1611690520-cad13a71384007d4c452b5b97d2163c9 (826920), страница 34
Текст из файла (страница 34)
др = Лу, г~ = Лг Рнс. 98 в уравнение эллипсоида инерции и воспользовавшись интегралом (9), получим Лг( 1дг + Вг1г + Сгг) Л = = сопят. ъ'2Т 2Ахр 2Вдр = 2Л 2Сгр Ар Ву Сг = 2ЛКо. 3. Проекция ОО радиуса-вектора ОР на направление кинетического момента Ко есть величина постоянная. В самом деле, воспользовавшись формулой (19) и. 84 и интегралом (8). получим Ко О!' Л Ко ы Л 2Т ъ'2Т = соиа$. Ко Ко Ко Ко 2. Плоскость я перпендикуллрна кинетическому моменту Ксг, Для доказательства достаточно заметить, что вектор Ж, равный градиенту функции Ахг + Вдг + Сгг, вычисленному в точке Р, направлен по нормали к плоскости к.
Но )) 3. Движение твердого тело вокруг келодвижкол точки 195 рг [(2ТС вЂ” Коз) В(С вЂ” В)уз), гз = 1 [(Коз 2ТЛ) В(В А)уг1 (17) Опроделяемые отсюда значения р и г подставим во второе уравнение системы [6). Получим дифференциальное уравнение для у с разделяю- щимисн переменными йЧ 1 В ч'АС (18) х [[2ТС вЂ” К~) — В(С вЂ” В)г7д) [[Ко — 2ТА) — В[ — А)дь). По винстический момент Кн имеет неизменное направление и, согласно второму свойству, порпенднкулярен плоскости и.
Поэтому плоскость и, ввиду постоянства ее расстояния от неподвижной точки О, сохраняет неизменное положение в пространстве. Таким образом, приходим к следующей, полученной Пуансо, геометрической интерпретации движения твердого тела в случае Эйлера: эллипсоид инерции длл неподвижной точки катится йеэ скольжения по плоскости, неподвижной в пространстве; эта плоскость перпендикулярна кииетическолу лолеиту; угловая пгорость тела пропорциональна длине радиуса-вектора точки касания, а по направлению с кил совпадает.
Движение зллипсоида по плоскости ог происходит без скольженин, так как точка Р лежит на мгновенной оси вращения, и поэтому ее скорость равна нулю. При движении тела точка Р на зллипсоиде инерции вычерчивает кривую, которая называется полодией. Ооответствугошая кривая на плоскости к называется герполодией. Так как точка Р лежит на мгновенной оси вращения, то ясно, что полодия служит направляющей подвигкного аксоида, в герполодин направлнющей неподвижного аксоида для движения твердого тела вокруг неподвижной точки (см. и.
26). 102. Интегрирование уравнений Эйлера. В и. 99 и 100 уравнения Эйлера (6) рассматривались в частных предположениях о движении тела или ого геометрии масс. Получим теперь аналитическое решение уравнений (6) в общем случае. Будем для определенности считать, что А > В > С. Из первых интегралов [8) и (9) выразим величины р' и гг через уз, А, В, С и постоянные Т, Кок 196 Глава РВ К~~ — 2ТС В( — С) и введем положительный параметр Йз < 1 согласно формуле г ('1 В) (Ко — 2ТС) ( — С) (2ТЛ вЂ” К' ) В новых переменных уравнение (18) запишетсн в виде — 1 — й вш Л.
4Л Йт (! 9) Пусть при 1 = О 9 = О. Тогда из (19), согласно п. 9о, получаем Л = агпт. Решение уравнений Эйлера (6) в рассматриваемом случае записывается через эллиптические функции Якоби в виде Ког 2ТС Ког — 2ТС р=~ си(т, Й), 9=~ вп(т, й) Ко г = С(А С) Йп(т, Й). (20) Если это уравнение проинтегрировано, то функции р и г найдутся из равенств (17). При этом при навлечении квадратных корней перед раз дикаламн возможны два знака: плюс 1 или минус.
Конкретный выбор этих и знаков делается при помощи уравнений (6). Рассмотрим три случаи, соотРис. 99 ветствуюших различным соотноше- ниям между постоянными Т и Ко. 1. 2ТВ > Крг > 2ТС. В этом случае величина г всегда отлична от нули и полодии заключают в себе наибольшую ось Ог эллипсоида инорции. Все полодии расположены на эллипсоиде инерции в областях, обозначенных па рис. 99 цифрами 1 и П.
Для интегрирования уравнения (18) сделаем замену переменных у у 1М. Движение твердого тема вокруг неподвижной тонки 197 2ТА Ког д=т ппЛ, г= Тогда, если ввести параметр н~ ( 1 по формуле ( — С) (2ТА — Ко) (А В) (Коз 2ТС) ' то уравнение (18) примет вид (19), и если принять, что при 1 = 0 9 = О, то решение уравнений (6), соответствующее полодинм из области П1 на рис.
99, будет иметь вид Ког 2ТС 2ТА Ког р = с1п(г, Й)г о = + вп(г, Й)г А(А — С) ' ' В(А — В) ' 2ТА Ког С(А — С) ( ' ) (21) Здесь одновременно берутся либо только верхние, либо только нижние знаки. Чтобы получить решения уравнений (6), соответствующие полодиям, расположенным в области 1У на рис. 99. нужно величину 9 оставить такой же, как и в (21), а у р и г одновременно изменить знаки.
Если Ко — — 2ТА, то полодии вырождаются в точки., лежащие на г оси От и отвечающие стационарным вращениям тела вокруг оси От. Заметим, что в двух рассмотренных случанх величины р, дг г периодические функции времени, поэтому полоции представляют собой замкнутые кривые. Отметим также, что картина расположения Здесь одновременно берутся либо только верхние. либо только нижние знаки. Решение (20) соответствует полодиям, расположенным на рис.
99 в области 1. Для получения решения, соответствующего полодиям, расположенным в области П, надо в формулах (20) величину 9 оставить без изменения, а у р и г одновременно изменить знаки. Направление движения по полодиям показано нв рис. 99 стрелками. Если Ко — — 2ТС, то полодни вырождаются в две точки, совпадающие с г вершинами эллипсоида, лежащими на оси Ог, Они соответствуют стационарным вращениям твердого тела вокруг осн Ог. 2. 2ТА > Кг > 2ТВ.
В этом случае величина р во все время движения отлична от нуля. Паладин заключают в себе наименьшую ось эллипсонда инерции Оз и расположены на эллипсоиде инерции в областях„обозначенных на рис. 99 цифрами 1П и 1й. Сделаем замену переменных 198 !лала 1'В полодий на эллипсоиде инерции симметрична относительно его главных плоскостей. Каждому движению твердого тела соответствует одна вполне конкретная полодия. Какая именно, зависит от начальных значоний величин р, и, г. Рассмотрим еще третий случай, являющийсн промежуточным между двумя рассмотренными. 3.
КОз = 2тВ. Равенства (17) принимают вид (2т в„'), гз = (2т — в9з). (22) Из (22) следует, что А(А — В)рз = С( — С)|з. Учитывая свойство 1 движения Эйлера — Пуансо (п. 101), получаем, что в рассматриваемом случае полодии лежат в плоскостях С( — С) А(А — В) (23) то уравнение (18) в рассматриваемом случае примет следующий вид: — (2т — Вг1 ).
Ат т/Я'В (24) Пусть при 1 = О 9 = О. Тогда из уравнения (24) и равенств (22) с использованием известных соотношений между гиперболическими функциями сЬ т — эд т = 1, 111 т = ' сйт проходнщих через среднюю ось эллипсоида инерции. Сечения эллипсоида инерции плоскостями (23) будут эллипсами, на которых лежат полодии двух типов. Во-первых, это полодии-точки, расположенные на оси 09 и соответствующие стационарным вращениям тела вокруг средней оси эллипсоида инерции с произвольной угловой скоростью.
А вовторых, есть четыре полодии, представлнющие собой дуги эллипсов, соединнющих упомянутые полодии-точки. Эти четыре полодии обозначены на рис. 99 цифрами 1, 2, 3 и 4. Они нвлнютсн на эллипсоиде инерции сепаратрисами, разделяющими области 1, П. П1, 1Ч с отличающимся характером поведония полодий. Если положить 52. Движение твердого тело вокруг неподвижной точки 199 получим, что решение уравнений Эйлера (6), соответствующее полодии 1 на рис. 99, имеет вид р= 2Т( — С) 1 Я 2Т~А-В) 1 А(А — С) сйт' у В ' С(А — С) сЪт' у= ь — тйт, (25) Решение ураннений (6), соответствующео паладин 3, получается из формул (25), если в пих изменить знаки у величин р, г. Решения, соответствующие полодиям 2 и 4, получаются из (25), если изменить знаки соответственно у у, г и д, р. Поведение гиперболических функций, входящих в формулы (25). показано па рис.
100. Рис. 101 Рис. 100 Ппимнп 1. Однородная прямоугольная, пластинка двилсется по инерции вокруг неподвижной точки, совпадающей с ее центром масс. В начальный момент времени 1 = 0 пластшгка приведена во вращение с угловой скоростью юо вокруг диагонали РГ1 (рис. 101). Обозначая гг угол мезкду диагоналями, показать, что через промезкуток времени ~', равный 2К(е1п о) ьзьгсоь 2сг где К вЂ” полный эллиптический интеграл первого рода, а1по — модуль эллиптического интеграла, пластинка будет вращаться вокруг другой диагонали ВЯ. Пусть ОЯ = Ь, ОЛ = г: и Ь < с.
Оси Од и Ог системы координат Отуг перпендикулярны соответствующим сторонам пластинки, а Ох перпендикулярна ее плоскости. Эти оси являются главными цен- 200 Слава тВ тральньхми осями инерции пластшти. Согласно и. 75 (пример 1), илхеем А =,У = — т(Ьз+ сг). В = Х = — хпсг. С=,т, = —, Ьз, 1 12 Коли диагон ль пластинки равна й, то Ь = алеша, с= дсоза и С = — хххд яп а. 1 2 ° 2 12 В = — хпд соз а 1 г 12 А = — тд, 1 12 При й = 0 р = О, у = охо вш а, т = ьхо сов а, поэтолху Т = -(Ар'+ Вдг+ Ст') = — тпдз япг асов'а.ихг, 2 12 Кз =Азр'+Взуз+Сгтз = 1 ёдйзе1пгасозза охз.
144 Так как при Ь < с угол а не превосходит к/4, то, как нетрудно проверить непосредственным вычислением, справедливы неравенства А > В > С и 2ТВ > Кз > 2ТС. Следовательно, мы имеем дело с первым из рассмотренных выше случаев движения Эйлера — Пуансо. Опираясь на проведенное выше исследование этого случая, после неслолсных вычислений найдем: р(1) = — япаь'сов 2а ° шо сп(т+ К(й), й], д(х) = вша -шо ° вп(т+ К(й), й], т(1) =ыо х111(т+К(й), й].
т = ъссов 2а охо П = 2К(й); поскольку (рис. 95) сп(ЗК(й), й] = О, еп(ЗК(й), й] = — 1, х!хх(ЗК(й), й] = = ~/1 — йз, то р(П) = О, у(П) = — ыояпсх, х(П) = охо сова. Отсюда следует, что при 1 = П пластинка вращается вокруг диагона- ли ЛЯ. Здесь т = ъ'сов2а-шо 1, й = вша.
При получении выписанного решения рЯ, д(1), т(1) динамических уравнений Эйлера (6) в формулах (20) взяты верхние знаки, а величина т залхенена на т+К(й), что отвечает конкретным начальным ус.ховиям в рассматриваемой задаче о двизкеххии пластинки. Полодия, соответствующая выписанному решению, лежит на эллипсоиде инерции в области 1 (рис.
99). При 1 = П имеем З У. Движение твердого тела вокруг неподвижной точки 201 103.0 р «.и р .98 . Оп=чае -ов. Так как, согласно п. 101, ОР = ш/ъ 2Т, ОО = ъг2Т/Лгэ, то (26) Эта формула позволяет выявить некоторые общие свойства герполодий. Для каждого из стационарных вращении ол = сопз1, и герполодия представллет собой точку, совпадающую с точкой сд. Рассмотрим общий случай движения.
Пусть А > В > С. Тогда для движений тела, которым отвечают паладин, расположенные в об- ~че р .и, =ОФ ~с~о г и максимум шз. Согласно (26), величина ЯР также будет иметь минимум ре и максимум рг. Поэтому герполодия заключена между двумя концентрическими окружностями с центром в точке О (рис. 102 и 103). Отметим без доказательства, что герполодия не имеет ни точек перегиба, ни точек возврата и всегда обращена вогпутостью в сторону точки О, в которой вектор кинетического момента Аго пересекает плоскость Пуансо л..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
