1611690516-d99b7463a257f659341e7d5db73ba461 (826918), страница 88

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 88)

В частныхслучаях, при соответствующих начальных условиях, система может совершать одноиз главных колебаний (например, первое, если Л , = 0 ) и колебание будет гармони­ческим.Собственные частотыkt и коэффициенты формы я*, я , яе зависят от началь­ных условий и Являются основными характеристиками малых колебаний системы;решение конкретных вадач обычно сводятся к определению этих характеристик.Сопоставляя результаты «того я предыдущего параграфов, можно получитьпредставление о том, к чему сведется исследование затухающих и вынужденныхколебаний системы с двумя степенями свободы.

Мы этого рассматривать не будем.Отметим лишь, что при вынужденных колебаниях резонанс у такой системы можетвозникать лмжды: при pzskx и яри(р — частота возмущающей силы). На­конец, отметим, что колебания системы с 5 степенями свободы будут °)слагаться из * колебаний с частота­ми >1, А,,которые должныопределяться из уравнения степениж относительно 1г. Это связано созначительнымиматематическимитрудностями, преодолеть которыеможно с помощью электронных вы­числительных (или аналоговых) маЗадача 185. Определить собст­венные частоты и коэффициентыформы «алых колебаний двойногофизического маятника, образован­но-* стержнями 1 в 2 одинаковоймассы т и длины I (рис. 374, а).Р е ш е н и е .

Выберем в каче­стве обобщенных координат малыеуглы <?>] и <р2. Тогда T = Q ,5 (J w <p\+mv2c ->rJ2c<P2)> где Jr10= m /2/3, Ji c = m ^ !\ 2 и,при требуемой точности подсчетов, vc = v A + vCA = l<f>i + 1ф2/2. В итогеДалее П = —0,5m glcos <pl - mgl (cos <pl + 0,5 cos <р2) или, полагая cos<p = 1 —<р2/2,II = n 0 + 0,5mg/(3<^/2+<p!/2).щ395Из равенств (а) и (б) видно, каковы здесь значения о д .о * ,, On, с ц н рм (сц = 0 ).При этих значениях коэффициентов уравнение частот (149) примет вид*■-'6f *, + т ( т )*-«•Его корнями будут: **, * = 3 (1 ± 2 / ) ^ 7)gll, откуда*х = 0,86 Y g f lА, = 2,30 Y g i l .(в)Подставляя теперь в любое из отношений, стоящих в левой частя равенства (148),сначала ки а затемполучимпг= 1,43, / ц = —2,10.(г)Таким образом, при первом главном колебании оба стержня будут в каждыймомент времени'отхлонены от вертикали в одну и ту же сторону (рис.

374, а) и1,43, а при втором главном колебании — в разные стороны (рис, 374, б)" W>»/4>il=2.10.Глава XXXIЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРА§1 5 1 . ОСНОВНОЕ .УРАВНЕНИЕ ТЕОРИИ УДАРАПри движении тела под действием обычных сил, рассматривав­шихся до сих пор, скорости точек тела изменяются непрерывно, т. е.каждому бесконечно малому промежутку времени соответствуетбесконечно малое приращение скорости. Действительно, если им­пульс любой силы F k за промежуток времени т представить в видеFjpr, где FJP — среднее значение этой силы за время т, то теорема обизменении количества движения точки, на которую действуютсилы F h, даетm(Wi— «,) = 2 ^ рт.Отсюда видно, что когда время т бесконечно мало (стремится кнулю), то при обычных силах и приращение скорости Av=vx—будет тоже величиной бесконечно малой (стремящейся к нулю).Однако если в числе действующих сил будут очень большиесилы (порядка 1/т), то приращение скорости за малый промежутоквремени т окажется величиной конечной.Явление, при котором скорости точек тела за очень малый(близкий к нулю) промежуток времени т изменяются на конечнуювеличину, называется ударом.

Силы, при действии которых проис­ходит удар, будем называть ударными силами Fys. Промежутоквремени г, в течение которого происходит удар, назовем временемудара.Так как ударные силы очень велики и за время удара изменяютсяв значительных пределах, то в теории удара в качестве меры вза­имодействия тел рассматривают не сами ударные силы, а их ймпуль396сы< Ударный импульсX~ § ^удо=является величиной конечной.

Импульсы неударных сил за времях будут величинами очень малыми и ими практически можнопренебречь.Будем в дальнейшем обозначать скорость точки в канале удара о,а скорость в конце удара и. Тогда теорема об изменении количествадвижения точки при ударе примет вид *т (и — v) — ZSk,(153)т. е. изменение количества движения материальной точки за времяудара равно сумме действующих на. точку ударных импульсов. Урав­нение (153) является основным уравнением теории удара и играет втеории удара такую же роль, как основной закон динамики ma—Fпри изучении движений под действием неударных сил.В заключение отметим, что перемещение точки за время ударабудет равно цсрт, т. е. величине очень малой, которой практическиможно пренебречь.Итак, из всех полученных результатов вытекает следующее:1) действием неударных сил (таких, например, как сила тяже­сти) за время удара можно пренебречь;2).

перемещениями точек тела за время удара можно пренебречьн считать тело во время удара неподвижным;3) изменения скоростей точек тела за время удара определяютсяосновным уравнением теории удара (153).f 162. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ УДАРАРассмотрим, какой вид принимают общие теоремы динамики длясистемы материальных точек при ударе.I.Т е о р е м а об и з м е н е н и и к о л и ч е с т в а дви­ж е н и я с и с т е м ы п р и у д а р е . Уравнение (21), полученноев § l i t , сохраняет свой вид и для случая удара.

Но так как импуль­сами обычных сил при ударе пренебрегают, то*в правой части оста­нутся только ударные импульсы. Следовательно, при удареQ i-Q . = 2 § .(154)т. е. изменение количества движения системы за время удара равносумме всех внешних ударных импульсов, действующих на систему.В проекциях на любую координатную ось х уравнение (154)дает=(154')*В дальнейшем будем ударный импульс обозначать просто символомп к как импульсы неударных сил в теории удара не рассматриваются.397"5,Если геометрическая сумма всех внешних ударных импульсовравна нулю, то, как видно из уравнения (154), количество дви­жения системы за время удара не изменяется. Следовательно, внут­ренние ударные импульсы не могут изменить количества движениявсей системы.2.Т е о р е м а об и з ме не ни и г л а в н о г о момен­таколичеств движения системы (теоремам о м е н т о в ) п р и у д а р е .

Теорема моментов принимает дляслучая удара вид, несколько отличный от полученного в § 116;объясняется это тем, что точки системы за время удара не переме­щаются. Рассмотрим систему, состоящую из п материальных точек.Обозначим равнодействующую внешних ударных импульсов, дей­ствующих на точку с массой тк, через S%, а равнодействующуюдействующих на ту же точку внутренних ударных импульсов — че­рез SJ. Тогда по уравнению (153) будет mk{uh—vh) —S‘k+ S { илиm kuk ~ m kvk +S‘k + S i -Входящие в это равенство векторы приложены к точке, которая,как.

было указано, за время удара остается неподвижной. Тогда,беря моменты этих векторов относительно какого-нибудь центра О,по теореме Вариньона, справедливой для любых векторных вели­чин, найдем, что« о (/"*«*) = т0 (m„vk) + т0 (S{) + т0 (Si).Составляя такие равенства для всех точек системы и складываякх почленно, получим2ш 0 (m*ufc) — 2m 0 (m*r*) = Zm0 (SJ) + 2m0 (Sj).Суммы, стоящие слева, представляют собой главные моментыколичеств движения системы относительно центра О в конце и вначале удара, которые обозначим К\ и К ,. Стоящая справа суммамоментов внутренних ударных импульсов по свойству внутреннихсил равна нулю. Окончательно находим= 2/л0 (SJ),(155)т. е.

изменение за время удара главного момента количеств движениясистемы относительно какого-нибудь центра равно сумме моментовотносительно того же центра всех действующих на систему внеш­них ударных импульсов.В проекциях на. любую ось х равенство (155) даетK lx— K 0x = 7^mx (Sk).(155')Из полученных уравнений следует, что если сумма моментоввнешних ударных импульсов относительно какого-нибудь центра(или оси) равна нулю, то главный момент количеств движениясистемы относительно этого центра (или оси) за время удара неЭ98изменяется. Следовательно, внутренние ударные импульсы не могутизменить главный момент количеств движения системы.Вопрос о том, как изменяется за время удара кинетическаяэнергия соударяющихся тел, будет рассмотрен в § 156.$ 153.

КОЭФФИЦИЕНТ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ПРИ УДАРЕЗначение ударного импульса, появляющегося при соударениидвух тел, зависит не только от их масс и скоростей до удара, в о иот упругих свойств соударяющихся тел; эти свойства при ударе ха­рактеризуют величиной, называемой коэффициентом восстановления.-ОII*IIJLРис.

376Рассмотрим шар, падающий вертикально на неподвижную гори­зонтальную жесткую плиту (рис. 375). Для прямого удара, которыйпри этом произойдет, можно различать две стадии. В течение первойстадии скорости частиц шара, равные в момент начала удара v(движение шара считаем поступательным), убывают до нуля. Illapпри этом деформируется и вся его начальная кинетическая энергияmv*/2 переходит во внутреннюю потенциальную энергию деформи­рованного тела. Во второй стадии удара шар под действием внутрен­них сил (сил упругости) начинает восстанавливать свою форму; приэтом его внутренняя потенциальная энергия переходит в кинетиче­скую энергию движения частиц шара.

В конце удара скоростичастиц будут равны и, а кинетическая энергия шара ти*12. Однакополностью механическая энергия шара при этом не восстанавлива­ется, так как часть ее уходит на сообщение шару остаточных дефор­маций и его нагревание. Поэтому скорость и будет меньше v.Величина k, равнаА при прямом ударе тела о неподвижную пре­граду отношению модуля скорости тела в конце удара к модулюскорости в начале удара, называется коэффициентом восстановленияпри ударе:k — u/v.(156)Значение коэффициента восстановления для разных тел опреде­ляется опытным путем. По данным опьгга при изменении скорости vне в очень больших пределах величину k можно считать зависящейтолько от материала соударяющихся тел.В качестве предельных случаев рассматривают случай абсолют­но упругого удара (6 = 1 ), при котором кинетическая энергия телапосле удара полностью восстанавливается, и случай абсолютнонеупругОго удара (&=0), когда удар заканчивается в первой стадиии вся кинетическая энергия тела теряется на его деформацию и нагре­вание.Экспериментально величину k можно найти, если рассмотретьшар, свободно падающий на плиту с предварительно измереннойвысоты Н , и определить с помощью стоящей рядом вертикальнойрейки (рис.

376) высоту его подъема А после удара. Тогда по фор­________муле Галилеяv = V 2 g H , и — V 2gh иk = u/v = V h/H.Значение коэффициента восстановления для тел из различныхматериалов дается в соответствующих справочниках. В частности,можно считать при скоростях соударения порядка 3 м/с для ударадерева о дерево Л «0 ,5 , стали о сталь Л «0,56, стекла о стекло kf&« 0 ,9 4 .§ 154. УДАР ТЕЛА О НЕПОДВИЖНУЮ ПРЕГРАДУРассмотрим тело (шар) Массой М , ударяющееся о неподвижнуюплиту. Действующей на тело ударной силой будет при этом реакцияплиты; импульс этой силы за время удара назовем 5 . Пусть нормальк поверхности тела в точке его касания с плитой проходит черезцентр масс тела (для шара это будет всегда). Такой удар тела назы­вается центральным.

Характеристики

Список файлов книги