1611690520-cad13a71384007d4c452b5b97d2163c9 (826920), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Влиянием воздуха пренебречь. В неподвижной системе координат О„ХУЯ, плоскость ОьХУ которой совпадает с горизонтальной поверхностью Зем ш, а ось О,Е вер- 217 З 3. Движение свободного твердого тела Рис. 110 Рис. 111 тикальна, центр ласс диска С двизкется по параболе Хс(1) — О, 1'с(1) — ~ой+ 1'с(0), ~с(1) — й — 2 а~' Движение диска относительно кениговой системы координат СХ«гЯ, оси которой параллельны соответствующим осям системы координат О,ХУУ, является регулярной прецессией. Оси жестко связанной с диском системы координат Схуг, образованной главныли центральными осями инерции диски, направим так, чтобы в момент метания диски 1 = О ось Сх совпадала с осью СУ, ось Су совпадала с осью СХ, а ниправление оси Сг было бы противополонсно направлению оси С7 кениговой системы координат (см.
рис. 110 и 111). ,7ля главных центральных моментов инерции диска имеем: д, = = 2д = 2дз — — 1)2тйз (т ласса диска,  — — его радиус). Так как,У, ),Уг, то Угол У междУ вектоРами ьоз и агз, согласно и. 100, тупой (рис. 111). Па рис. 111 показана ориентация вектора со относительно диски при 1 = 0; имеем: р = юо сов д, д = О, е = хо = — юа в!пд. Поэтому для неизменного модуля кинетпического момента диска .Кс получаем: ис= 21Е Глава РП Формулы (13), (15) и (16) и. 100 дают: соеу = — =— дзге 2з1пб чг~ за ю' ,7е — д, шз = ' га — азо ззп б.
ьзз = — =шо 1ч-3з|п б, Хс 2 Уе с от б 2 ззпб чт+эйР3 Й+зыб) Подставив в полученные выражения заданное значение угла б, рав- ное к/4, получим, что в кекиговой системе координагп диск совершает регулярную прецессию: /ГО .,/2 зр=ьзг = 2 шо зз = ьзз = ьзс' 2 0 = и — вгссоз —, 2 ъ'5 ось прецессии определяется векторол е' = (О, 1/ч/5, 2/ч/5).
109. Плоское движение тела. Пусть все точки тела движутся параллельно плоскости О,ХУ. Получим дифференциальные уравнения, описывающие это плоское двизкение тела. Без ограничения общности можно считать, что центр масс тела движется в плоскости ОьХУ, поэтому Яс = О. Также можно считать, что оси Сю, Су связанной с телом системы координат Слуг движутся в плоскости О„ХУ, т. е. ось Сг перпендикулярна этой плоскости. Тогда, полагая 0 = О, ф : — О, из кинематических уравнений Эйлера (4) имеем ЧьнО, г=~р. (5) Подставив гс = 0 в уравнения ~2), а выражения (5) для р, у, г в урав- нения (3), получим М =Л», М, =Л„Ли=О.
дХс 0~с 01~ 01з (О) 2 2 (7) Вектор Хю задает ось прецессии. Он имеет неиз кенное направление в пространстве: лежит в и ьоскости СУХ и составляет с горизонтальной осью СУ постоянный угол, равкый 0 — к/2. Для единичного вектора е, направленного вдоль Хсз, получаел в системе координат СХУЯз 219 З Уь Движение сволодного твердого тпела Последнее уравнение из (6) и первьье два уравнения из (7) налагают ограничения на геометрию масс тела, внешние силы и частично на начальные условия, при выполнении которых плоское движение тела возможно.
Остальные три уравнении 3 йзХс Н Мз Мд 1'с Фз являются дифференциальными уравнениями плоского движении твер- дого тела. Пгимкг 1. Тело совершает плоское движение под действием постоян- ной во величине и направлению силы х'. Линия действия силы лежит в плоскостц проходящей через центр масс тела и параллеггьной плоскос- ти его движения (рис.
112). Определить движение тела. УА Рис. 113 Рис. 112 Пусть т — масса тела, и — расстояние от центра масс до точки приложения силы, Л момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела и перпендикулярной плоскости движения. Напишем уравнения движения тела (8). Напривление оси О„Х выберем так, чтобы оно совпадало с направлением силы К (рис.
112). Тогда тХс = Г, тУс = О, Яр = — Гааоььз. Хс(1) = + Хс(О)1+ Хс(О), Ус(1) Ус(О)1+1с(О); Из первых двух уравнений следует, что центр масс тела будет (при Ус(0) ф- 0) двигаться по параболе 220 Слава МП если 1'э(0) = О, то центр масс движется с постоянным ускорением Гьпг вдоль прямой, параллельной оси ОьХ, и за время 1 пройдет Гяг путь я = ' + Хс(0)1 2т.
Одновременно тело вращается относительно центра масс; это вращение описььвается третьим из написанных уривнений двиксения тела. Сравнивая это уравнение с уравнением движения математического маятника (уравненпе (6) п. ос7), видим, что относительно центра масс тело движется как математический маятник длиной 1 = д'К/(™). ту = Хв — ту, — та ф = — — Мл а соя ьр + — Цьв и яйп ьр. 1 2 1 1 12 2 2 72гх = ьчл, Но х = — аяшьр, у = — псояьр; 1, 1 2 ' 2'г х = П(соя ьр ф — яшьрфг), у = — П(яшьр ьр'+ сояьр фг). Поэтому из первых двух уравгьений движения стержня имеем л 2та(сояяг ф — я1ггуг ° ф ), ьггв ту 2гпа(я1ггьр Ф+сояуг 9 1, ° э . 1,, - 2 Подставив эти выражения для ьггл и Лгв в третье из уравнений движения стержня и учтя, что прая = 0 ьр = ец ьр = О, получим, что при 1= 0 3у, ф = — чгпы 2а" Следовательно, искомые начальные значения величин ьчл и Юв будут такими: ьчл = — гщ ягпыыыясг, =3 4 ьчв = ту ~1 — — ьгп ы), ь 3, э 4 Пгигявг 2.
Тонкий однородный стержень приставлен одним концом к гладкой вертик льной стене, а другим концом опирается на гладкий горизонтальный пол. (рис. 113). Стержень пришел в двилсение из состояния покоя, когда он составлял угол а с вертикалью. Вычислипгь начальные давления на стену и пол. Движение стержня происходит под действием силы тяжести пгд и реакций ьчл и 1гьв стены и пола; Жл имеет горизонтальное, а Мв — вертикизгьное направ~генин. Пусть а — длина стержня, а х, у— координаты его центра тяжести С в показанной на рис.
113 системе координат Оху. Дифференцишььньье уравнения движения стержня имеют вид 221 64. Движение тяжелого твердого тела Поимку 3. Пеоднородный диск ка- 1т тится по неподвижной горизонт зоной плоскоспш так, что скольжение отсутствует, а плоскость диска все О время остпается в фиксированной вертикальной плоскости (см. пример 4 1ч' Ут п. 87). Масса диска равна т, радиус оо а ту центр масс С находится на расстоя- Г "Х нии 6 от геометрического цеитрат момент инерции относительно оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр масс, равен дс. Используя теорию плоского движения, получим дифференциальные уравнения движения диска. Движение диска происходит под действием силы тяжести и реакции плоскости, которая пр ложена в точке А, диска, в которой происходит его касание с плоскостью; разложим реакцию на две составляющиет вертикальную М и горизонтпальную Е (рис.
114). Уравнения (8) в рассматриваемой задаче будут иметь вид 'тхс = Г тУс = зч — тя, ,Усф = Е(а — 6 сов ут) — г"ьтЬ яп ут. Из условия отсутствия скольжения (скорость точки А„равна нулю) следует. что во все время движения должное выполняться равенства Хс = — (а — Ьсавтр)ут: Ус = Ьяп~р ° ут. Следоватпельно, Ёс = 6 ятт ут ° тр' + Ь сов ьо тр~.
Хс = — (а — бсовьо) ° ф — Ьв1пьо ° ьз~, Поэтому первые два из трех дифференциальных уравнений движения диска дают зависимость составляющих реакции плоскости от дт ф и утт 1ьт = ттьи+тб(втпут ф+ сову ф ), Р = — т((а — Ьсов~р)фт+Ьвштр ф (. Подставив эти выражения дти Ю и Р в третье из дифференци- льных уравнений движения диска, придем к уравнению, описывающему изменение угла ут во времени: (дс+ т(тт~+ Ьз — 2абсовутЯ+ тпабяпу фз+тубьшд = О. В примере 4 и. 87 это уравнение было получено при помотци теоремы об изменении кинетического момента. 222 Главе ГЛ В 4.
Движение тяжелого твердого тела, опирающегося на горизонтальную плоскость 110. Общие сведения. Понятие о трении. Пусть жесткая поверхность Н движетсн, касаясь непо- Я движной поверхности Яг (рнс. 115). Считаем, что поверхности Я и Яд выИь пуклы, а их касание происходит в од- Я, ной точке О.
При движении поверхности Я точка О. вообще говоря, перемещается как по Я, так и по Ям Предполагаетсн, что в каждый момент времени через точку О моькяо провести единственную касательную плоскость к Н и Яы Очевидно, что скоРис. 11б рость ео точки О, которой поверхность о касается Яы лежит в общей касательной плоскости, проходящей через Пц Если ео = О, то говорят о двиясепии без скольжения. Если же ео ф О, то говорят о движении со скольжением, в ео называют скоростью скольжения. Примем точку О за полюс.
Тогда движение поверхности Я в каям дый момент времени можно представить как совокупность поступательного движения со скоростью ео и вращения с угловой скоростью ьо вокруг точки О. Разложим вектор ьо на две составляющие ьов и ьоя, где вектор соя перпендикулярен общей касательной плоскости, а шя лежит в ней; ьов называют угьговой скоростью верчен я поверхности Я, а ыя угловой скоростью качения. Если ео = О, то говорят, что поверхность Я катитси по поверхности Я~., если при этом ьоя = О, ьоя ф О. то имеет место чистое качение Я по Яы а если соя = О, ыв ~ О, то поверхность Я совершает верчение.
Когда ео ф О, в ыв = О, ыя = О, то говорят, что Н скользит по Яь В общем случае, когда во ~ О., игв ~ О, игк ~ О, поверхность о скользит, вертится и катится по Ям Действие Яг на Я проявляется в следующем. 1) На поверхность Я действует сила М, перпендикулярнан общей касательной плоскости и направленная от о1 к Я: эта сила пазгявается нормальной реакцией; для реальных движений Л > О. 2) На з действует сила трения Х, лежащая в общей касательной плоскости. Согласно законам трения Кулона, величина г' не превосходит своего максимально возможного значения, равного йЛ, где й -.- коэффициент трения. При этом если но = О, то Е < й1ч'.
Величину Г в этом случае называют силой трения по- 223 'З'Л. Движение тяжелого твердого тела ноя. При ео ~ 0 имеет место равенство Р' = йЛ', а й' называют силой трения скольжения'. Иногда приемлема такая идеализация, что поверхности можно считать абсолютно гладкими. Это означает, что величина й настолько мала, что величиной силы трения в рассматриваемой задаче можно пренебречь. Если поверхность Я1 абсолютно гладкая, то ее воздействие на 5 сводится к нормальной реакпии М. В действительности тола соприкасаются не в одной точке, а по очень малой площадке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
