1611690516-d99b7463a257f659341e7d5db73ba461 (826918), страница 72

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 72)

., F%, лежащие в плоскостиэтого сечения. Тогда уравнения движения точки С найдем по теоре­ме о движении центра массМас = Щ ,(70)а вращательное движение вокруг центра С будет определяться урав­нением (66), так как теорема, из которой получено это уравнение,справедлива и для движения системы вокруг центра масс. В резуль­тате, проектируя обе части равенства (70) на координатные оси,получим:MaCx = JlFix, MaCv-= Е/%,, J c -e = 2,mc (Fek).(71)или_MZC= 2FU, Мус =УсФ= 2 т с (П ),(71')Уравнения (71) представляют собой дифференциальные уравне­ния плоскопараллельного движения твердого тела.

С их помощьюможно по заданным силам определить закон движения тела или,зная закон движения тела, найти главный вектор и главный моментдействующих сил.При несвободном движении, когда траектория центра масс из­вестна, уравнения движения точки С удобнее составлять в проек­циях на касательную т и главную нормаль п к этой траектории.Тогда вместо системы (71) получим:М % = 2 /Ъ ,= 2FU, J cф -= Zmc(Fi).(72)---- X---J'где рс — радиус кривизны траекториицентра масс.Заметим, что если движение являетсянесвободным, то в правые части уравне­ний (71) или (72) войдут еще неизве­Рис. 327стные реакции связей.

Для их определе­ния надо будет составить дополнительныеуравнения, отражающие те условия, которые налагаются на движе­ние тела связями (см. задачу 151 и др.). Часто уравнения несвобод­ного движения будут составляться проще с помощью теоремы обизменении кинетической энергии, которой можно воспользоватьсявместо одного из уравнений (71) или (72).Задача 161. Сплошной однородный круговой цилиндр скатывается по на­клонной плоскости с углом наклона а (рис.

328). Определить ускорение центрацилиндра и наименьший коэффициент трения f цилиндра о плоскость, при кото­ром возможно качение без скольжения, в двух случаях: 1) пренебрегая сопротив­лением качению; 2 *) учитывая сопротивление качению (коэффициент треня» ка­чения к и радиус цилиндра R известны).Р е ш е н и е . 1.

Изображаем действующие на цилиндр силы: силу тяжестиP=mg, наименьшую силу трения Т, при которой возможно качение без сколь­329жения, реакцию N плоскости, приложенную, когда сопротивление качению неучитывается, в' точке касания. Направим ось Ох вдоль наклонной плоскости аось Оу — перпендикулярно ей.Так как вдаль оси Оу центр масс цилиндра не перемещается, то аС!/—0, и пер­вое из уравнений1'(71) даетN — Р cos а*=0,откудаN = P cos а .Составляя другие два уравнения системы (71), учтем, что асх= а с и будемсчитать момент положительным, когда он направлен в сторону вращения цилин­дра. Получим:тас = Р sin а — F, Jc -t= FR .(a)У равнения (а) содержат три неизвестные величины ас, в и F (здесь нельзясчитать F = fN , тай как это равенство имеет место, когда точка касания скользитвдоль плоскости, а при отсутствии скольжения может быть F < fN \ см. § 23).Дополнительную зависимость между неизвестными величинами найдем, учиты­вая, что при чистом качении.

vc—o>R, откуда, диф­ференцируя, получим ac = tR . Тогда второе из ра­венств (а), если учесть, что для сплошного ци­линдра Ус = т / ? 2/2 , примет видmacl2=F.(б)Подставляя это значение F в первое из равенств(а), получимa c =(2/3)g sin а .-(в)Теперь находим из выражения (5)Я = (Я/3) sin а .(г)Такая сила трения должна действовать на катящийся цилиндр, чтобы он ка­тился без скольжения. Выше было указано, что F*zfN. Следовательно, чистоекачение будет происходить, когда(Я/3) sin а < / Я cos аили/ ^ ( t g а)/'3.Если коэффициент трения будет меньше этой величины, то сила F яе можетпринять значения, определяемого равенством (г), и цилиндр будет катиться с про­скальзыванием.

В эгом случае ус и ш не связаны зависимостью vc=a>R (точкакасания не является мгновенным центром скоростей), но зато величина Я имеетпредельное значение, т. е. F = fN = fP cos а , и уравнения (а) принимают вид.(P lgfic— Я (sin a —/ cos a ), PR*e/2g=fPR cos a ,откудаac = £ ( s in a —f cos a );e=(2gf/R) cos a .(д)Центр цилиндра в этом случае движется с ускорением ас , а сам цилиндрвращается с угловым ускорением е, значения которых определяюгся равенства­ми (д)._2*. При учете сопротивления качению реакция N будет смещена в сторонудвижения на Величину k (расположена так, как ка рис. 308, б) и ее момент отно­сительно центра С будет равен —kN . Тогда второй из уравнений (а) примет видJ c -t= F R — kN или m R 4l2—FR—kN.(е)Остальные уравнения сохраняют свой вид, т. е.

будет по-прежнемуN = P cos a , тас = Р sin a —F.(ж)Из уравнений (е) и (ж), учитывая, что и в данном случае a c—eR, найдемокончательно:.« С * g -tf ( sin a —cos aF = - £ - f s i n a - |- 2 - — e o s a j .После этою hs неравенства F ^ f N получим, что f должно иметь для обеспечениякачения без скольжения значение /SsK tg ce)/3+2A/3/?j.330Задача 162. По шероховатой цилиндрической поверхности радиуса R(ряс. 329) из положения, определяемого углом <р0, начинает катиться без сколь­жения сплошной однородный цилиндр радиусом л Пренебрегая сопротивлениемкачению, определить закон движенияцентра цилиндра, когда угол q>0 мал. Н ай­ти также, при каких значениях <р0 воз­можно качение без скольжения, если ко­эффициент трения цилиндра о поверх­ность /.Решение.Рассмотрим цилиндрпри его качении вниз (движение проис­ходит в вертикальной плоскости).

В по­ложении, определяемом углом ф,_иа ци^линдр действуют сила тяжести P=mg,гЧРшт§сила трения скольжения 7 и реакция N.р ис 329Проведя касательную Ст к траектории цент­ра С (в сторону движения этого центра)н учтя, что для цилиндра J c =mr42, составим первое и третье из уравнений (72)в виде:dvr.„ mr? dco_, .m ~dt ~ m g s«n<p — F,= Fr,(a)где о) — угловая скорость цилиндра.Выразим все скорости через <р.

Одновременно учтем, что в точке К находитсямгновенный центр скоростей. Тогда, поскольку при качении цилиндра вниз <рубывает и ф < 0 , будет:»'с = — (Я —')Ф. ю=с'С/г = —(R —г)ф/г.При этих значениях vc и о> уравнения (а) примут вид:m (/?— г) ф = —ragslnq> -f F ,m (R — r) ф = —2F.(б)Исклю чая из равенств (6 ) силу F, найдем окончательно следующее дифферен­циальное уравнение, определяющее движение центра С:ср+к2вт<р=0,гдеfc=2g/3 ( R —r).П оскольку очевидно, что при движении цилиндра <р< ср0, то, когда угол <р0мал, можно приближенно принять sin <рх<р.

Т огда получим известное диф ­ф е р е н ц и а л ь н о е уравнение гармонических колебаний.Ф +**Ф=0.(в)В данной задаче при 1=0 ф = ф 0, а <р=0. Интегрируя уравнения (в) при этихначальных условиях, найдем следующий закон малых колебаний цилиндра:ф = ф в cos kt.(г)Период этих колебанийт = 2л/k — 2л У 3 (R — r)/2g.В заключение найдем условие качения без скольжения, учитывая, что F < { S(см..§23). Значение F дает второе из равенств (б):F = —m (R —r)ф/2.Но согласно уравнению (в) <p=—/Лр и так как k*=2g!3(R—r), то окончательноf = ( m g /3)ф.Теперь заметим, что при малом ф часть цилиндрической поверхности, по ко­торой хатается цилиндр, можно рассматривать как часть горизонтальной пло­скости и считать приближенно N = P = m g . Тогда неравенство F < JN даетТак как наибольшее значение ф равно ф», то при рассматриваемых малых коле­баниях качение цилиндра будет происходить без скольжения, когда ф«<ЗЛ331Задача 163.

Тело весом Р опирается в точке В на пьезоэлектрический датчикприбора, измеряющего силу давления, а в точке А поддерживается нитью AD(рис. 330). При равновесии линия АС горизонтальна, а давление в точке В равноQ0. Вычислить, чему равен момент инерции Jc тела относительно оси, проходя­щей через его центр масс С, если в момент, когда нить пережигают, давлениев точке В становится равным Qv Расстояние I известно.Р е ш е н и е . 1. В положении равновесия QBl—P (l—b).

Отсюда находимb= (P —Qi)l/P.2. Когда нить пережигают, тело начинает двигаться плоскопараллельно.Д ля начального элементарного промежутка времени изменением положениятела можно пренебречь. Тогда .уравнения (71), справедливые только для Зтогопромежутка времени, будут иметь вид:MaCx = P — Qu ас „ = 0, Jc -t = Qib.(а)Так как oCj/—0, то точка С начинает перемещаться по вертикали вниз, а точ.ка В скользит горизонтально (трение в опоре считаем малым). Восставляя перпен­дикуляры к направлениям этих перемещений, находим, что мгновенный центрскоростей будет в точке К ■ Следовательно, vc—Ьш.

Дифференцируя это равен*стйо и считая в течение рассматриваемого элементарного промежутка времениb= const, получим а с ^ Ь г . Тогда первое из уравнений (а) даетP 6e = ( P - Q 1)g.Определяя отсюда е, найдем окончательно7c = Q 16/e»=PQxfc*/(P-Q1)ff.Полученный результат, можно использовать для экспериментального опре­деления моментов инерции.Рис.

331Задача 154. Вес автомобиля с колесами равен Р (рис. 331); вес каждого яачетырех его колес равен р, радиус г, радиус инерции относительно оси С—рс .К задним (ведущим) колесам приложен вращающийся момент М ,р. Авто­мобиль, начиная движение из состояния покоя, испытывает сопротивление воз­духа, пропорциональное квадрату его поступательной скорости: Я=ци*. Моменттрения в оси каждого колеса AfTp= c o n s t.

Пренебрегая сопротивлением качению,определить: 1) предельную скорость автомобиля; 2 ) силу трения скольжения,действующую на ведущие и ведомые колеса при движении.Р е ш е н и е . 1. Д ля определения предельной с к о р о с т и составим диффе­ренциальное уравнение, движения автомобиля, пользуясь равенством (49)d7’= 2 d > 4 j - f S d 4 .(а)Кинетическая энергия автомобиля равна энергии кузора и колес.

Учитывая*что Р — вес всего автомобиля, a v=for (так как скоростьцентра С колеса равнаскорости v кузова), получимT=Pv*/2g+ 4 (Ус ш*/2)= ( P + 4 p p J /r V / 2 f ,где полагалось, что .со — угловая скорость колеса.И з внешних сил работу совершает только сила сопротивления воздуха, таккак сопротивлением качению мы пренебрегаем, а работа сил трення F1 n F t колес332о грунт равна в этом случае нулю (см. § 122).

Следовательно,2 dAk = — R ds = — ЦП* ds,где ds — элементарное перемещение кузова.Работа внутренних сил (вращающего момента и сил трения в осях), еслиучесть, что dsc=ds=rd<p, где q> — угол поворота колеса, будет2 d ^ = (Мвр- 4 М тр) dq> = (AfBp— 4Л1хр) ds/л.Подставим все эти значения в равенство (а) и одновременно разделим обе егочасти на dt. Тогда, учтя еще, что dsldt—v, a dvldt=a, получим(.Р -И Р Р с А *) v ‘al8 '= (Mt t l r ~ iM ^ r — Vivi) vОтсюда, сокращая на v, находим(Р + 4рргс 1г*) а — (М вр— 4Л1тр — цги*) g/r.(б)Когда скорость автомобиля стремиться к ее предельному значению, егоускорение а стремится к нулю. Следовательно, гпр найдется из уравненияЛ1Вр ~ 4 Л 1 Тр — цги* = О,откуда________________i'n p = Vвр “т р)/(лг.Этот результат можно получить сразу, приравняв нулю сумму работ всехсил.

Характеристики

Список файлов книги