1611690516-d99b7463a257f659341e7d5db73ba461 (826918), страница 86
Текст из файла (страница 86)
ПОНЯТИЕ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РАВНОВЕСИЯПри определении условий равновесия механической системы возникает весьма важный вопрос о том, будет ли это равновесие практически реализуемым, т. е. устойчивым, или нет. Равновесие системыв данном положении называется устойчивым, если ее можно вывести из этого положения настолько малым возмущением (смещением,толчком), что во все последующее время отклонения системы отравновесного положения будут меньше любого сколь угодно малого заданного отклонения. В противном случае равновесие называютнеустойчивым. Такое определение соответствует понятию об устойчивости равновесия и движения по А. М. Ляпунову.
Исходя изнего, можно, например, сразу установить, что равновесие маятника,изображенного на рис. 324, при <р=0 будет устойчивым, а приФ=180° — неустойчивым.Один общий критерий, устанавливающий достаточное условиеустойчивости равновесия консервативной (см. § 127) системы, даетследующая т е о р е м а Л а г р а н ж а — Д и р и х л е : если потенциальная энергия консервативной системы имеет в положении равновесия строгий минимум, то равновесие системы в этом положенииявляется устойчивым.В качестве доказательства ограничимся следующими рассуждениями.
Дляконсервативной системы имеет место закон сохранения механической энергии,т. е. 74- n = con st, где Т — кинетическая, а П — потенциальная энергия системы.Поэтому, если в положении равновесия П = П т |п, то когда система после малоговозмущения придет в движение и будет удаляться от положения равновесия, значение П должно возрастать и, следовательно, Т будет убывать. Однако при возрастании П не может стать больше некоторой величины 111= П П)1П+ Д П , которая.получится, когда Т обратится в нуль. Учтя это, можно начальные возмущения,а с ними и значение ДП сделать столь малыми, что когда у системы П = П т ш + Д Пее отклонение от равновесного положения будет меньше любого сколь угодномалого заданного.
Отсюда и следует, что равновесное положение является устойчивым.Даваемое теоремой условие устойчивости равновесия являетсялишь достаточным и не позволяет судить о том, что будет, если вположении равновесия потенциальная энергия не имеет минимума.Рассмотрим отдельно случайравновесияконсервативнойсистемы, имеющей одну степень свободы. Пусть положение системы25*387определяется обобщенной координатой q, выбранной так, что приравновесии <7=0. Согласно формулам (118') из § 144 в положении равновесия (ЯШ<7)в= 0 . Кроме того, если П (q) имеет при q = 0 минимум,то (д , П/д<7* ) * > 0 .
Таким образом, при выполнении следующих условий (достаточных, но не необходимых):« ? ).> •(130)равновесие системы в данном положении ( q = 0) будет устойчивым.При решении задач, считая q малым, достаточно определятьП(<7) с точностью до q%, так как члены с q* и выше в условия (130)не войдут (при q= 0 обратятся в нули).Задача 182. Определить, при каких условиях стержень AD (маятник), имеющий ось вращения в точке А , находится в устойчивом равновесии, когда он вертикален, если масса стержня равна т, ао)6)длина I (рис. 372, а). У прикрепленных к стержню в точке В (A B = h) горизонтальных .пружин 1 я 2 коэффициенты жесткости равны сг и е*, а начальныеподжатия — А.1о и Xto соответственно.| jv ^j| v wР е ш е н и е .
Выберем в качествеобобщенной координаты угол ф отклонения стержня от вертикали, считая фмалым (рис. 372, б), и найдем значениеП (ф) с точностью до ®*. Согласно формулам (64) и (64') из § 127 будет:IIj = Р г с = (mgt/2) cos ф, П ,== 0 ,5 [сх <Хи +Л ф )*+с, (ки - Ь ? ППри определении П , учтено, что ввиду малости ф перемещение точки Вможно считать горизонтальным и равным Лф и что при этом сжатие пружины / увеличится, а пружины 2 уменьшитсяна величину Лф.
Далее, используя разложение сое ф в ряд и принимая cos ф == 1— ф*/2 , а также раскрывая скобки в выражении П ,, получимРис. 372П = П ,— (/п£//4)ф*+ (CiX1o—<г»Х*о)Лф+0,5 (сх+с,)л*ф*.Где в П «= П ( 0 ) включены все постоянные величины (без выяснения, чему равноU*). Отсюда находимап"Зф"-------(л1# // 2 ) ф -)- (cxA.ii)— c,Xj0) h -f- (cj -f- ct) Л*ф.Чтобы при ф = 0 стержень был я равновесии, эта производная при ф = 0 должнаравняться нулю. Следовательно, должно бытьсЛ о_ с Ам1(а)что, конечно, можно было предвидеть заранее. Далее получим^ 2 . = _ mgt/2 + f a + ct) h*.Тогда по условиям (130) равновесие будет устойчивым, если(Cx^-Cj) >mgl2h* 'Совокупность условий (а) н (в) и дает решение задачи.Другой пример исследования устойчивости равновесия см. » задаче 184.388(в)1 148.
МАЛЫЕ СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫС ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫДопустим, что консервативная механическая система, состоящаяиз п материальных точек и имеющая одну степень свободы, находится в некотором положении в устойчивом равновесии. Исследуем,какое движение будет совершать эта система, если ее вывести изравновесия малым возмущением. Условимся опять определять положение системы обобщенной координатой q, выбранной так, что приравновесии q—0. Так как равновесие устойчиво, а возмущения малы,то координата q и обобщенная скорость q будут во все время движения тоже оставаться величинами малыми. Для составления дифференциального уравнения движения системы воспользуемся уравнением Лагранжа, которое, если выразить обобщенную силу Q черезпотенциальную энергию системы ,П [(см.
§143, формулы (115)),примет вид(131)Вообще это уравнение будет нелинейным, но его мбжно линеаризировать и тем самым существенно упростить, сохранив в уравнениималые величины q и q только в первой степени (первого порядкамалости; см. задачу 180 в § 146). Для этого значения T(q, q) иП (q) достаточно определить тоже приближенно. При этом, так какв уравнение (131) входят первые производные от П и Т по q и q,то, чтобы сохранить в нем q и q в первой степени, надо Т и П определить с точностью до малых величин второго порядка малости,т. е. с точностью до q* или q*.Найдем сначала приближенное выражение Т (q, q). Для любойточки системы при станцнонарных связяхТогда, вынося общий множитель q* за скобки, получимтак как производные drjdq, как и сами г*, являются функциямитолько q. Разложив F(q) в ряд Тейлора, получимF f o ) = F ( 0 ) + F '( 0 t o + .Так как Т надо определить с точностью до q*.
то в этом разложенииследует сохранить только первое постоянное слагаемое F (0). Тогдадля Т получим выражениеТ — ■jaq*,гдеa = F ( 0).(132)389Поскольку Т величина существенно положительная, то постоянныйкоэффициент а > 0 ; его называют инерционным коэффициентом.Размерность а зависит от размерности q\ в частности, а можетиметь размерность массы или момента инерции.Далее, разлагая П((7) в ряд Тейлора и учитывая, что в положенииравновесия (дП/дд)0= 0 , найдем (с точностью до q*)П (9) = П(0) + -1 cq\где033)При этом по условиям (130) с Х ) .
В частном случае, если q — удлинение пружины, равенство (133) выражает потенциальную энергиюполя сил упругости; поэтому коэффициент с называют квазиупругимкоэффициентом (или обобщенным коэффициентом жесткости).Из равенств (132) и (133) находим:дТ•дТпЩ - «■дПЩ - 'Я -Подставляя эти величины в уравнение (131), получим следующеедифференциальное уравнение малых свободных колебаний системыс одной степенью свободы:q -j- k*q = 0,гдеР — с/а.(134)Это уравнение совпадает с известным уравнением свободныхпрямолинейных колебаний материальной точки (см.
§ 94) и его общеерешение имеет видq = A sin(AH-a),(135)где А н а — постоянные интегрирования, определяемые по начальным условиям. Частота и период этих колебаний согласно(134) определяются равенствами:k — V cja ,т = 2n/k = 2я V а/с.(136)Установим, как при этом движутся точки системы. Разлагая радиус-вектор rh (q) одной из точек системы в ряд Тейлора, получим/Ч(<7)=гь(0)+гДО)<7+. . . Заменяя здесь q его значением (135),найдем, что с точностью до величин первого порядка малостиK ( < 7 ) - M 0 ) | = K (0 )| ,4 s in (ft / + a) ( * = 1, 2.........
п). (137)Таким образом, точки системы тоже совершают малые колебания счастотой k и амплитудами \r'k (0)|Д. Из найденных результатоввытекают следующие с в о й с т в амалыхколебанийсистемы:1) свободные (собственные) колебания системы являются колебаниями гармоническими; частота и период этих колебаний не зависят от начальных условий и определяются равенствами (136);2) так как постоянные А и а зависят от начальных условий, тоамплитуды колебаний точек системы, равные Л|/^(0)|, и начальнаяфаза а тоже зависят от начальных условий;3903) отношения амплитуд колебаний разных точек системы отначальных условий не зависят, так как определяются только значениями г'к (0), т.
е. конфигурацией системы;4) все точки системы в каждый момент времени, как видно изравенств (137), находятся в одной и той же фазе ( k t + a ) и, следовательно, одновременно проходят через положения равновесия иодновременно достигают максимальных отклонений от этого положения.При решении задач наибольший интерес представляет определение частоты k и периода т собственных колебаний системы, чтосущественно, например, для установления условий наличия илиотсутствия резонанса (см.
§ 149). При этом достаточно определить изравенств. (132) и (133) коэффициенты а и с и воспользоватьсяформулами (136).Задача 183. Определить частоту и период малых колебаний механической системы, рассмотренной в задаче 182 (см. § 147)!Р е ш е н и е . В задаче 182 кинетическая энергия системы (стержня AD,см. рис. 372) будет 7'=0,5Уд«ра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
