1611690516-d99b7463a257f659341e7d5db73ba461 (826918), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Найдем, как происходитдвижение ракеты под действием только одной реактивной силы,считая Р = 0 , а относительную скорость истечения и постоянной.Направим координатную ось х в сторону движения (см. рис. 294).Тогда vx=v, их= —и и уравнение (25) в проекции на ось х, если внем положить F '= 0, примет видшжМ - у гat——<ши -ГГatИЛИ.СШт=—и -mгг.Интегрируя это уравнение и считая, что в начальный моментмассаа скорость v=v„ и направлена вдоль оси Ох, получимv=v0+u 1п(М0Ш ).(28)Обозначим массу корпуса ракеты со всем оборудованием черезМ к, а всю массу топлива через М т.
Тогда, очевидно, M t= M K+ M r,а масса ракеты, когда все топливо будет израсходовано, будет равнаМ к. Подставляя эти значения в равенство (28), получим формулуЦиолковского, определяющую скорость ракеты, когда все ее топливобудет израсходовано (скорость в конце так называемого активногоучастка):v=v0+u 1п(1+Мт/Мк)..(29)Строго этот результат справедлив в безвоздушном пространствеи вне поля сил. Из формулы (29) видно, что предельная скоростьракеты зависит: 1) от ее начальной скорости и0; 2) от относительнойскорости истечения (вылета) продуктов горения и; 3) от относительного запаса топлива М Т1МК (число Циолковского). Очень интересентот факт, что от режима работы ракетного двигателя, т.
е. от того,насколько быстро или медленно сжигается все топливо, скоростьракеты в конце периода горения не зависит.Важное практическое значение формулы Циолковского состоитв том, что она указывает возможные пути получения больших скоростей, необходимых для космических полетов.
Этими путями являются увеличение М 7/Мк, и и v0, причем путь увеличения и и и0более эффективен. Увеличение и и М т/Мк связано с видом топливаи конструкцией ракеты. Применяемые жидкие топлива позволяют19-1870289получить ы=3000-г-4500 м/с. Но значения М х/Мк у одноступенчатых ракет таковы, что они не дают скоростей, необходимых для космических полетов (см. § 98). Получить необходимую скорость можнопутем использования составной (многоступенчатой) ракеты, части(ступени) которой по мере израсходования содержащегося в нихтоплива автоматически отделяются от последней ступени, получающей в результате дополнительную (начальную) скорость.Подобная многоступенчатая ракета была применена для запускапервых в мире советских искусственных спутников Земли (4 октября и 3 ноября 1957 г.), а также при многочисленных пусках другихкосмических объектов, в том числе кораблей, на которых совершаютсвои полеты космонавты.Глава X X IVТЕОРЕМА ОБ ИЗМ ЕНЕНИИ МОМЕНТАКОЛИЧЕСТВ Д ВИ Ж ЕН И Я СИСТЕМЫ§ 115.
ГЛАВН Ы Й МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВ Д ВИ Ж ЕНИЯ СИСТЕМЫПонятие о моменте количества движения для одной материальнойточки было введено в § 85. Г лавным моментом количеств движения(или кинетическим моментом) системы относительно данного центра О называется величина К 0, равная геометрической сумме моментовколичеств движения всех точёк системы относительно этогоцентра *:K 0 = tm 0 (mkvk).(30)Аналогично определяются моменты количеств движения системы относительно координатных осей:К х = 2 т ж(mkvk), K v = Ъ т у (т*й*), К г = 2 т , (mkvk).(31)При этом К х, К и, К г представляют собой одновременно проекциивектора Ко на координатные оси.В § 110 было отмечено, что количество движения системы можнорассматривать как характеристику ее поступательного движения.Из последующего будет видно, что главный момент количеств двиокения (кинетический момент) системы может рассматриватьсякак характеристика ее вращательного движения.Кинетическийм о м е н т в р а щ а ю щ е г о с я те л а .В качестве важного конкретного примера найдем значенияK t,, К^ и К х для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси г*Чаще для краткости величину К о называют кинетическим моментом илипросто моментом количеств движения системы.2901.Определение К г.
У любой точки тела, отстоящей от оси вращения на расстоянии hk, скорость vk=wKk (соj — угловая скоростьтела). Следовательно, для этой точки т г (mhvk) = mkvhhh= mkhlas.Тогда для всего тела, вынося общий множительсо за скобки, получимК,=2тг (mkv„) = (Zm *ft|) со.Величина, стоящая в скобках, представляетсобой момент инерции тела относительно оси г(см. § 102).
Окончательно находимK t = J zсо.(32)Таким образом, кинетический момент вращающегося тела относительно оси вращения равенпроизведению момента инерции тела относительно этой оси на угловую скорость тела.Если система состоит из нескольких тел, вращающихся-вокруг одной и той же оси, тоK , = J 1гсох+ J „со, -t+ J nz^n-(32')Заметим еще, что формула (32) сохранит свой вид и в случаеповорота тела вокруг мгновенной оси вращения 01 с угловой скоростью со, так как при этом поле скоростей точек тела будет в данный момент времени таким же, как при вращении вокруг неподвижной оси. Таким образом,К , = J,(A.(33)2*. Определение К х и К и.
Для определения К х вычислим величину mx(vk)так же, как вычисляется момент силы; при этом используем формулы (47) из§ 28, заменив в них F на v. ТогдаНо согласно формулам (77')_из § 62 oky=a>xk, икг=0 (последнее сразу видноиз рис. 295); следовательно, mx(vk)= —хкгка>.
В результате, вынося общий множитель ш за скобки, найдемК х= 2 /п* (mkvk) = — (S m ^ ft) ш= — /хга,так как сумма, стоящая в скобках, представляет собой центробежный моментинерции J xt (см. § 104). Аналогичное выражение получится для К у, где всюдувместо хк войдет ук.
ОкончательноKx = — J xxa>, K y — — J y,<o.(34)Таким образом, кинетический момент вращающегося тела относительноцентра О, лежащего на оси вращения Ог, представляет собой вектор К о , проекциикоторого на оси Охуг определяются формулами (32) и (34). В общем случае, каквидим, вектор К о не направлен по оси вращения Ог. Но если ось Ог будет для точки О главной осью инерции тела (в частности, осью симметрии), то J XZ= J у*= 0 .При этом К х—К у=0 и К о = К х. Следовательно', если тело вращается вокруг оси,являющейся для тонки О главной осью инерции тела (или вокруг оси симметриитела), то вектор Ко направлен вдоль оси вращения и численно равен Кж,т. е.
У,со.19*291§ 116. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ ГЛАВНОГО МОМЕНТАКОЛИЧЕСТВ Д ВИ Ж ЕНИЯ СИСТЕМЫ (ТЕОРЕМА МОМЕНТОВ)Теорема моментов, доказанная для одной материальной точки(см. § 85), будет справедлива для каждой из точек системы. Следовательно, если рассмотреть точку системы с массой т к, имеющуюскорость vh, то для нее будетЙ о (т А^*)] - «о (F%) + т 0 (F k‘ ),где F% и F lk — равнодействующие всех внешних и внутренних сил,действующих на данную точку.Составляя такие уравнения для всех точек системы и складывая их почленно, получим-^- [2/л0 (т ку*)] = 2m0 (F£) + 2m0 (F „! ).Но последняя сумма по свойству внутренних сил системы равнанулю.
Тогда, учитывая равенство (30), найдем окончательно^= 2 т 0(^ ).(35)Полученное уравнение выражает следующую т е о р е м у мом е н т о в для системы: производная повремени о т главного моментаколичеств движения системы относительно некоторого неподвижногоцентра равна сумме моментов всех внешних сил системы относительно того оке центра.Проектируя обе части равенства (35) на неподвижные оси Охуг,получим:™ f = Zmx(F ‘k), ^= 2 4 (Ц ), ^= 2 т ,( П ).(35)Уравнения (36) выражают теорему моментов относительно любойнеподвижной оси.Доказанной теоремой широко пользуются при изучении вращательного движения тела, а также в теории гироскопа и в теорииудара. Но значение теоремы этим не ограничивается. В кинематикебыло показано, что движение твердого тела в общем случае слагается из поступательного движения вместе с некоторым полюсоми вращательного движения вокруг этого полюса.
Если за полюсвыбрать центр масс, то поступательная часть движения тела можетбыть изучена с помощью теоремы о движении центра масс, а вращательная — с помощью теоремы моментов. Это показывает важность теоремы для изучения движения свободного тела (летящийсамолет, снаряд, ракета; см. § 132) и, в частности, для изученияплоскопараллельного движения (см. § 130).Практическая ценность теоремы моментов состоит еще в том, чтоона, аналогично теореме об изменении количества движения, позво292ляет при изучении вращательного движения системы исключатьиз рассмотрения все наперед неизвестные внутренние силы.Теорема моментов относительно центрам а с с * .
Чтобы применять теорему моментов к изучению плоскопараллельного движения или движениясвободного твердого тела, надо найти выражение этой теоремы для движения системы относительно центра масс. Пусть Охуг —неподвижные оси, по отношению к которымдвижется рассматриваемая механическаясистема, а Сх'у'г' — оси перемещающиесяпоступательно вместе с центром масс Сэтой системы (рис. 296), при этом осиСх'у'г' имеют ускорение ас, равное ускореРис. 296нпю центра масс. В §91 было показано, чтовсе уравнения динамику можно составлять в осях Сх'у'г' так же,как в неподвижных, если к действующим на каждую из точек системы силам Fek и F* прибавить переносную силу инерции FJJ пер (кориолисовы силы инерции в данном случае равнц нулю, так как осиСх'у'г' движутся поступательно). Следовательно, уравнение (35)в осях Сх'у'г' примет вид^= Zmc (F*) + 2mc (/*,ep),(37)поскольку сумма моментов внутренних сил относительно любогоцентра равна нулю.
При этом величина К.с вычисляется по формуле7Cc = 2mc (m*^),(37')где vl — скорости точек системы по отношению к осям Сх'у'г'.Найдем значение последней суммы в равенстве (37). По определению, F* пер=—mha„ пеР. Так как оси Сх'у'г' движутся поступательно, то для любой из точек В* системы ак пер= ас; следовательно,Fk ntv=—mhac и mc ( F ^ p)= ^ X (- т кЪс)= - т ^ Х а с. Тогда, вынося общий множитель ас за скобки и учитывая, что по формуле(Г ) 2 т кл*=М г 'с , получим2 тс (^пер) = — (2 тАГ;) Xflc = - М7'с хас = О,так как точка С является в системе осей Сх'у'г' началом координати г 'с = 0.
В результате равенство (37) дает(38)Сравнивая этот результат с уравнением (35), приходим к выводу,что для осей, движущихся поступательно вместе с центром масссистемы, теорема моментов относительно центра масс сохраняетт о т же вид, что и относительно неподвижного центра. Точно так293же для моментов относительно осей Сх'у'г' из (38) получаются уравнения, аналогичные уравнениям (36).Заметим, что в любой другой подвижной системе отсчета будетили г'сФ0, или не будут равны нулю кориолисовы силы инерции иуравнение моментов не будет иметь вид, совпадающий с (35).$ 117. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ГЛАВНОГО МОМЕНТАКОЛИЧЕСТВ ДВИЖ ЕНИЯИз теоремы моментов можно получить такие следствия.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
