1611690520-cad13a71384007d4c452b5b97d2163c9 (826920), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Тогда воздействие Я на Ях уже нельзн считать приводящимся к одной силе (являющейся геометрической суммой нормальной реакпии и силен трения). Согласно теореме Пуансо (п. 71), совокупность сил, действующих на В в каждой точке площадки касания, в общем случае будет приводиться к сиде и паре. Упомянутая сила снова может быть разложена на сумму нормальной реакции и силы трения, и пару удобно представить таклсе в виде совокупности двух пар. Одна из них имеет момент, коллинеарный сов, а другая — коллинеарный соя.
Первая пара является парой трения верчения, а вторая парой трения начения. Трение верчения и трение качения обычно малы по сравнению с трением скольжения, и в прикладных задачах часто учитывается только трение скольжения. 111. Волчок на абсолютно гладкой плоскости. Пусть эллипсоид инерции твердого тела для его центра масс представляет собой эллипсоид вращения. Задача о движении волчка по плоскости состоит в исследовании движения этого тела в поле тяжести в предположении, что одна из точек тела, лежащая на оси динамической симметрии, движется по горизонтальной плоскости.
Будем считать, что волчок имеет настолько острый конец, что его можно принять за острие, оканчиванм щееся точкой Р. При движении волчка его точка Р все время остается на неподвижной горизонтальной плоскости (рис. 116). Будем считать, что плоскость нвляется абсолютно гладкой. Тогда ее воздействие на волчок сводится к реакции Ж, имеющей вертикальное направление.
Так как активная сила сила тяжести также направлена по вертикали, то на основании теоремы о движении центра инерции (п. 86) получаем, что проекция центра масс С на горизонтальную плоскость движется равномерно и прямолинейно. Без ограничения общности будем считать ее неподвижной; тогда центр масс движетсн по заданной вертикали.
Выберем неподвижную систему ОХ1'В так, чтобы ось ОЯ была вертикальной и проходила через центр масс волчка, а плоскость ОХ1г следует иметь в виду, что трение представлеет собой весьма сложное явление, поатому оаконы Кулона имеют только приближенный характер. Глава 1В совпадала с горизонтальной плоскостью, на которую при движении опирается волчок своей точкой Р (рис. 116).
Ориентации волчка относительно неподвижной системы координат задается углами Эйлера ф, О, 1в. Пусть го . — масса волчка, расстояние от центра масс С до точ- С ки Р, которой волчок касается плоскости, С момент инерции волчка относительно оси динамической симметрии Сз, А и В (А = В) †. моменты инерции волчка относительно двух любых жестко связанных с волчком взаимно перпендикулярных н пер- 0 пендикулярных Сз осей Сх и Су. Для расстояния 6 центра масс волчка от Х опорной плоскости имеем выражение: 6 '= 1 сов О. Рнс.
116 Так как А = В и впешпие силы (реакция плоскости и сила тяжести) не создают момента относительно оси Сз, то из третьего уравнения системы динамических уравнений Эйлера (формулы (4) и. 97) следует, что проекция г угловой скорости ы волчка на ось его динамической симметрии является постоннной, т. е. имеет место первый интеграл (9) г = гв = сонет. Пусть, как обычно, р и Π— проекции ы на оси Ст и Су. Так как внешние силы направлены вертикально н, следовательно, не создают момента относительно вертикальной оси ОУ, то из теоремы об изменении кинетического момента (и.
87) вытекает постоянство проекции кинетического момента волчка относительно центра масс на вертикаль: '1Р7з + АЧ7з + Сг'уз = сопзФ, где величины 7ы 7з, 7з вычисляются по формулам (30) п. 105. Используя кинематические уравнения Эйлера (формулы (5) п. 97) и соотношение (9)., последнее равенство можно записать в виде Ав1п'О4-~-Сгесовй = сопе1. (10) Далее, поскольку связь, наложенная на волчок (Ь = 1сов О), стационарна и идеальна, а активные силы имеют потенциал П = гяд10 не зависящий 225 в 4.
Доажелое тяжелого огаердого тела явно от времени, то полная механическая энергия постоянна (и. 88): Е = Т + П = сопв1. Здесь Т вЂ” кинетическая энергия волчка, которая, согласно теореме Кеиига (и, 83), вычисляется по формуле Т= — тен+ — Л(р +и )+ — Сг 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 где ен = 6 — скорость центра масс волчка. Используя кинематические уравнения Эйлера, соотношение (9) и равенство 6 = — (в1п00, запишем интеграл энергии в виде (Л + гп1з в1пз 0)Вз + Лшпз Вг))з + 2тд1 сов В = сопев.
(11) Интегралы (9) -(1!) позволяют свести решение задачи о движении волчка к квадратурам. Мы не будем исследовать движение во всей полноте, а рассмотрим только один частный случай. Пусть в начальный момент волчок закручен вокруг оси симметрии и поставлен на плоскость без начальной скорости центра масс и пусть в начальный момент ось симметрии волчка наклонена к вертикали под углом Во. Это означает, что при 1 = О выполнены равенства В=О, Во~ 0)=О, Кроме того, как мы предположили с самого начала, проекция центра масс на плоскость ОХУ имеет скорость, равную нулю. Для таких начальных данных интегралы (10) и (11) можно переписать в следующем виде: А вш~ Вгд = Сто(сов Во — сов О), (12) (А + гп1г вш 0)Вз + А ьшз Вг()~ = 2тЯсовВо — сов О).
(13) Из (12) находим С го (сов Во — сов О) (14) Авшзд Используя (14), интеграл (ТО) можно записать в виде А вш 0(Л + пй в1п 0)0 = Т(0), () где г'(О) = (совВо — совВ)[2Атя(в1п 0 — Сзгз(совВо — совВ)]. (16) Рлава гт1 Левая часть равенства (15) неотрицательна. Поэтому угол 0 может принимать только такие значения, для которых 1(0) > О.
Отсюда следует, что 0 > Яа, так ьак при Я < Яа функция г'(0) представляет собой произведение двух сомножителей, имеющих противоположные знаки. Угол 0 колеблется между Яо и значением Яз, являющимся ближайшим к Яо корнем уравнения г"(О) = О. Отметим, что Яг < я, так как 1(я) = — (1+соя Яо)зСзгз < 6. Таким образом, при движении волчка выполняются неравенства Яо < 0 < 0~ < я. Длина отрезка ОВ (рис. 116) все время удовлетворяет неравенствам 1япро < ОВ < 1япды Поэтому траектория точки В на опорной плоскости заключена между двумя концентрическими окружностями радиусов 1япЯа и 1л1п 0~ с центром в точке О.
Из (14) следует, что когда Я принимает во времн движения свое начальное значение Яо, то ф = О. Отснзда вытекает, что траектория точки В имеет на внутренней окружности радиуса 1япро точки возврата (рис. 116). Если начальная угловая скорость го вращении волчка вокруг оси симметрии велика. то угол 0 мало отличается от своего начального значения. Действительно, приравняв нулю квадратную скобку в выражении (16) для функции ~(0~)., получим, что с погрешностью порядка 1Я угол Яз будет вычисляться по формуле 2Лтф яи Яо Сз з о Отсюда видно, что Яы а следовательно, и 0 сколь угодно близки к Яо.
если величина га достаточно велика. 112. Влияние трения иа движение волчка. В действительности неподвижная плоскость, на которую опирается волчок, не является абсолютно гладкой, а волчок заканчиваетсн не острием, а поверхностью вращения, более или менее заостренной, так что точка касания В волчка и плоскости ие лежит па оси симметрии. По этим причинам движение волчка будет иным, нежели то движение, которое описано в и. 111. Один из самых интересных эффектов влияния силы трения состоит в том, что эта сила может приблизить ось симметрии волчка к вертикали.
Рассмотрим этот эффект с качественной стороны, опираясь на теорему об изменении кинетического момента. Пусть волчок быстро вращается вокруг оси симметрии и без начальной скорости центра масс поставлен на плоскость так, что его ось симметрии составляет с вертикалью некоторый ненулевой острый угол Яо.
З) «г. движение тяжелого твердого тела 227 Кинетический момент А волчка отно- К сительно центра масс в начальный момент направлен как показано на рис. 117. Пусть Р— точка ножки волчка, которой он касает- М си опорной плоскости. Ножка теперь уже не принимается за острие. Сила тренин Г на- ,'С правлена в сторону, противоположную скорости точки Р. Момент М силы трения относительно центра масс направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через центр масс С и вектор л . Вектор М мож- У но представить в ниде суммы Мг + Мз, где вектор Мг перпендикулярен 7?, а век- Р тор Мз коллииеарен вектору 7?, но (в ситуации, представленной на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
