1611690516-d99b7463a257f659341e7d5db73ba461 (826918), страница 78
Текст из файла (страница 78)
п.Такой'метод уравновешивания вращающихся тел широко используется в технике для уравновешивания коленчатых валов, кривошипов, спарников и т. п. При этом окончательная балансировкапроизводится на специальных стендах.Для определения сил давления на ось в отдельных конкретныхзадачах обычно не пользуются готовыми уравнениями (94), а каж дый раз непосредственно применяют принцип Даламбера.Задача 161. Ось вращения диска, перпендикулярная его плоскости (рис.
351),смещена от центра масс на расстояние OC=fc. Вес диска Р, угловая скорость постоянна и равна <■>. Определить динамические реакции подшипников А я В, еслиOA=OB’=h.7,5'21Рис. 352Р е ш е н и е . Проведем вращающиеся вместе с диском оси Охуг так, чтобыось Оу прошла через центр масс С диска (см. рис. 351).
Ось Ог будет главнойосью инерции диска для точки О, поскольку плоскость Оху является плоскостьюсимметрии диска. Тогда JXz= Jyz—О и из формул (93) и условия ш = const видно,что AfJJ—0. Следовательно, силы инерции приводятся к одной равнодействующей,проходящей через точку О и направленной вдоль линии ОС (вдоль оси Оу ). По мо23*355дулю R*= tno^n= (Plg)baP. Так как силы Р и Я* лежат в плоскости Оуг, то реакции подшипников лежат в этой же плоскости, т. е.
имеют составляющие Y А, 1 Ав точке А и V b в точке В. Тогда, составляя на основании принципа Даламберадля всех действующих сил и сил инерции уравнения равновесия в проекциях наоси у и г и уравнение моментов относительно центра А , получим:R » - Y A - Y B = Q, ZA- P = О,Y B-2h— Pb— R«h = 0.Решая эти уравнения, найдем:Y B = Pb (<**/2g+ 1/2Л), Y A = P b ((o 4 2 g -l/2 h ), ZA = P.Реакции 7 А и Y B все время располагаются в плоскости Оуг, вращающейся вместес телом. .Задача 162. Под прямым углом к вертикальному валу АВ длиной Ь приварены два одинаковых стержня, расположенных в одной плоскости на расстояниил друг от друга (рис. 352); длина каждого из стержней 21, а масса т. Пренебрегаядействием сил тяжести, найти динамические давления на вал, если он вращаетсяс постоянной угловой скоростью о>.' Р е ш е н и е .
По принципу Даламбера реакции подшипников и силы инерции образуют уравновешенную систему. В данном случае силы инерции каждого из стержней равны по модулюFi=Fi=ml<£>tи образуют пару, которая уравновешивается парой сил Х А, Х в . Моменты этихпар по модулю равны друг другу. Следовательно, X Ab= F”h, откудаX А ^ Х в = Fih/b —Пара все время расположена в плоскости Аху, вращающейся вместе с валомаЗадача 1вЗ.
Коленчатый вал одноцилиндрового двигателя несет на себе дводинаковых маховика А и В радиусом г= 0 ,5 'м . Рассматривая щеки и шейку колена вала как груз массой т = 2 1 кг, находящийся на расстоянии Л = 0,2 м от оси,определить массы тА и тв грузов, кото*рые надо расположить на ободах маховиков, чтобы сбалансировать систему, если6 = 0 ,6 м, /= 1 ,4 м (рис. 353).Р е ш е н и е . Проведем координатные оси, вращающиеся вместе с телом,так, чтобы колено вала лежало в плоскости Охг (см.
чертеж). Тогда эта плоскостьРис 353*"будет плоскостью симметрии. Следовательно, ус = 0 , и так как при этом ось Оу будет для точки О главной осью инерции, то* J y i = 0. Кроме того, если обозначить массу всей системы через М , то для нееxc = mh/M, J x l = mhb.Последний результат следует из того, что центробежный момент инерции системыравен сумме центробежных моментов инерции ее частей, а для маховиков и примыкающих к ним частей вала центробежные моменты Jx l равны нулю (ось Ог —ось симметрии).Тогда,' как видно из уравнений (97), для присоединяемых грузов, координатыкоторых ул=ув= 0 , массы тА и тв должны удовлетворять равенствам:м *с + тАх А + тв хв = 0 , J xz + тАхАгА + тв хв гв = 0 .Так как грузы располагаются на ободах маховиков, то г д = 0 , гд—1 и хА—хв = —г(при знаке плюс уравнения не имеют решений, следовательно, грузы должныбыть снизу).
Реш ая уравнения, найдем:тА = ( l— b) hmftrl) = 4,8 кг, ptB — bhmftrt) = 3,6 кг.Присоединение этих грузов делает систему уравновешенной, а ось Ог —главной центральной осью инерции (но не осью симметрии) тела.356Глава XXVIIIПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙИ ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ§ 137. КЛАССИФИКАЦИЯ СВЯЗЕЙВведенное в § 3 понятие о связях охватывает не все их виды. Поскольку рассматриваемые ниже методы решения задач механикиприменимы вообще к системам не с любыми связями, рассмотримвопрос о связях и об их классификации несколько подробнее.Связями называются любого вида ограничения, которые налагаются на положения и скорости точек механической системы и выполняются независимо от того, какие на систему действуют заданные силы. Рассмотрим, как классифицируются эти связи.Связи, не изменяющиеся со временем, называются стационарными, а изменяющиеся со с временем — нестационарными.Связи, налагающие ограничения на положения (координаты)точек системы, называются геометрическими, а налагающие ограничения еще и на скорости (первые производные от координат по времени) точек системы — кинематическими или дифференциальными *.Если, дифференциальную связь можно представить как геометрическую, т.
е. устанавливаемую этой связью зависимость междускоростями свести к зависимости между координатами, то такаясвязь называется интегрируемой, а в противном случае — неинтегрируемой.Геометрические и интегрируемые дифференциальные связи называют связями голономными, а неинтегрируемые дифференциальные связи — неголономными.По виду связей механические системы тоже разделяют наголономные (с голономными связями) и неголономные (содержащиенеголономные связи).Наконец, различают связи удерживающие (налагаемые ими ограничения сохраняются при любом положении системы) и неудерживающие, которые этим свойством не обладают (от таких связей, какговорят, система может «освобождаться»).
Рассмотрим примеры.1. Все связи, рассмотренные в § 3, являются геометрическими (голономными)и притом стационарными. Движущийся лифт, изображенный на рис. 271 , а,будет для лежащего в нем груза, когда положение груза рассматривается по отношению к осям Оху, нестационарной геометрической связью (пол кабины, реализующий связь, изменяет со временем свое положение в пространстве).2. Положение катящ егося без скольж ения цилиндра (см .
рис. 328)определяется координатой хс его центра С и углом поворота 9 . При качении выполняется условие uc“*^ti> или i c —Лф. Это дифференциальная связь, но полученное уравне*По существу геометрические связи являются одновременно и кинематическими, так как продифференцировав уравнения, которым при геометрическихсвязях должны удовлетворять координаты системы, найдем, что скорости при этомтоже связаны определенными зависимостями (см. ниже в примерах п. 2).357ние интегрируется и дает x c = R ff, т.
е. сводится к зависимости между координатами. Следовательно, наложенная связь годономная.Заметим, что эту связь можно сразу считать геометрической, подчиняющейкоординаты зависимости xc=R<f. Но тогда отсюда найдем, что одновременнои Х£=Яя>, т. е. что связь является и кинематической,3. В отличие от цилиндра для ш ара, катящегося без скольжения пошероховатой плоскости, условие того, что скорость точки ш ара, касающ ейся плоскости,р авна нулю, не может быть сведено (когда центр ш ара движется не прямолинейно)к каким-нибудь зависимостям между координатами, определяющими положениешара. Эго пример неголономной связи.
Другой пример дают связи, налагаемыена управляемое движение. Например, если на движение точки (ракеты) налагается условие (связь), что ее скорость в любой момент времени должна быть направлена в другую движущуюся точку (самолет), то это условие к хакой-нибудьзависимости между координатами тоже не сводится и связь является неголо*номной.4. В 9 3 связи, показанные на рис. 10—12, являются удерживающими,а на рве. 8 и 9 — иеудержявающими (на рис. 8 , а шарик может покинуть поверхность, а на рис.
9 — перемещаться в сторону точки А, сминая нить). С учетомособенностей неудерживающих связей мы сталкивались в задачах 108, 109 ($90)и в задаче 146 (§ 125).$ <38. ВОЗМОЖНЫЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ СИСТЕМЫ.ЧИСЛО СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫЭффект механических связей можно учитывать, не только вводеих реакции, как это до сих пор делалось, но и рассматривая те пере-,мещения, которые точки механической системы могут иметь при наложенных на нее связях. Такой путь позволяет сразу получать уравнения равновесия или движения системы, не содержащие напереднеизвестных реакций связей, что существенно облегчает решениемногих задач механики.Перемещения, о которых сказано выше, называют возможными(или виртуальными) перемещениями.
Они должны удовлетворятьдвум условиям: 1) быть элементарными, так как при конечном пере*мещении система может прийти ‘в положение, где эффект наложенных связей будет другим; 2) быть такими, чтобы все наложенные вданный момент времени на систему связи сохранялись, иначе можетизмениться вид рассматриваемой механической системы.Например, в кривошипно-полэунном механизме, изображенном ниже нарис. 356 (см. § 140), перемещение из показанного положения в положение, прикотором <р=0 , нельзя рассматривать как возможное, так как при <р= 0 эффектналоженных связей будет другим, что, в частности, изменит условие равновесиямеханизма под действием силы Р и пары с моментом М. Точйо так же нельзясчитать возможным даже элементарное перемещение точки В шатуна вдоль линии АВ; оно было бы возможным, если в точке В вместо ползуна была бы качаю*щ аяся муфта (рис.
161 в $ 57, муфта Q , т. е.' когда механизм был бы другим.Таким образом, возможным-перемещением механической системыбудем называть любую совокупность элементарных перемещений точек этой системы из занимаемого в данный момент времени положения, которые допускаются всеми наложенными на систему связями.При этом под допускаемыми в случае неудерживакнцих связей будемпонимать те возможные перемещения, при которых связи сохраняются (точки системы от связей не «освобождаются»).35»_ В дальнейшем следует различать действительное перемещениеdr движущейся точки, которое она совершает за элементарный промежуток времени d/, и возможное перемещение, которого точка несовершает, а только могла бы совершить, не нарушая наложенныхна нее в данный момент времени связей.Чтобы учесть это различие, будем возможное перемещение точкиОбозначать символом бг * и изображать соответствующим элементарным вектором.
При этом 6s будет обозначать модуль бг (6 s = |бг|),а бх, Ьу, Ьг — проекции Ьг на координатные оси; эти проекции равны элементарным приращениям координат точки при ее возможномперемещении и формально вычисляются так же, как дифференциалы.Отметим, что при стационарных связях действительное перемещение dr любой точки системы, которое тоже должно допускатьсяналоженными связями, совпадает с одним из возможных перемещений бг. При нестационарных связях dr ни с одним из возможныхперемещений не совпадает.Поясним это на приведенном в § 137 примере нестационарной связи (грузв лифте, см. рис. 271, а).
Здесь для груза бг направлено вдоль А В , a dг слагаетсяиз перемещения вдоль АВ и перемещения вместе с лифтом, равного vAt_(v — скорость лифта) и направленного перпендикулярно АВ; следовательно, dr образуетс АВ какой-то угол и ни с одним из бг совпасть не может.В общем случае механическая система может иметь множестворазличных возможных перемещений. Однако для любой из систем,которые нами будут рассматриваться, можно указать некотороечисло таких независимых между собой перемещений, что всякоедругое возможное перемещение может быть через них выражено.Например, для точки, находящейся на какой-нибудь плоскости(поверхности), любое возможное перемещение бг вдоль этой плоско*сти можно выразить через два взаимно перпендикулярных перемещения 6rx и бга в виде бг=абг1+ 6 б г1, где a n b — любые положительные или отрицательные числа.Число независимых между собой возможных перемещений механической системы называются числом степеней свободы этой системы.Следовательно, точка, находящаяся на плоскости, имеет две степени свободы; одновременно ее положение на плоскости определяется двумя независимыми координатами (координатами, каждая изкоторых может изменяться независимо от другой), например координатами х и у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
