1611690520-cad13a71384007d4c452b5b97d2163c9 (826920), страница 26
Текст из файла (страница 26)
78). Тогда к зч ,7в = 2 ти(к„+ (Уи д) ) = 2 зпи(к„+ У,.) и=1 Первая сумма в полученном выражении есть 3ь, вторан сумма обращается в нуль, так как она равна Мус, а для выбранной системы координат ув = О, третья сумма равна массе системы М. Справедливость формулы (2) доказана. Из формулы (2) следует соотношение между моментами инерции относительно любых параллельных осей и1 и из. д 1 + М(д2 аз2) где д1 и йз — расстонпия осей и1 и оз от Рис. 79 центра масс. Пгнмкг 1. Подсчитаем момент инерции тонкого однородного стерж я д,зиной и п массой т относительно оси з, перпендикулярной стержнкз и проходюцей через его конец (рис.
79). Так как (см. пример 1 п. 75),7п = глаз/12, то .У, = .Уо + т(а/2) = пш ~Х 8 2. Тензор и эллипсоид инерции 77. Моменты инерции относительно осей, проходящих через одну и ту же точку. Рассмотрим ось и, проходящую через начало системы координат Ожуг. Косинусы углов, образуемых осью и с осями Ом, Оу, Оз, обозначим соответственно об Гз, 7. Тогда (рис. 80) Л1 1Ч д = ~ тирз = ~ ~т ((Мз + уз + 22) — (и Сг + у ЗЗ + 2 7)~) и=1 и=1 Ю ((1 2), 2 Ч (1 ()2)12 + (1 2) 2 и=1 212(11сиуи — 2сзтм 2 — 2127уи и). На основании тождества о~ + Д~ + 7~ = 1 заменяем 1 — оз, 1 — Д~, 1 — 72 соответственно на 122+ 72, аз+72, аз+)22 и приводим подобные 145 "З 2. 7енэор и эллипсоид инерцан члены в выражении, стоящем в квадратных скобках.
Получаем 1 =,1 из+.1„1)з+ д,уз — 2,1»„с»3 — 2,1,»»у — 21„,Я, (1) где введены следующие обозначения: и ,1 = 2 т (уз + зз) и = 2 , 'т (зз + тз) «=1 м 1» — 2 т~(х +у ), (2) »=1 Л эс ,1,„= ~~~ т,ш„у«, У, = ~~~ т, х,,л„, 1о» вЂ” Л~' н»«У» э«(3) «=1 «=1 Величины (2), (3), очевидно, не зависят от выбора оси и. Величины (2) называютсн осевыми моментами инер- Р,(х „,у«,л,.) и ции: 1» — зто момент инерции относительно оси Ох,,1„ — относительно Р,', оси Оу и .1, относительно оси Ож Величины (3) называются центробелсными моментами инерции. Осевой мо- О мент инерции представляет собой меру у инертности системы при ее вращении вокруг соответствующей оси. Центробежные моменты инерции можно тракРис. 80 товать как меру неуравновешенности масс системы: они характеризу- ют несимметричность распределения масс относительно координатных плоскостей.
Для различных точек О осевые и центробежные моменты инер- ции различны. Они изменяются также при повороте системы ко- ординат Олух вокруг рассматриваемой точки О. Можно показать, что при повороте величины (2), (3) изменяются в соответствии с формулами, определяющими симметрический тензор второго ранга. Матрица Л вида (4) определяет тензор второго ранга, который называют тенэором инерции системы для точки О. рлаеа г' 78. Эллипсоид инерции. Главные оси инерции. Формула (1) допускает наглядную геометрическую интерпретацию.
На оси и отложим по обе стороны от точки О отрезки такой длины ОЖ (рис. 80), что ОЛ = Ц/Ю„., и найдем геометрическое место точек Л'(х, у, г). Имеем Подставив эти значения о, /1 и у в равенство (1), получим 3 хз + 3, У +,У,гз — 23лгхУ вЂ” 2У,,хг — 23г,рг = 1. (5) Поверхность второго порядка (5) — эллипсоид. 1(ействительно, отрезок ОХ имеет конечную длину, так как,7 > б > О. Исключение составляет предельный случай, когда все точки В лежат на одной прямой (например, случай бесконечно тонкого стержнн). Тогда момент инерции,7 = О., и эллипсоид инерции превращается в цилиндр. Эллипсоид (5) называется эллиясоидом инерции системы для точки О. Если точка О совпадает с центром масс, то эллипсоид (5) называется центра гьным эллиясоидом инерции.
Прн повороте системы координат Охуг уравнение эллипсоида инерции меннется. Главные оси зллипсонда инерции называются главными осями инерции системы для точки О. В системе координат Ох,у,г,. оси которой направлены по главным осям эллипсонда инерции, уравнение (5) имеет вид Ахз+ Ву, + Сгз = 1. (6) В этой системе координат центробежнью моменты инерции равны нулю:,1,,г, — — 1,„,. =,lе,, = О. Величины А, В, С -- моменты инерции относительно главных осей Ох„, Оу„Ог, соответственно. Онн называются главными моментами инерции системы для точки О. Если точка О совпадает с центром масс, то оси Ох„Оу„Ог, называются глаеными центральными осями инерции, а величины А, В, С вЂ” главными центральными моментами инерции. Из аналитической геометрии известно, что для любого эллипсоида существуют главные оси. Величины А, В, С янляются собственными значениями матрицы (4). Если они различны, то главные оси определяются однозначно.
Если эллипсоид инерции для точки О является эллнпсоидом вращения вокруг оси Ог„, то за его главные осн можно принять ось Ог, и любые две ортогональные оси, лежащие в экваториальной плоскости эллипсоида. Если А = В = С, то все оси, проходящие через точку О, являются для нее главными. 147 В Е. Теизор и эллипсоид инерции Если эллипсоид инерции для точки О построен, то момент инерции относительно какой-либо оси и равен 110зч' з з.де Озч' отрезок, ,г соединяющий точку 0 с точкой пересеченин осн и с зллипсондом. 11виболыпую величину имеет момент инерции относительно наименьшей оси зллипсоидв, а наименыпую — относительно наибольшей его осн. ЗАМЕЧАНИЕ 2. Пусть при каком-либо выборе системы координат Охуг не все три центробежных момента инерции равны ну»ив, а только два из них, например Д, = Хя, — — Оз а 7»я ф О.
Покажем, что ось Ог будет главной. чтобы убедиться в этпом, надо показать, что систему координат Охуг можно повернуть на такой угол а вокруг оси Ог, что е повернутой системе координат Ох'у'г уже все центробежньзе моменты инерции будут равны нулю. Действительно, пусть система координагп Ох'у'г получается из Охуг поворотом вонруг оси Ог на угол а против часовой стрелки, если смотреть Со стороньз положительного направления оси Ог.
Тогда координаты гпочки Р в исходной и повернугпой системах координат связаны соотношениями х' = х„сова+ у вша, у' = — х,вша+ у сова, г' = г . (7) Используя равенство (7) и условие д, =,Уэ, = О, получаем д»'»' = 2 тз Х„г„= 2 тГЗ«(Х«СОВО+ У«В1па)гы = »=1 «=1 = (2' пз, х г ~ сова+ (~ т У г Япа =,7,сова+ Уэ, Япа = О.
З з =1 / »о=1 Аналогично получаем, что дэ, —— О, т. е. центробежные моменты инерции, когпорые были равны нулзо до поворота системы координазп, остаются равными нулю при тобом угле поворотпа, вокруг оси Ог. Вьзчислим теперь третий центробежньзй момент инерции: зч ,У э — ~ 'зп,х у зз т (х сова+ у япа)( — х вша+ у сова) = — — т (х — у )) взп2а+ 1 2,' т„х у„сов 2а.
«=1 «=1 Замечая, чзпо «=1 рлава !г и приравнивая,/ л нуггю, получаелг уравнение для нахождения угла и: 1 2 — -(д„— де) вш2о+ д,асоз2о = 0 Если,У. = Дв, то и = к/4, если лсе Л ф,Тю то 2д „ ' 'зк Таким образом, ось Ог, отвечающая общему индексу (в расслготрен- нолг случае индексу г) равных нулю центробежных лголгвнтов инерции, являегпся главной осью инерции для точки О. УНРАЖНЕНИЕ 2. Показать, что если между радиусом основания Л однородного прямого кругового конуса и его высотой и вьтолняется со- отношение Л = 26, то эллипсоид инерции конуса для его вершины есть сфера.
Тй. Свойства главных моментов инерции. Не всякий эллипсоид может служить эллипсондом инерции. Действительно, если за оси Ох„, Оу„Ог, приняты главные оси инерции для точки О, то уравнение эллипсонда инерции имеет вид (6), где зч А = 2 т (уз„ + гз„), и В= ч т (х~+х, ), Ж С вЂ” ! т (х, + у„). о=! Главные моменты инерции (как, впрочем, и осевые моменты ивер- пии (2)) удовлетворяют неравенствам треугольника А + В ) С, А + С > В, В + С ) А. (8) упражнение 3.
Показать, что! а) главная ось инерции остается главной для всех своих точек тогда н только тогда, когда она является г.тонной центральной осью инерции; б) если в системе есть ось материальной снмметрнн, то зта ось является главной центральной осью инерции; в) если у системы есть плоскость материал~ной симметрии, то любая прямая, перпендикулярная этой плоскости, является главной осью инерции системы длл точки, в которой эта прямап пересекает плоскость симметрии; г) для однородного тела вращения ось вращения н любые две взаимно перпендикулярные и перпендикулярные ей осн образуют систему главных осей инерции.
149 ЗО. Теизор и эллипсоид инерции Проверим первое из этих неравенств. Имеем Ж А+ В = ~" тп (и, '+ у~и -~- 2зг ) = Я т„(ке„+ уг ) + 2 ~, гя зг, = С+ 2 ~ пз„зг ) С, причем знак равенства возможен только длн случаи, когда все точки системы лежат в плоскости Ол,у„, т. е.
когда з, = О для всех о. Второе и третье неравенства из (8) проверяются аналогично. Для графического представлении области допустимых значений моментов инерции введем обозначения Ол = А/В, Ос = С/71. Неравенства (8) запишутся в виде Од+1> Ос, Од+Ос ) 1, 1+Ос ) Ол. (9) Область допустимых значений параметров показана на рис. 81 штриховкой. Она О, представляет собой бесконечную полосу, лежащую между параллельными пря- 6. мыми Од+1 = Ос и 1+Ос = Ол и расположенную правее и выше примой Од+ Ос = 1. Участки границы об- 1 .з-" лости допустимых значений параметров Од+1 =Ос, О4+Ос = 1 и 1+Ос=Од отвечают системам материальных то- О О, чек, лежащим соответственно в плоскостнх Ол,у„, Охыз. и Оу,з,.
Точка (1., О) на Рис. 81 рис. 81, точка (О, 1) и бесконечно удаленные точки прямых О 4 + 1 = Ос, 1+ Ос = Ол отвечают системам материальных точек, лежащим соответственно на осях Ог„, Ол, и Оу,. Упрлжикиик 4. Показвтзп что симметРическУю мвтРицУ, обРазооанную элементвмн,7; (1, 1 = 1, 2, 3; 117 =,Уч), молсно рассматривать как матрицу тензора инерции реального твердого тела тогда и только тогда, когда одновременно выоолннютск неравенства' я1 > О, л11гг †.Уг > О, шзлглз — ш1,7ггз — лг.71з — лздгг — 2,71гдзз,Угз > О., где 1гг + Узз — Уы, 1ы + Узз — 1гг Уы + Угг — Узз :С1 З:1 = 2 лз = 2 Смл Пеньков В. И., Сарычев В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
