1611690516-d99b7463a257f659341e7d5db73ba461 (826918), страница 84
Текст из файла (страница 84)
§ 142); 2) изобразить систему в произвольном положении и показать на рисунке все действующие силы (для систем с идеальными связями только активные)-,3793) вычислить обобщенные силы Q,- путем, указанным в § 143; при этомво избежание ошибок в знаках каждое сообщаемое системе возможное перемещение должно быть направлено так, чтобы приращениесоответствующей координаты, было положительным', 4) определитькинетическую энергию Т системы в ее абсолютном движении и выразить эту энергию через обобщенные координаты qt и обобщенныескорости qt\ 5) подсчитать соответствующие частные производныеот Т по qt и qt и подставить все значения в уравнения (127).Указанным путем уравнения Лагранжа составляются независимо от того, рассматривается ли абсолютное (по-отношению к инерциальной системе отсчета) или относительное движение механической системы. Но в последнем случае возможен и другой путь, аименно кинетическую энергию системы определять в ее относительном движении, но зато при нахождении обобщенных сил присоединить к силам, действующим на систему, переносные силы инерции(чего при использовании первого пути делать не надо).Из полученных уравнений, если заданы действующие силы иначальные условия, можно, интегрируя эти уравнения, найти закондвижения системы в виде (107).
Если же задан закон движения,то составленные уравнения позволяют определить действующиесилы.Когда все приложенные к системе силы являются потенциальными, уравнения Лагранжа можно составлять в вйде (129). Приэтом вместо вычисления обобщенных сил надо определить потенциальную энергию системы, выразив ее через обобщенные координаты,и затем, определив еще и кинетическую энергию, составить функциюЛагранжа (128).Начнем с задачи, позволяющей легко уяснить Порядок составления уравнений Лагранжа.Задача 175.
Составить, пользуясь методом Лагранжа, дифференциальное уравнение колебаний физического маятника (см. § 129).Р е ш е н и е . Маятник имеет одну степень свободы и его Положение определяется углом <р (см. рис. 324). Следовательно, ? 1=(р. Сообщая углу <р положительноеприращение 6<р, найдем, что на этом перемещении работу совершает только силатяжести Р и 6i4t= (— Ра sin ф)6 ф, где а—ОС.
Поэтому Qt= —Pa sin <р. Кинетическая энергия маятника T = J o u ? l2 или T = J оЦ?!2 (напоминаем, что величина Тдолжна быть выражена через обобщенную скорость, a w=q>). Уравнение Лагранжа, так какимеет видВ данном случае, поскольку Т от угла ф не зависит,Подставляя найденные величины в уравнение (а), получим/ 0ф = — Ра sin ф,т. е. тот же результат, что и в § 129.360Поскольку сила тяжести Р потенциальная, то уравнение Лагранжа можно составить в виде (129).
Направляя ось Ог вертикально вниз, имеем в данном случаеН=‘ —Р г = — Ра cos <р. Тогда по формуле (128):t = / 0 9 */ 2 - f Рвсоафи— =aJQф,дф— = _ Ра sin ф,дфВ результате уравнение (129) также дает J o jf+ P a sin ф = 0 .Задача 176. Решить с помощью уравнений Лагранжа задачу 143 (см. $ 124).Р е ш е н и е . Механизм имеет одну степень свободы (см. рис.
314) и его положение определяется координатой ф (<7х=ф ). Сообщая углу ф приращение бф,найдем, что на этом перемещении элементарная работа ОАх будет иметь выражение, совпадающее с выражением АА1 в задаче 143, если только заменить в нем <1фна6 ф. Следовательно,Qx= —сф (/—г)Чг*.Величина Т для механизма также была найдена (формула (б) в задаче 143).Учйтывая, что ш*р=<р, получимТ = (9 P + 2 Q )/V /1 2 ?,откуда^ = °.- g = (9P + 2Q)/»q)/6«.Подстановка в уравнение Лагранжа дает окончательно(9 P + 2 Q )..(I— г)*------— — £/*ф = — с ■■' фили- ,яф+Л*ф = 0 ,т.
е. тот же результат, что и в задаче 143.Обращаем внимание на то, что-для системы с одной степенью свободы составление дифференциального уравнения движения методом Лагранжа сводится по су*ществу к тем же расчетам, что и при использовании теоремы об изменении кинетической энергии.Задача 177. Найти закон движения шарика В массой m вдоль трубки ОА, вращающейся равномерно в горизонтальной плоскости с угловой скоростью ш(рис. 368). В начальный момент шарик находится от оси О на расстояниии егоскорость вдоль трубки равна нулю. Найти также, какой при этом действует натрубку вращающий момент Mt f .Р е ш е н и е . Система имеет две степени свободы.
В качестве обобщенныхкоординат вфберем координату х, определяющую относительное движение шарика,и угол поворота ф трубки. Тогда уравнения Лагранжа будут иметь вид:d / дГ\дТпd /дТ \дТп,.Найдем сначала Qi и Q,. На перемещении, при котором координата х получает приращение 6х, действующие силы работу не совершают (трубка вращается вгоризонтальной плоскости); следовательно, 6Л,==0. На перемещении, при которомугол ф получает приращение бф, 6At= M BSfi<p. Таким образом:Qi—0, Qt= M , p.(б)Кинетическая энергия системы слагается из энергии Тг шарика и энергии Tt трубки. Энергию 7\ определяем для абсолютного движения шарика.
T o w 7'1= /т»Ь /2 ,где vb — абсолютная скорость шарика, причем векторно о д = в ох+ Unep. В данномслучае численно ti0I = x , vatv= O B ‘ <o=хф и так как и0 т _ Й »р . тоТ 1 = т(х*+х*< р*))2.У чтя еще, что Tt = J 0 u?/2—J о<р/2, где J 0 — момент инерции трубки, получимокончательноT^=m(3^-{-xt^ t)/2-\-J0 ф*/2..381ОтсюдавТ\—г = m i,дхдТ—дхетдяр*;дТ,• , , *дТ- 5 - . =0.Подставляя эти величины и значения Qi, Qt из равенств (б) в уравнения (а)и учтя одновременно, что по условиям задачи ф = со= const, получим:x+ < D *x = 0 ,2та>хх— Мър.(в)Интегрируя первое из уравнений (в) и определяя постоянные интегрирования поначальным условиям задачи (при / = 0 х = х 0, х = 0 ), найдем окончательно следующий закон движения шарика вдоль„трубки:х = х 0 (e®*-f-e—®**)/2илиx = x 0 ch шЛ(г)Второе из равенств (в) определяет искомый момент (нетрудно видеть, что онравен моменту кориолисовой бнлы инерции).
Если с помощью уравнения (г) выразить х через х, то найдем следующую зависимость М вр от координаты х щарика:М,Вр)=2та>*хУ~0?*х?.(ЯЗаметим, что для шарика здесь решалась основная задача динамики (определение закона движения по заданным силам), причем изучалось его относительноедвижение, но так как значение Т находилось для абсолютного движения системы,то вводить силы инерции не понадобилось; для трубки же, наоборот, по заданномудвижению определялся момент действующей силы (или пары сил).ш / ш Зшшя шя шМштт . т .Рис.
369Задача 178. Масса тележки 1 равна mt, а масса находящегося на ней сплошного цилиндрического катка 2 равна гщ. Определить, с каким ускорением будетдвигаться тележка вдоль горизонтальной плоскости под действием приложеннойх ней силы F (рис. 369), если каток при этом катится по тележке без скольжения.Массой колес тележки пренебречь.Р е ш е н и ё.
Система имеет две степени свободы (независимы перемещениекатка относительно тележки и перемещение самой тележки). В качестве обобщенных координат выберем координату х тележки и координату s центра масс С каткаотносительно тележки. Тогда уравнения Лагранжа для системы будут;d /дТ\дТd ,( d i )d*п& /дТ\дТd < (d s )ds ■ Qt'п..^Кинетическая энергия тележки Tx= m 1x*/2, а катка 7’, = т аос/2+Ус®2/2, гдеi’с — абсолютная скорость^ центра С катка и численно V q = x—s. Так как для сплошного цилиндра J c —m2rs/2, а при качении без скольжения io=s/r, где s — относительная скорость центра С'по отношению к тележке (считать здесь w=Vq!t было быошибкой), то окончательно получимТ = T t + T i= m jJ c 4 2 + m t (х—i)2/2 + m as'2/4.382(б)Тогдадт/• •,дт.. ,;_ = m , ( s - x ) + m, * ,—T -= m 1jt4 -m , ( x - s ) ,дхds2* L = E -= 0.dx(в)dsДля определения обобщенных сил дадим сначала системе возможное перемещение, при котором координата х получает приращение б х > 0 .
На этом перемещении 6A i= F 6x. На перемещении же, при котором s получает приращение 6 s, оче-'видно, 6i4t= 0 . Следовательно,<?i=f, Qi=0.Подставляя эти значения Qt , Q2 и значения производных, определяемые формулами (в), в равенства (а), найдем следующие дифференциальные уравнения движения системы:(m^ + m,) х — m,s = F,3s— 2х = 0.(г)Из последнего уравнения s=2x/3, и тогда первое уравнение дает окончательнодля ускорения ах тележки значениеfli = х — 3F/(3mi - f m,).Нели каток был бы на тележке закреплен неподвижно, то ее ускорение, очевидно, равнялось бы F I(m1+ 'n t).Отметим еще один результат. Допустим, что трения катка о тележку нет.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
