1611690516-d99b7463a257f659341e7d5db73ba461 (826918), страница 89
Текст из файла (страница 89)
Если скорость v центра масс тела в началеудара направлена по нормали п к плите, то удар будет прямым»в противном случае — косым.1. С л у ч а й п р я м о г о у д а р а . Составляя в этом случаеуравнение (154) в проекции на нормаль п (см. рис. 375) и учитывая,что Q0= M v , a Q x=M u, получимМ (ип vn) —Sn.Но при прямом ударе ы„=ы, vn = —и, S „ = S . Следовательно,Af (u -fu )= S .Второе уравнение, необходимое для решения задачи, дает равенство (156)u = kv.Из полученйлх уравнений, зная М , v, k, найдем неизвестныевеличины и и S. При этомS = M (l+ A )y .Как видим, ударный импульс будет тем больше, чем большекоэффициент восстановления k.
На эту зависимость S от Л и былоуказано в § 153.400Чтобы определить среднюю величину ударной силы (реакции),надо дополнительно знать время удара т, которое можно найти экспериментально.Пример. При падении стального шара массой т = 1 кг с высоты Н— 3 м яастальную плиту (4=0,56) получим u = Y 2 g H ~ 7 ,7 м/с и ц = Л »= 4,3 м/с. Ударныйимпульс S = m o (l+ A ) * 3 12 Н -с.Если время удара т=0,0005 с, то средняя величина ударной реакции ЛГЗ(== S / t= 2 4 ООО Н._2. С л у ч а й к о с о г о у д а р а . Пусть в этом случае скорость к центрамасс тела а начале удара образует с нормалью к плите угол а , а скорость и в концеудара — угол Р (рис. 377).
Тогда уравнение (154) в проекциях на касательную т и нормаль п дастМ (“ * ~ t4 ) = 0 ,M (u n — on) = S.Коэффициент восстановления в данном случаеравен отношению модулей |и„| и |и„|, так как ударпроисходит только по направлению нормали к поверхности (влиянием трения пренебрегаем). Тогда с учетомзнаков проекций получим u „ = —kv„. В результате окончательно находим:=Un = — kv„,S=MK|(1+A).Из полученных уравнений можно найти модуль и направление скорости в конце удара и ударный импульс, если величины М , о, а и it известны. В частности, изпервого равенства, замечая, что vz = |и„| tg а и ых = |u„l tg р, получаемоткуда* = 1“ л I/I yn l = < g a / t g р.Следовательно, при косом ударе отношение тангенса угла падения к тангенсуугла отражения равно коэффициенту восстановления. Так как А < 1, то а < р , т.
е.угол падения всегда меньше угла отражения.| 155. ПРЯМОЙ ЦЕНТРАЛЬНЫЙ УДАР ДВУХ ТЕЛ (УДАР ШАРОВ)При соударении двух тел удар называется прямым и центральным, когда общая нормаль к поверхностям тел в точке касания проходит через их центры масс и когда скорости центров масс в начале удара направлены по этой общей нормали. Таким, в частности,будет удар двух однородных шаров, центры которых до удара движутся вдоль одной и той же прямой.Пусть массы соударяющихся тел равны М г и М г, скорости ихцентров масс в начале удара vx и tiSl а в конце удара иг и и г. Проведем через центры масс Сь С 2 координатную ось Сгх, направленнуювсегда от Сх к С , (рис.
378). Тогда, чтобы произошел удар, должнобыть vt^ > v tx (иначе первре тело не догонит второе); кроме того,Uix^JUtx, так как ударившее тело не может опередить ударяемое.Считая М и M t, vlx, vtx и Л известными, найдем и1х и u tx. Дляэтого применим теорему об изменении количества движения ксоударяющимся телам, рассматривая их как одну систему. Тогдаударные силы, действующие между телами, будут внутренними и2 6 - ’ 870401'LS‘k—0. В результате уравнение (154') дает Qtx=Q tx илиM lU ii+ M ^ t,x=MiVix+ M ^ )tx.(157)Второе уравнение найдем из выражения для коэффициентавосстановления. При соударении двух тел интенсивность удара(ударный имлульс) зависит не от абсолютного значения скоростикаждого из тел, а от того, насколькоскорость ударяющего тела превышаетскорость ударяемого, т.
е. от разности« 1*—»«*• Поэтому при ударе двух тел,если учесть, что всегда vlx> v ix, иUix^ u tx, получим!£_IКи1х*—Ц »х—Vtx___v l x ~ vtxI(158)ИЛИ« 1*—k(vlx—vix).(158')Рис. 378Система уравнений (157), (158) и позволяет решить поставленную задачу.Ударный импульс, действующий на соударяющиеся тела, наДдем,составив уравнение (154') для какого-нибудь одного из тел, например для первого. Тогда•Six = A fl ( « 1, —i*ix). S tx—— S jj.(159)Рассмотрим два предельных случая.1 .
- А б с о л ю т н о н е у п р у г и й у д а р (&=0). В этом случае из уравнений (158) и (157) находимulx = U,г =ММд Ч~MtVtx(160)Оба тела после удара движутся с одной и той же скоростью.Действующий на тела ударный импульс при этом равенМ,М, ,.S»xSl x ~ Af, + —Al, ( » ! x — V tx )2.А б с о л ю т н о у п р у г и й у д а р (6 = 1 ). В этом случаеиз уравнений (157) и (158) получаем2м .Л^ + М, ( » ! * — V t x ) ,( 161)2MiI jc Mi + Mt (»l*— ».*)■Действующий на тела ударный импульс при этом равен2МгМ'!*■ SfH-A*.г ( « ix— Vtx)Как видим, при абсолютно упругом ударе ударный импульсвдвое больше, чем при абсолютно неупругом.402В частном случае, когда М , —М 3, получаем из уравнений (161)ulx=Vix, utx = v lx; таким образом, два тела одинаковой массы приабсолютно упругом ударе обмениваются скоростями.Задача 186.
Два шара массой Afj и Л1, подвешены так, как показано нарис. 379. Первый шар отклоняют на угол а и отпускают без начальной скорости.После удара второй шар отклоняется на угол f$.Найти коэффициент восстановления для шаров приударе.Р е ш е н и е . По данным задачи можно определить скоростьцентра первого шара в началеудара и скорость и, центра второго шара в концеудара. Из теоремы об изменении кинетической энергии на перемещении В0В1 находим для первогошараМгv*= 2Pjh= 2M^gl (1—cos' a),где I — расстояние центра шара от точки подвеса.Отсюда=sin (a/2). Аналогично находим,что Uj = 2 У gl sin (P/2).Так как в нашем случае иа= 0 , уравнения (157) и (158) дают:MiUlx + M1ttix = M 1vlx ,utx — ulx = kvlx.Исключая из этих уравнений и1х и замечая, что vlx= v lt а и2Л= и а, получимМЛ (1+А )=(Л 1 1+ Л «а)и1.Отсюда окончательно находим:„(М , + А<г)ц ,MiVi,(Aft + A<,)sfn(B/ 2 )M i sin ( a / 2),§ 156.
ПОТЕРЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИПРИ НЕУПРУГОМ УДАРЕ ДВУХ ТЕЛ. ТЕОРЕМА КАРНОИз рассуждений, приведенных в § 153, следует, что при неупругом ударе происходит потеря кинетической энергии соударяющихся тел. Наибольшей эта потеря будет при абсолютно неупругомударе. Подсчитаем, какую кинетическую энергию теряет системапри абсолютно неупругом ударе двух тел.Считая, что соударяющиеся тела движутся поступательно, иобозначая их общую скорость после абсолютно неупругого ударачерез а, получим для кинетической энергии системы в начале и вконце удара значения:2Tt>= M lv\x + M iv\x,2T l = (M l + M i)u'x.(162)Потерянная при ударе кинетическая энергия равна Т 0—Представим эту разность в видеТо— Т1= Т о— 2Т1+ Т 1.(163)Так как из формулы (160) следует, что(M i+ M 2)ых= М 1и1х+ М 2vtxiто отсюда2Тх= (Af1+ A f 1)a|= (M ivlx+ M tvtx)ux.(164)Подставляя в правую часть равенства (163) ш есто Т, и T t ихзначения из формул (162), а вместо 27\— правую часть выражения(164), получим:Г , — T l — - j ( M tvlx + M tv*u+ M tu* + M ^илиТ .
- Г , - ± M t (vu - u x)* + ± Af, (Ok*—-«*)••(165)Разности (vtx— их) и (vtx—Ux) показывают, насколько уменьшилась при ударе скорость каждого из соударяющихся тел. Их можноназвать потерянными при ударе скоростями. Тогда из формулы (165)вытекает следующая теорема Карно *: кинетическая энергия, потерянная системой тел при абсолютно неупругом ударе, равна тойкинетической энергий, которую имела бы система, если бы ее теладвигались с потерянными скоростями.Если удар не является абсолютно неупругим (ЬфО), то аналогичными преобразованиями можно найти, что кинетическая энергия,потерянная при ударе двух тел, определяется равенством(165')Рассмотрим частный случай абсолютно неупругого удара по первоначальна неподвижному телу.
В этом случае о , = 0 иТогда■ли(166)Формула.(166) показывает, какая энергия остается у. системы после удара.Отметим два интересных предельных случая.Рис. 3801. М а с с а у д а р я ю щ е г о т е л а м н о г о б о л ь ш е м а с с ы у д а ряемогоВ этом случае можно считатьAft , и формула*Лазйр Карно (1753— 1823) — выдающийся французский ученый (математик и механик) и видный деятель эпохи французской революции.404(166) дает.7 *1» Г,. Следовательно, хотя удар и является абсолютно непругим, потеря кинетической энергии при ударе почтя не происходит, и система после удараначнет двигаться почти с той же кинетической энергией, которая у нес была в начале удара.На практике такой результат нужно, очевидно, получать при забивании гвоздей, свай и т.
п. Следовательно, в этом случае нужно, чтобы масса молотка быланамного больше массы гвоздя (рис. 360, о).2.М а с с а у д а р я е м о г о т е л а м н о г о б о л ь ш е м а с с ы у д ар я ю щ е г о (Л1,>А11). В этом случае можно считать M J (М г+и формула (166) дает Т ,аО . Таким образом, здесь при ударе почти вся кинетическаяэнергия расходуется на деформацию соударяющихся тел; по окончании удара тел4можно считать неподвижными.Практически такой результат нужно, очевидно, получать при ковке, клепкеи т. п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
