела постонпна, т. е. з 4. Движение тяжелого твердого тела Отметим, что в случае абсолютно гладкой плоскости помимо интеграла знергии (38) и указанных выше интегралов, связанных с движением проекции центра масс на опорную плоскость, есть еще интеграл„выражающий постоянство проекции кинетического момента тела на вертикаль: 144) Х ° н = соней Этот интеграл следует из теоремы об изменении кинетического момента, так как внешние силы, действующие на тело 1сила тяжести и реакции плоскости), направлены вертикально и пе создают момента относительно вертикальной оси, проходящей через центр масс тела. Рассмотрим теперь случай движения тела со скольжением при наличии трения., подчиняющегося законам Кулона.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
