1611690516-d99b7463a257f659341e7d5db73ba461 (826918), страница 67

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 67)

307) будет равна (см. § 87)(М = Fx ds = Fxh dq>,так как ds=/idq>, где dqp — элементарный угол поворота тела.Но, как легко видеть *, Fxh—mz (F). Будем называть величину*Если разложить F по направлениям Вт, ВС и Вг' (см. рис. 307), то mt (F)~= m z (Fx), так как моменты двух других составляющих равны нулю.M t —m t (F) вращающим моментом. Тогда получимd i4 = M zdq>.i(4(J)Следовательно, в рассматриваемом случае элементарная работаравна произведению вращающего момента на элементарный уголповорота.

Формула (46) справедлива и при действии несколькихсил, если считать Afl = 2 m l (Fh).При повороте на конечный угол ф* работа<piА = | М , d<p,(47)оа в случае постоянного моментаА=М м.(47')Если на тело действует пара сил, лежащая в плоскости, перпен­дикулярной оси Ог, то М г в формулах (46)—(47') будет, очевидно,означать момент этой пары.Укажем еще, как в данном случае определяется мощность (см.§ 87).

Пользуясь равенством (46), находимN = d A /d t= M z •d<p/dt=Mxu>.Следовательно, при действии сил на вращающееся тело мощностьравна произведению вращающего момента на угловую скоростьтела. При той же самой мощности вращающий момент будет тембольше, чем меньше угловая скорость.Рис. 307Рис. 3083.Р а б о т а с и л т р е н и я , д е й с т в у ю щ и х на кат я щ е е с я т е - л о .

На колесо радиусом R (рис. 308), катящеесяпо некоторой плоскости. (пйверхностИ) без скольжения, действуетприложенная в точке В сила трения Fтр, препятствующая скольже­нию точки вдоль плоскости. Элементарная работа этой силы dA —= F ? ds*. Н о точка В в данном случае совпадает с мгновенным цент306ром скоростей (ель § 56) и vB=0. Так как dsB= t/Bd/, то dsB= 0 идля каждого элементарного перемещения d /l= 0 .Следовательно, при качении без скольжения работа силы трения,препятствующей скольжению, на любом перемещении тела равнанулю. По той же причине в этом случае равна нулю и работа нор­мальной реакции. N, если считать тела недеформируемыми в силуN приложенной в точке В (как На рис. 308, а).С о п р о т и в л е н и е к а ч е н и ю создает возникающая вследствие де­формации поверхностей (рис.

308, б) пара сил N , Р, момент которой M = k N ,где k — коэффициент трения качения (см. § 27). Тогда по формуле (46), учитывая,что при качении угол поворота колеса d<fi=dsc /R , получимhdA**4= — kNd{p = — -g - N d s c ,(48)уде dsc — элементарное перемещение центра С колеса.Если /V =const, то полная работа сил сопротивления качениюЛк* '= — kNxpi = — — Nsc ,(48')Так как величина k/R мала, то при наличии других сопротивлений сопро­тивлением качению ■можно в первом приближении пренебрегать.§ 128. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ- КИНЕТИЧЕСКОЙЭНЕРГИИ СИСТЕМЫДоказанная в §89 теорема справедлива для любой из точек си­стемы.

Следовательно, если рассмотреть какую-нибудь точку си­стемы с массой mh, имеющую скорость vh, то для этой точки будетd= dAk + di4^,где йА‘к и 6А‘к — элементарные работы действующих на точку внеш­них и внутренних сия. Составляя такие уравнения для каждой източек системы и складывая их почленно, найдем, чтоd (2ткоЦ2) = Zd/1J + 2d А{илиd r = Zd,4£ + 2 d /U .(49)Равенство (49) выражает т е о р е м у о б и з м е н е н и икинетической энергии системы в дифферен­ц и а л ь н о й ф о р м е . Проинтегрировав обе части этого равен­ства в пределах, соответствующих перемещению системы из неко­торого начального положения, где кинетическая энергия равнаТо, в положение, где значение кинетической энергии становитсяравным 7\, получим7 \ - Г в= 2 Л ; + 2М*.(50)Это уравнение выражает теорему об изменении кинетическойэнергии в другой (интегральной) форме: изменение кинетическойэнергии системы при некотором ее перемещении равно сумме работ20'307на этом перемещении всех прилоокенных к системе внешних и внут­ренних сил.IВ отличие от предыдущих теорем внутренние силы в уравнениях(49) или (50) не исключаются.

В самом деле, если F{, и Fltl — силывзаимодействия между точками В хи Bj системы (рис. 309), тЬ—/*”21= 0 . Но при этом точка Biможет перемещаться по направле­нию к В», а точка В г — по нап­равлению к Вх. Работа каждой изРнс. 309сил будет тогда положительной исумма работ нулем не будет. На­пример, при выстреле (см. задачу 127 в § 112) силы давления поро­ховых газов, являющиеся для системы снаряд — откатывающиесячасти внутренними, совершают работу и сообщают скорости теламсистемы.Рассмотрим два важных частных случая.1. Н е и з м е н я е м а я с и с т е м а .

Неизменяемой будем на­зывать механическую систему, в которой расстояние между каж­дыми двумя взаимодействующими точками остается во все времядвижения постоянным.Рассмотрим две точки Bi и В , неизменяемой системы (В,Ва==const), действующие друг на друга с силами F{3 и F ^ = —Ff,(см. рнс.

309). Тогда, поскольку при движении отрезка BtB t долж­но быть Vi cos a i—vt cos а , (см. § 55), то и dsx cos a j= d s , cos a „так как ds!—Vidt, ds»=Pjd/ (vlt vt и dsb d s,—соответственно скоро­сти и элементарные перемещения точек Вг и В,). Кроме того, F[s== F ‘tl. В результате для суммы элементарных работ этих сил получимd./41+ di41= F^ds! cos otj—F^ds, cos a , = 0.To же получится и для всех других взаимодействующих точексистемы.’ В итоге приходим к выводу, что в случае неизменяемой си­стемы сумма работ всех внутренних сил равна нулю и уравнения(49) или (50) принимают видd r = 2 d ^ | и Г , — Г0 = 2/1£.(51)2.

С и с т е м'а с и д е а л ь н ы м и с в я з я м и . Рассмотримсистему, на которую наложены связи, не изменяющиеся со време­нем. Разделим все действующие на точки системы внешние и внут­ренние силы на активные и реакции связей. Тогда уравнение (49)можно представить в видеdT = ^ d A ak + HdArk ,где di4| — элементарная работа действующих на k-ю точку системывнешних и внутренних активных сил, a d А{ — элементарная работареакций, наложенных на ту же точку внешних и внутренних свя­зей.зовКак видим, изменение кинетической энергии системы зависит отработы и активных сил и реакций связей. Однако можно ввестипонятие о таких «идеальных» механических системах, у которыхналичие связей не влияет на изменение кинетической энергии систе­мы при ее движении.

Для таких связей должно, очевидно, выпол­няться условие2(М1 = 0.(52)Если для связей, не изменяющихся со временем, сумма работ всехреакций при элементарном перемещении системы равна нулю, тотакие связи являются идеальными *. Укажем ряд известных намвидов идеальных связей.В § 89 было установлено, что если связью является неподвижнаяповерхность (или кривая), трением о которую можно пренебречь,то при скольжении тел вдоль такой поверхности (кривой) работареакции N равна нулю. Затем в§ 122 показано, что если пренебречьдеформациями, то при качении без скольжения тела по шероховатойповерхности работа нормальной реакции N и силы трения Fтр (т. е.касательной составляющей реакции) равна нулю.

Далее, работареакции R шарнира (см. рис. 10 и 11), если пренебречь трением, бу­дет также равна нулю, поскольку точка приложения силы R прилюбом перемещении системы остается неподвижной. Наконец, еслина рис. 309 материальные точки Вг и В, рассматривать как связан­ные жестким (нерастяжимым) стержнем BtB t, то силы Fi, и F ln будутреакциями стержня; pa6ofa каждой из этих реакций при перемеще­нии системы не равна нулю, но сумма этих работ по доказанномудает нуль. Таким образом, все перечисленные связи можно с уче­том сделанных оговорок считать идеальными.Для механической системы, на которую наложены только неизменяющиеся со временем идеальные связи, будетdT = 2 АА\ и 7 \ — Т 0= ЪА%.(53)Таким образом, изменение кинетической энергии системы с иде­альными, не изменяющимися со временем связями при любом ееперемещении равно сумме работ на этом перемещении приложенныхк системе внешних и внутренних активных сил.Все предыдущие теоремы позволяли исключить из уравненийдвижения внутренние силы, но все внешние силы, в том числе инаперед неизвестные реакции внешних связей, в уравнениях сохра­нялись.

Практическая ценность теоремы об изменении кинети­ческой энергии состоит в том, что при не изменяющихся со време­нем идеальных связях она позволяет исключить из уравнений дви­жения все наперед неизвестные реакции связей.Общее понятие об идеальных связях определено в § 139.309s 124. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧТеорема об изменении кинетической энергии в случаях, когдадвижущаяся система является неизменяемой, позволяет исключитьиз рассмотрения все неизвестные внутренние силы, а при идеаль­ных, не изменяющихся со временем связях — и наперед неизвест­ные реакции внешних связей.В случае изменяемой системы теорема дает решение задачи толь­ко тогда, когда внутренние силы наперед известны. Если же этисилы не известны (задачи 123, 127 и им подобные), то получить ре­шение с помощью одной только этой теоремы нельзя.Уравнение (50) позволяет легко решать те задачи, в которых вчисло данных и искомых величин входят: 1) действующие силы;2) перемещение системы; 3) скорости тел (линейные или-угловые)в начале и в конце перемещения.

При этом действующие силы долж­ны быть постоянными или зависеть только от перемещений (расстоя­ний).Важно также иметь в виду, что с помощью теоремы об изменениикинетической энергии можно (когда положение системы определя­ется одним параметром) составлять дифференциальные уравнениядвиокения системы и, в частности, находить ускорения движущихсятел; при этом на систему могут-вообще действовать и любые перемен­ные силы (см. задачи 141— 143 и задачу 154 в § 130).Задача 139.* Стержень А В длиной / подвешен на шарнире в точке А (рис. 310).Пренебрегая трением в шарнире, найти, какую наименьшую угловую скорость <i>0надо сообщить стержню, чтобы он отклонился до горизонтального положения.Р е ш е н.и е. В число данных и искомых в задаче величин входят Шд, щ = 0и перемещение системы, определяемое углом В^АВ^.

Следовательно, для решениязадачи удобнее всего воспользоваться теоремой об изменении кинетической энер­гии. Учитывая, что система не изменяема, составим уравнение (51)T1- T 0= S 4 -<а>Обозначая массу стержня через М , вычислим все входящие в это уравнениевеличины. По формуле (43) и формуле (6) из § 102 находим70= / ий4/2 = Л1/*о4/6.Так как в конечном положении скорость стержня равна нулю, то Т’|= 0 .

Нало­ж енная связь является идеальной (шарнир >4); следовательно, работу совершаеттолько активная сила P = M g и А * = —P h c = —Mgl/2. Подставляя все эти зна-310чения в уравнение (а), найдем— M l \ i)o/6 = — M g l/2, откуда со0 =3g//.Задача 140. Шкивы Л и д , соединенные ремнем (рис. 311), вращаютсяпосле выключения двигателя так, что шкив А имеет угловую скорость o v Общийвес шкивов Я, а вес ремня р. Чтобы затормозить вращение, к шкиву А радиусом Rприжимают с силой Q тормозную колодку; коэффициент трения колодки о шкив /,Пренебрегая трением в осях и считая шкивы сплошными дисками, найти, сколькооборотов сделает шкив А до остановки.Р е ш е н и е .

Характеристики

Список файлов книги