1611690516-d99b7463a257f659341e7d5db73ba461 (826918), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Но в отличие от центра тяжести понятие о центре масс сохраняет свой смысл для тела, находящегося влюбом.силовом поле (Иапример, в центральном поле тяготения),и, кроме того, как характеристика распределения масс, имеет смыслне только для твердого тела, но и для любой механической системы.$ 102. МОМЕНТ ИНЕРЦИИ ТЕЛА ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ.РАДИУС ИНЕРЦИИМоментом инерции тела (системы) относительно данной осиОг (или осевым моментом инерции) называется скалярная величина,равная сумме произведений масс всех точек тела (системы) на квадраты их расстояний о т этой оси:Л = 2 т *л*-(2)Из определения следует, что момент инерции тела (или системы)относительно любой оси является величиной положительной и неравной нулю.В дальнейшем будет показано, что осевой момент инерции играетпри вращательном движении тела такую же роль, какую масса припоступательном, т.
е. что осевой момент инерции является меройинертности тела при вращательном двиясении.Согласно формуле (2) момент инерции тела равен сумме моментовинерции всех его частей относительно той же оси. Для одной материальной точки, находящейся на расстоянии h от оси, / ,= тЛ а.Единицей измерения момента инерции в СИ будет 1 кг *м* (в системеМ КГС С — 1 кгм-с*).Для вычисления осевых моментов инерции можно расстоянияточек от осей выражать через координаты xh, yh, zh этих точек (например, квадрат расстояния от оси Ох будет yl+ zt и т.
д.). Тогдамоменты инерции относительно осей Охуг будут определяться фор265мулами:•^ = 2 > * ( у2 +*1). ^, = 2 > * (г !+ 4 ), ^ = 5 > ft(xj[+*/*)• (3)Часто в ходе расчетов пользуются понятием радиуса инерции.Радиусом инерции тела относительно оси Ог называется линейнаявеличина р „ определяемая равенствомJ, = M pl(4)где М — масса тела. Из определения следует, что радиус инерциигеометрически равен расстоянию от оси Ог той точки, в которой надососредоточить массу всего тела, чтобы момент инерции одной этойточки был равен моменту инерции всего тела.Зная радиус инерции, можно по формуле (4) найти моментинерции тела и наоборот.Формулы (2) и (3) справедливы как для твердого тела, так и длялюбой системы материальных точек.
В случае сплошного тела, разбивая его на элементарные части, найдем, что в пределе сумма, стоящая в равенстве (2), обратится в интеграл. В результате, учитывая,что <\m=p&V, где р — плотность, а V — объем, получимJ x = J ft* dm или J,=(V)^ pft'dK.(5)(И)Интеграл здесь распространяется на весь объем V тела, а плотностьр и расстояние Л зависят от координат точек тела. Аналогично формулы (3) для сплошных тел примут видJ *= $ P ^ + z’JdV и т. д.<ю(5')Формулами (5) и (5') удобно пользоваться при вычислении моментов инерции однородных тел правильной формы. При этом плотность р будет постоянной и выйдет из-под знака интеграла.Найдем м о м е н т ы и н е р ц и и н е к о т о р ы х о д н о р о д н ы х тел.1.Т о н к и й о д н о р о д н ы й с т е р ж е н ь длиной Iмассой М . Вычислим его момент инерции относительно оси Аг, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец А (рис.
275).Направим вдоль А В координатную ось Ах. Тогда для любого элементарного отрезка длины dx величина А=х, а масса dm=p,dx,где pi= M /l — масса единицы длины стержня. В результате формула (5) дает *t1Iх = J х* dm = px $ хг йх= Pi^/3.оо*Здесь и везде далее J л обозначает момент инерции относительно оси, проходящей через точку А н направленной перпендикулярно плоскости изображенного на чертеже сечения тела.ЗвбЗаменяя здесь р* его значением, найдем окончательноJa= M № .(6)2.Т о н к о е к р у г л о е о д н о р о д н о е к о л ь ц о радиусом R и массой М . Найдем его момент инерции относительноРис.
277оси Cz, перпендикулярной плоскости кольца .и проходящей черезего центр С (рис. 276). Так как все точки кольца находятся от осиCz на расстоянии hk= R , то формула (2) даетJ c — 2 mk/?a= ( 2 т к) R 2= MR*Следовательно, для кольца *J C= M R *.(7)Очевидно, такой же результат получится для момента инерциитонкой цилиндрической оболочки массой М и радиусом R относительно ее оси.3.К р у г л а я о д н о р о д н а я п л а с т и н а или ц ил и н д р радиусом R и массой М . Вычислим момент инерции круглой пластины относительно оси Cz, перпендикулярной пластине ипроходящей через ее центр (см., рис. 276).
Для этого выделим элементарное кольцо радиусом г и шириной dr (рис. 277, а). Площадьэтого кольца 2nr -dr, а масса dm=p,2nr dr, где ра=М/лг* — массаединицы площади пластины. Тогда по формуле (7) для выделенногоэлементарного кольца будет d/c=r*dm=2nparsdr, а для всейпластиныя/с = 2яр, J г3dr = nptR*/2.оЗаменяя здесь р, его значением, найдем окончательноJ C= M R42.(8)*Сравнивая формулы (4) и (7) можно еще заключить, что радиус инерциитела равен радиусу тонкого кольца с таким же осевым моментом инерции,как и у тела.267Такая же формула получится, очевидно, и для момента инерции J z однородного круглого цилиндра массой М и радиусом Rотносительно его оси (рис.
277, б).4.П р я м о у г о л ь н а я п л а с т и н а , к о н у с , ша р.Опуская выкладки, приведем формулы, определяющие моментыинерции следующих тел (читатель может получить их самостоятельно, а также найти эти и другие формулы в различных справочниках):а) сплошная прямоугольная пластина массой М со сторонамиА В = а и BD = b (ось х направлена вдоль стороны А В, ось у — вдольB D ):J x=Mb43, Jy —Ma%/3-,б) прямой сплошной круглый конус массой М с радиусом основания R (ось г направлена вдоль оси конуса):J t—0,3MR*;в) сплошной шар массой М и радиусом R (ось г направлена вдольдиаметра):/ *= 0 ,4 Ш '.Моменты инерции неоднородных тел и тел сложной конфигурации можно определять экспериментально с помощью соответствующих приборов.
Один из таких методов рассмотрен в § 129.( 103. МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ ТЕЛА ОТНОСИТЕЛЬНОП АРА ЛЛЕЛЬН Ы Х ОСЕЙ. ТЕОРЕМА ГЮЙГЕНСАМоменты инерции данного тела относительно разных осей будут, вообще говоря, разными. Покажем, как, зная момент инерцииотносительно какой-нибудь одной оси, проведенной в теле, найтиг'момент инерции относительно любой другой оси, ей параллельной.Проведем через центр масс С тела произвольные оси С х'у'г', а через любую точку О на оси Сх' — оси Охуг, такие, чтот» Оу\\Су', Ог||С/ (рис. 278).
Расстояние между осями Сг' и Ог обозначим через d.Тогда по формулам (3) будет:Рис. 278Но, какточки телаа Ук=Ук- Подставляя эти значениявынося общие множители d* и 2dJ O z=2(* * + Ук ) ++усг- = 2 т * (** + У*)видно из рисунка, для любойxk=x'k—d и х\=х?+с1*—2дсДдг*, ук в выражение для J 0г иза скобки, получим(2т к )& —(2m* * i) 2d-В правой части равенства первая сумма равна Ус*-» а вторая —массе тела М .
Найдем значение третьей суммы. На основании фор268мул (1) для координат центра масс 2mh**=Af*c- Так как в нашемслучае точка С является началом координат, то xi= 0 и, следовательно, l.m kx'k=0. Окончательно получаемJo z ~ ^Cz'Md?.(9)Формула (9) выражает следующую т е о р е м у Г ю й г е н с а * : момент инерции тела относительно данной оси равен момент у инерции относительно оси, ей параллельной, проходящей черезцентр масс тела, сложенному с произведением массы всего тела наквадрат расстояния между осями.Из формулы (9) видно, что Jo z> Jcz'■ Следовательно, из всехосей данного направления наименьший момент инерции будет относительно той оси, которая проходит через центр масс.Теорема Гюйгенса позволяет найти момент инерции тела относительно данной оси Ozi и в том случае, когда известен его моментинерции относительно любой оси Аг3, параллельной Oz*.
При этомнадо знать расстояния di и d, каждой из этих осей от центра масстела. Тогда, зная J Att и dt, мы по формуле (9) определяем /а затем по той же формуле находим искомый момент инерции J 0гГЗадача 119. Определить момент инерции тонкого стержня относительно осиСг, перпендикулярной стержню и проходящей через его центр масс.Р е ш е н и е . Проведем через конец А стержня ось Аг (см. рис. 275; ось Сгна нем не показана). Тогда по формуле (9)J C = J A- M d *.В.
данном случае d = ll2, где I — длина стержня, а величина J А определяетсяформулой (6). Следовательно,J c = М Р/З— М РЦ = М1Ч12.Задана 120. Определить момент инерции цилиндра относительно оси Агу, проходящей через его образующую (см. рис. 277, б).Р е ш е н и е . По теореме Гюйгенса J Аг^^сж+МсР. В данном случаеd=R, а по формуле (8)Подставляя эти значения, получимJ Ati = M R42 + MR*=±(3/2) MR*.§ 104*.
ЦЕНТРОБЕЖ НЫ Е МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ.ПОНЯТИЯ О ГЛАВН Ы Х ОСЯХ ИНЕРЦИИ ТЕЛАЕсли через точку О провести координатные оси Охуг, то по отношению к этим осям центробежными моментами инерции (или произведениями инерции) называют величины J xv, J V1, J Zx, определяемыеравенствами:Л ,» = 2 т *иА* ^ « = 2 m*z*x*>( 10)где т к — массы точек; xk, yk, zh — их координаты; при этом очевидно, что J xy—Jy x и т. д.*Христиан Гюйгенс (1629— 1695) — выдающийся голландский ученый, механик, физик и астроном. Изобрел первые маятниковые часы. В связи с этим изучалйолебайия физического маятника (см.
§ 129) и ввел понятие о моменте инерции тела(сам термин предложил позже Эйлер).269Для сплошных тел формулы (10) по аналогии с (5') принимаютвидJ xv= ] pxy&V т . а .(10*)(V)В отличие от осевых центробежные моменты инерции могут бытькак положительными, так и отрицательными величинами и, в частности, при определенным образом выбранных осях Охуг могут обращаться в нули.Г л а в н ы е о с и и н е р ц и и . Рассмотрим однородное тело,имеющее ось симметрии.
Проведем координатные оси Охуг так, чтобы ось Ог была направлена вдоль оси симметрии (рис. 279). Тогдав силу симметрии каждой точке тела с массой т к и координатамиУн> гк будет соответствовать точка с другим индексом, но с такойже массой и с координатами, равными—хк, —Ун>В результатеполучим, что И т кхкгк=0 и 2 т кукгк=Ь, так как в этих суммах всеслагаемые попарно одинаковы по модулю и противоположны познаку; отсюда, учитывая равенства (10), находим:0, У„г= 0.(11)Таким образом, симметрия в распределении масс относительнооси г характеризуется обращением в нуль двух центробежных моментов инерции J xz и J yi.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
