1611690516-d99b7463a257f659341e7d5db73ba461 (826918), страница 75
Текст из файла (страница 75)
§ 60), то основная задача динамикибудет состоять в том, чтобы, зная Мх , М у, Мг , найти закон движения тела,т. е. найти ф< ф, 6 как функции времени. Д ля решения этой задачи надо к уравнениям (82) присоединить кинематические уравнения Эйлера (см. §61), устанавливающие связь между и>х , (оу , <ог и углами ср. if, 0. Динамические и кинема-342тичеехие уравнения Эйлера образуют систему шести нелинейных дифференциальных уравнений 1-го порядка; интегрирование этой системы представляет собойсложную математическую задачу.
В § 131 была изложена приближенная теориягироскопических явлений. Точно движение гироскопа описывается уравнениями (82). Д ля интегрирования этих уравнений при решении соответствующихконкретных задач обычно используют те или иные приближенные математические методы.В случаях, когда это целесообразно, одно из уравнений (82) можно заменитьтеоремой об нэманении кинетической энергии. Формула (79') используется такжепри составлении уравнений методом, изложенным в § 145 (задача 181 в § 146).4.П р и м е р .
В качестве простейшего примера приложения полученныхуравнений рассмотрим движение свободного гироскопа, закрепленного в центретяжести, на который никакие силы, кроме силы тяжести, не действуют (см. § 131,п. 1). В этом случае Й о = 0 и теорема моментов (см. § 116) дает:й К о /М ^ОилиЛ о -= const.(а)Таким образом, вектор К о имеет постоянное направление а инерциалыюДсистеме отсчета. Пользуясь этим, направим для упрощения дальнейших расчетов неподвижную ось Огх вдоль вектора К о (рис. 342); две другие оси, на чертеже не показанные, можно провести произвольно.
Подвижные оси, связанныес гироскопом, проведем так, чтобы ось Ог была направлена вдоль оси симметриигироскопа. Тогда / * = / „ и-последнее из уравнений (82), поскольку в нашемслучае 'Мг —0, дает da>e/ d / = 0 , откудаш ,—const.(б)По этой причине из формул (78) следует, что /f ,= 7 ,w ,= c o n s t. Но одновременно, как видно из рис. 342, К л= К о& я 0, где 0 = Z z ,Q z •— угол нутации (см.рис. 172 в §60). Так как согласно 'равенству (а) #(0 = const, то отсюда заключаем, что и cos 0 = const или0 = c o n s t= 0 o,(в)где 0» — начальное значение угла нутации.t Умножим теперь обе части первого из уравнений (82) на <ах , второго — на ю ,и сложим эти равенства почленно, учитывая, что в нашем случае M x = M y=*Q,а •/«**■/*■ Тогда получимi f )~°*Отсюда, интегрируя и деля обе части на постоянный множитель, найдемш*+<■>* = const.Заменим здесьи ®„-их значениями из кинематических уравнений Эйлера(см.
§61). Учитывая, что 0 = const и 6 = 0 , получим:ftx = ijis ln 0 slrrq>,c o „ = 4 >stn 0 cos <р,откуда.Но ио доказанному левая часть этого равенства и sin в. постоянны. Следовательно, иф=соп*1«=4ь*МНаконец, последнее иэ кинематических уравнений Эйлера дает <в,=<р-Нр сое в.Здесь, как мы нашли,ф и сов-0 постоянны. Следовательно, иc en * t=<р,.(10Итак, при любых начальных условиях рассматриваемый гироскоп вращаетсявокруг своей оси симметрии с постоянной угловой скоростью ср», а сама эта ось343вращается, в свою очередь, вокруг неподвижной оси Ог1 с постоянной угловойскоростью ij>o, описывая коническую поверхность с постоянным углом при вершине 20о (см. рис. 342). Такое движение гироскопа называется регулярной прецессией.5.Д в и ж е н и е с в о б о д н о г о т в е р д о г о т е л а .
Как известно,движение свободного твердого тела слагается из поступательного движениявместе с полюсом, в качестве которого при решении задач динамики выбираютобычно центр масс С тела, и из движения вокруг центра масс, как вокруг н е подвижной точки (см. § 63). Если на тело действуют внешние силы F{, F\ ....... F%<то движение полюса С описывается теоремой о движении, центра масс m a c = 2 f * ,Где т — масса тела. В проекциях на неподвижные оси 01х1у1г1 это равенство дает:пИ1С= Щ Х1, myiC^ X F ’kyt, тг\с = TF‘kZi(83)где *1 с , У1C: г ,с — координаты центра масс тела.Д ля движения же вокруг центра масс теорема моментов, выражаемая равенством (38), дает в проекциях на главные центральные оси инерции тела три уравнения, совпадающие по виду с уравнениями (82).
Таким образом, система дифференциальных уравнений (83), (82) описывает движение свободного твердого тела(снаряда, самолета, ракеты и т. д.).Глава XXVIIПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА§ 133. ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА ДЛЯ ТОЧКИИ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫМетоды решения задач механики, которые до сих пор рассматривались, основываются на уравнениях, вытекающих или непосредственно из законов Ньютона, или же из общих теорем, являющихсяследствием этих законов. Однако этот путь не является единственным. Оказывается, что уравнения движения или условия равновесия механической системы можно получить, положив в основу вместозаконов Ньютона другие общие положения, называемые принципами механики. В ряде случаев применение этих принципов позволяет,как мы увидим, найти более эффективные методы решения соответствующих задач.
В этой главе будет рассмотрен один из общих принципов механики, называемый принципом Да.шмбера.Найдем сначала выражение принципа для одной материальнойточки. Пусть на материальную точку с массой т действует системаактивных сил, равнодействующую которых обозначим F*, и реакция связи N (если точка является несвободной). Под действием всехэтих сил точка будет двигаться по отношению к инерциальной системе отсчета с некоторым ускорением а.Введем в рассмотрение величинуF" — — та,(84)имеющую размерность силы. Векторную величину, равную по модулю произведению массы точки на ее ускорение и направленнуюпротивоположно этому ускорению, называют силой инерции точки.344Тогда оказывается, что движение точки обладает следующимсвойством: если в любой момент времени к действующим на точкуактивным силам и реакции связи присоединить силу инерции, тополученная система сил будет уравновешенной, т.
е.Fa + jV + F ' = 0.(85)Это положение выражает п р и н ц и п Д а л а м б е р а д л ям а т е р и а л ь н о й т о ч к и . Нетрудно убедиться, что оно эквивалентно второму закону Ньютона и наоборот. В самом деле, второй! закон Ньютона для рассматриваемой точки дает m a—F*+N.Перенося здесь величину та в правую часть равенства и учитываяобозначение (84), придем к_соотношению (85).
Наоборот, перенося вуравнении (85) величину F" в другую часть равенства и учитываяобозначение (84), получим выражение второго закона Ньютона.Рассмотрим теперь механическую систему, состоящую из пматериальных точек. Выделим какую-нибудь из точек системы смассой т* . Под действием приложенных к ней внешних и внутренних сил Fek и F* (в которые входят и активные силы, и реакции связей) точка будет двигаться по отношению к инерциальной системеотсчета с некоторым ускорением ah.
Введя для этой точки силу инерции F%=—mhah, получим согласно равенству (85), чтоП + Н + Ъ = 0.(85')т. е. что Fek, Fi и F% образуют уравновешенную систему сил. Повторяя такие рассуждения для каждой из точек системы, придем кследующему результату, выражающему п р и н ц и п Д а л а м б е р а д л я с и с т е м ы : если в любой момент времени к каждойиз точек системы кроме действующих на нее внешних и внутреннихсил присоединить соответствующие силы инерции, то полученнаясистема сил будет уравновешенной и к ней можно применять всеуравнения статики.Математически принцип Даламбера для системы выражается пвекторными равенствами вида (85'), которые, очевидно, эквивалентны дифференциальным уравнениям движения системы (13), полученным в § 106.
Следовательно, из принципа Даламбера, как и изуравнений (13), можно получить все общие теоремы динамики.Значение принципа Даламбера состоит в том, что при непосредственном его применении к задачам динамики уравнения движениясистемы составляются в форме хорошо известных уравнений равновесия; это делает единообразным подход к решению задач и частоупрощает соответствующие расчеты. Кроме того, в соединении спринципом возможных перемещений, который будет рассмотрен вследующей главе, принцип Даламбера позволяет получить новыйобщий метод решения задач динамики (см. § 141).Из статики известно, что геометрическая сумма сил, находящихся в равновесии, и сумма их моментов относительно любогоцентра О равны нулю, причем, как показано в § 120, это справедли345во для сил, действующих не только на твердое тело но и на любуюизменяемую механическую систему. Тогда на основании принципаДаламбера должно быть:2 [ ' ”o (f *) + "»o(f i) + "lo ( ^ ) ] = 0-(86)Введем обозначения:=лТа = 2 т 0 (7)!).(87)Величины R и, М о представляют собою главный вектор и главныймомент относительно центра О системы сил инерции.
В результате,учитывая, что геометрическая сумма внутренних сил и сумма ихмоментов равны нулю, получим из равенств (86):2 П + ^ ' = 0,2 ^ о ( П ) + Лй = 0.(88)Применение уравнений (88), вытекающих из принципа Даламбера, упрощает процесс решения задач, так как эти уравнения-не содержат внутренних сил.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
