1611690520-cad13a71384007d4c452b5b97d2163c9 (826920), страница 42
Текст из файла (страница 42)
получим, что гн 7,91 км/с. 2 Вторая космическая скорость егг — это параболическая скорость у поверхности Земли, т. е. огг = ~/ г — — ч/2ег 11,2 км/с. /2к ~/ го 121. Третий закон Кеплера. Пусть орбита точки Р представляет собой эллипс с полуосями а и Ь. Из аналитической геометрии известно, что величины а и Ь выражаются через параметр эллипса и его эксцентриситет посредством формул а= з, Ь= р р 1 — ез ч/1 — ез (17) Ьлижайшан к фокусу точка эллиптической орбиты называется перииектром, а Ь наиболее удаленная от фокуса — апоцектром.
Перицентр и апоцентр обозна- а а и л чены на рис. 123 буквами и и а. За время., равное периоду Т обращения точки Р по орбите, радиус-вектор ЕР Р .123 ис. заметет всю площадь эллипса. учитывая, что площадь эллипса равна паб и что, согласно интегралу площадей, секторнан скорость точки Р постоянна и равна с/2, получаем равенство паЬ = — сТ. 1, 2' (18) Орбита будет гиперболической (е > 1), если 6 > О, т. е. оо > «2Й~~„. Такие скорости называются гиперболическими. Первая космическая скорость от — это круговая скорость у поверхности Земли. Найдем ее величину. Пусть т — масса спутника, М вЂ” масса Земли, 7 — универсальная гравитационная постоянная, лов ускорение свободного падения у поверхности Земли.
Тогда 241 з 1. Задача двух тел По из (14) н (17) следует, что с = ьгр1г и р = бз/а. Поэтому из ра- венства (18) вытекает следующее выражение для периода обращенил точки Р: 2лвз!з гу ' (19) Величина и = 2л,1Т является средней угловой скоростью вращении радиуса-вектора РР, в астрономии ее называют средним движением. Согласно (19), (20) Рассмотрим две точки Рь н Рз массой гпь н гпг.
Если пренебречь взаимным притяжением этих точек, то каждая из них будет двигаться вокруг точки О по коническому сечению, Пусть орбиты точек будут эллиптическими. Тогда для периодов их обращения имеем выражения наг, 7Газ ч я, ~ я) Отсюда следует, что Тг воз+Ма) 3 3 (21) т +М з При п~а << М и тз << М это соотношение переходит в следующее приближенное равенство: Тз з 3 3' 'Х~ аз (22) Равенство(22) выражаеттретий закон Кеплера: явадратыперивдвв обращения планет вокруг Солнца относятся яая кубы их больших полуосей.
122. Время в кенлеровском движении. Уравнение Кеплера. В предыдущих пунктах определен геометрический характер орбиты точки Р. Орбита является коническим сечением и находится в плоскости, перпендикулярной векторной константе площадей с. Положение самой орбиты в этой плоскости однозначно определяется вектором Лапласа у, который проходит через точку О, нвляющук~ся фокусом конического сечения, и направлен на перицентр л.
Глава 0111 Чтобы закончить решение задачи двух тел, осталось найти закон движения точки Р по ее орбите. Будем считать, что орбита является эллиптической. Из интеграла плошадей имеем гзр = с. Отсюда, из уравнения орбиты (15) и равенств (14), (17) н (20) получаем — = — = —,(1+ ессеи) = (1+ есоаи) Й/ с с 2 ъ'Й 2 с13 гз рл ' 312 (1+ есозо) .
(1 е2)312 Пусть т . время прохождения точки Р через перицентр. Тогда из последнего уравнения получаем неявную зависимость и = и(1)3 ди в (1 + е соэ и) (1 — ез) 1 о (23) Рнс. !25 Рнс. 124 Если отсюда найдена функция и = и(1), то закон движения точки по орбите известен. Найденное решение задачи двух тел зависит от шести произвольных постоянных. За ннх могут быть приняты константа г и пять нз семи констант с, св, с . Ь, 1, 13, 1,. свнзанных двумя соотношениями (10) н (12).
Нахояздение зависимости и = н(1) из трансцендентного уравнения (23) представляет собой довольно трудную задачу. Введем вместо и новую переменную Е, через которую и выражается очень просто, а зависимость Н = Е(1) определяется уравнением, хотя тоже трансцендентным., но значительно более простым, нежели уравнение (23). 243 я Е Задача доул тел Связь меякду Е и и зададим равенством Е 1 — ея и 2 ~/ 1-ье 2' (24) ди = дЕ, 1 — есояЕ 1 — е з 1-~-есояи = .
1 — е соя Е Используя эти соотношенил, получаем такое выражение длл интеграла из левой части равенства (23): У ь /' и 1 /' (1 — е соя Е) ЙЕ = (1+ е сояи) (1 — ез)з1з / о о (Š— е я1п Е). ! (1 сз)з/з (25) Введем обозначение н(1 — т) = М; величину М в астрономии называют средней аномалией. Тогда из (23) и (2о) имеем следующее уравнение: (26) Š— еяшЕ = М. Оно называется уравнением Келлера. 123.
Кеплеровские элементы орбиты. Решение задачи двух тел зависит от шести произвольных постоянных, определнемых начальными условиями движения. Их можно вводить по-разному и не обязательно именно так, как это было сделано в предыдущих пунктах в процессе решения задачи двух тел. Рассмотрим произвольные постоянные, которые носят название кеплеровских элементов орбиты и очень широко используются в небесной механике. За кеплеровские элементы принимаются следующие шесть величин, одпозначно определяемых по начальным условиям: Й, г, р, е, оэ, т. Величина Е называется эксцентрической аномалией. %!олп1о показать, что она имеет следующий геометрический смысл.
Через точку Р проведем (рис. 124) перпендикуллр к большой полуоси орбиты до его пересечения в точке Ц с окружностью, построенной на большой оси как на диаметре, Угол, который составляет отрезок, соединяющий центр эллипса и точку Ц, с большой полуосью орбиты и будет эксцентрической аномалией Е. Зависимость Е от и представлена на рис. 125. Из (24) следует, что Глава ГШ г Смысл величин р, е, т ясен из пре- дыдущих пунктов: р — параметр орбир ты, е — ее зксцентриснтет, т время прохождения через перицентр. Величина Й вЂ” это угол, который составляет с осью Ох линия пересеченин плоскости И орбиты с плоскостью Оху (рис.
120): ве- У личина й называется долготой восходящего узла. Элемент 1 представляет собой угол между плоскостью орбиты и плоскостью Оху; величину г называют наРнс. 126 клолелшел орбиты. Параметр ы определяет положение орбиты в ее плоскости, он называется угловым расстоянием лерицеитра от узла и равен углу между направлением из точки О на перицентр и линией пересечении плоскости орбиты с плоскостью Оху.
124. О задаче трех и более тел. Задача и тел (п > 2) состоит в следующем. В пустоте находятся п материальных точек, взаимодействующих по закону всемирного тяготенил Ньютона. Заданы начальные положения и скорости точек. Требуется найти положения всех точек как функции времени. Эта задача не решена до сих пор. Ьолее того, показано, что даже в случае трех тел помимо классических интегралов, существование которых следует из общих теорем об изменении количества движения, кинетического момента и кинетической энергии, дифференциальные уравнения движения пе имен>т других интегралов, которые выражались бы через алгебраические или через однозначные трансцендентные функции координат и скоростей точек. Для небесной механики и космодинамики наиболее валзна так называемая ограниченная задача, трех тел.
Она состоит в изучении движения точки малой массы под действием притяжения двух конечных масс в предположении, что точка малой массы не влияет на движение точек конечных масс. Тем самым в ограниченной задаче трех тел точки конечных масс двизкутся по орбитам, определяемым задачей двух тел, так что движение этих двух точек известно. Таким образом, анализ ограниченной задачи трех тол сводится к исследованию движении только одной точки малой массы.
Конечно, эта задача значительно проще общей (неограниченной) задачи трех тело Но и она не интегрируется (точнее, пе проинтегрирована) в квадратурах. 2чб З 2. Движение твердого тела в гравитационном поле В 2. Движение твердого тела в центральном ньютоновском гравитационном поле 125. Главный вектор сил тяготения. Гравитационный момент. В обычных, «земных» задачах механики, связанных с ее применениями к устройствам, функционирующим вблизи или на поверхности Земли, силы притяжения, приложенные к двум материальным точкам равных масс, считаются равными и по величине, и по направлению.
Зто приводит к известному положении» о совпадении центра масс и центра тяжести и, как следствие, к равенству нулю главного момента сил тяготения (гравитационного момента) относительно центра масс. В действительности силы притяжения различных точек тела Землей, как правило, не будут параллельными, так как оци направлены к ее центру». Ь О Кроме того, разные точки тела находятся, вообще, Ь, на разных расстояниях от центра Земли. По этим Р, причинам силы тнготения не обязательно должны приводиться к равнодействун»щей. проходящей через центр масс тела: возможен еще и гравитационный момент относительно центра масс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
