1611690516-d99b7463a257f659341e7d5db73ba461 (826918), страница 82
Текст из файла (страница 82)
ОБОБЩЕННЫЕ СИЛЫРассмотрим механическую систему, состоящую из п материальных точек, на которые действуют силы F j( F t, . . . , Fn. Пусть система имеет s степеней свободы и ее положение определятся обобщенными координатами (104). Сообщим системе такое ^независимоевозможное перемещение, при котором координата qi получает приращение bqu а остальные координаты не изменяются. Тогда каждыйиз радиусов-векторов rh точек системы поручит элементарное _приращение (6л,)**. Поскольку, согласно равенству (106), г ^ г ^ Я иЯк •••> qs)> а ПРИ рассматриваемом перемещении изменяется толькокоордината qt (остальные сохраняют постоянные значения), то(6rh)i вычисляется как частный дифференциал и, следовательно,Используя это равенство и формулу (42) из § 87, •вычислимсумму элементарных работ всех действующих сил на рассматриваемом перемещении, которую обозначим б /^ .
ПолучимM j = / V (67,)i + F,+ . . . + F n-(67J! =3*Символ (5/>)i означает, что берется то элементарное приращение, котороерадиус-вектор г> получает при изменении только координаты ft на величину 6 %.24 *371Вынося общий множитель 6 ^ за скобки, найдем окончательно/где обозначено6 ^ x= Q 16(71,_/(108)(109)По аналогии с равенством ^ A —F ^ s, определяющим элементарную работу силы F, величину Q,.
называют обобщенной силой,соответствующей координатеСообщая системе другое независимое возможное перемещение,при котором изменяется только координата qt, получим для элементарной работы всех действующих сил на этом перемещениивыражение« М Л *(ПО)гдеQ. = 2 ? V § .(Ш )Величина Q, представляет собой обобщенную силу, соответствующую координате qt, и т. дОчевидно, что если системе сообщить такое возможное перемещение, при котором одновременно изменяются все ее обобщенныекоординаты, то сумма элементарных работ приложенных сил на этомперемещении определится равенством= Qi 6<7i + Q, 6<72+ ••• + Qs &qs.(112)Формула (112) дает выраясение полной элементарной работывсех действующих на систему сил в обобщенных координатах.
Изэтого равенства виднб, что обобщенные силы — это величины, равные коэффициентам при приращениях обобщенных координат ввыразкении полной элементарной работы действующих на системуQUA.Если все наложенные на систему связи являются идеальными, тоработу при возможных перемещениях совершают только активныесилы й величины Qu Q.......... Q, будут представлять собой обобщенные активные силы системы.Размерность обобщенной силы зависит от размерности соответствующей обобщенной координаты.
Так как произведение Q6q,а следовательно, и Qq имеет размерность работы, то[<?] = $ .(ИЗ)т. е. размерность обобщенной силы равна размерности работы,деленной на размерность соответствующей обобщенной координаты.Отсюда видно, что если q — линейная величина, то Q имеет размерность обычной силы (в СИ измеряется в ньютонах), если q —угол (величина безмерная), то Q будет измеряться в Н м и имеетразмерность момента; если q — объем (например, положение поршня372в цилиндре можно определять объемом запоршневого пространства),то Q будет измеряться в Н/м* и имеет размерность давления, л т. д.Как видим, по аналогии с обобщенной скоростью, понятием обобобщенной силе охватываются все величины, встречавшиеся ранеекак меры механического взаимодействия материальных тел (сила,момент силы, давление).В ы ч и с л е н и е о б о б щ е н н ы х с и л будем производитьпоформулам вида (108), (110) *, что сводится к вычислению возможной элементарной работы (см.
§ 140). Сначала следует установить,каково число степеней свободы системы, выбрать обобщенные координаты и изобразить на чертеже все приложенные к системе активные силы и силы трения (если они совершают работу). Затем дляопределениянадо сообщить системе такое возможное перемещение,при котором изменяется только координата qu получая положительное приращение 6qu вычислить на этом перемещении сумму элементарных работ всех действующих сил по формулам (101) и представить полученное выражение в виде (108).
Тогда коэффициентпри 6qi и дает искомую величину Qx. Аналогично вычисляются Q „Q........Пример 1. Подсчитаем обобщенную силу для системы, изображенной на рис.366, где груз А весомперемещается по гладкой наклонной плоскости, а грузВ весом Р %— по шероховатой горизонтальной плоскости, коэффициент трения окоторую равен /. Грузы связаны нитью, перекинутой через блок О. Массой нитин блока пренебрегаем. Система имеет одну степень свободы и ее положение определяется координатой 9i = x (положительное направление отсчета х показано стрелкой). Для определения Qi сообщаем системе возможное перемещение бдс, при котором 6 х > 0 , и вычисляем на этом перемещении элементарные работы сил Рх и F Tp;остальные силы работы не совершают. Так как FTV= f N = f P 1, тобА = (Рх sinot—{Р 2)Ьх.* Значения Qt можно еще определить непосредственно по формулам вида(109), (111), учтя, чтоТкт.
д., и вырази»координаты х у / , , г* точек приложения сил через qlt qit . . . , qs. Можно также,вычислив сразу элементарную работу всех сил и приведя ее к виду ( 112), нахо»дить Qi как коэффициенты при 617/. Но обычно расчет этими методами не даетпреимуществ, а может оказаться и более сложным.373Следовательно,Qi— Pi sin a —fP2.Пример 2.
Пренебрегая трением, найдем обобщенные силы для системы, изображенной на рис. 367. Однородный стержень АВ имеет длину I и вес Р и может вращаться вокруг оси А в вертикальной плоскости. Нанизанный на него шарик Мимеет вес р. Длина пружины A M равна в ненапряженном состоянии Ь0, а жесткость — с.Система имеет две степени свободы (независимыми являются перемещение шарнка вдоль стержня и поворот стержня вокруг оси А). В качестве обобщенных координат выберем угол (р и расстояние х шарика от конца ненапряженной пружины(<h=q>, qt= x ) ; положительные направления отсчета координат показаны стрелками.Сообщаем скачала сястеме возможное перемещение, при котором угол ф получает приращение 6ф (6ф >0), a jc= const.
На этом перемещении работу совершаютсилы Р и р. По второй из формул (101) находим (знак минус здесь потому, что направление момента противоположно направлению 8 ф)6 ЛХ= [ — (Pi/2) sin ф—р (М -* ) sin ф]вф.Следовательно,Q i = — [Я //2 + р (Vf-*).l sin ф.Теперь сообщаем системе возможное перемещение, при котором изменяетсятолько координата х, получая приращение 6 х> 0 , а угол <p=const. На этом перемещении работу совершают сила тяжести р и сила упругости, модуль которой F—— сх. Тогда6 Л ,= (р cos ф—сх)йхжQ z~ p cos ф—сх.Обобщенная сила Qy имеет в этом случае размерность момента, так как qy=<fiа сила Qa — размерность обычной силы.С л у ч а й п о т е н ц и а л ь н ы х с и л .
Если все действующие на систему силы являйэтся потенциальными, то для системы,как известно, существует такая силовая функция U, зависящая откоординат Xk, у к, гк точек системы, что сумма элементарных работдействующих сил равна полному дифференциалу этой функции, т. е.£6Л Л= 6 £ / {см. § 126, формула (62)]. Но при переходе к обобщеннымкоординатам qlt qt, .
. . , qs все x h, y h, zh могут быть выражены черезэти координаты и тогда U = U (q u qs, . . . , qs). Следовательно, вычисляя б U как полный дифференциал от функции U (qy, q2, . . .. . . , q s), найдем, чтоИ И . _ « / = £ « , 7 l + | £ e , , + . . . + « L 8, „Сравнивая это выражение с равенством (112), заключаем,в данном случаепdUQl==^пdU’п"• *9UQ* = W s'что.....(114)или, так как потенциальная энергия П = — U, то/) _ ^Л _ __глQl “ ~ з й ’дН..........*= ~дщ»Уf 4(1,5)Следовательно» если все Действующие на систему силы потенциальны, то обобщенные силы равны частным производным от силовой374функции ( или взятым со знаком минус частным производным от потенциальной энергии) по соответствующим обобщенным координатам.Пример 3.
Все силы, действующие на систему, изображенную на рис. Э67|потенциальны. Если при этом направить координатную ось А г вертикально вверх*то по формулам (64), (64') из § 127 найдем для всей системыП = — (Pl/2) cos q>—p(b0-j-x) cos <р+сх*/2,где обобщенны* координатыQi = —<p, q%= x . Тогда>— tW / 2 + p (f t 0 -f*)Jsin<p,<?, = — -| 5 -= p c o s q > — слг,что совпадает с результатами, полученными в примере 2 >| 144. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМЫВ ОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТАХСогласно принципу возможных перемещений необходимым идостаточным условием равновесия механической системы являетсяравенство нулю суммы элементарных работ всех активных сил(и сил трения если они совершают работу) на любом возможномперемещении системы, т.
е. условие 2бЛ к= 0. В обобщенных координатах это условие, согласно равенству ( 112 ), даетQ16q1+ Q i6qt+ . . .+ Q A 7, = 0.(116)Так как все величины б qt, 6qt, . . . , 6qs между собой независимы,то равенство (116) может выполняться тогда и только тогда, когдакаждый нз коэффициентов при 6qu 6qt, . . ., bqt в отдельности равен нулю, т. е.(117)Q i=0, Q *= 0.......... Q ,—0.В самом деле, если допустить, что одна из этих величин, напримерне равна нулю, то всегда можно сообщить системе такое возможное перемещение, при которомb q ^ O , a б<7, = 6<7» = . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
