1611690516-d99b7463a257f659341e7d5db73ba461 (826918), страница 54
Текст из файла (страница 54)
.V (Р - р * )* + 4Ь*р***- Р *(92)V 1Так как х=Х!-|-х», а значение Xi (при k>b) дается равенством(81), то окончательно найдем решение уравнения (91) в видех *=Ле-М sin (k j -J-а)244В sin (p t— Р),(93)где А и а — постоянные интегрирования, определяемые по начальным условиям, а значения В и р даются формулами (92) и от начальных условий не зависят.
При Ь=0 найденные решения дают формулы (86) и (87), полученные выше для случая отсутствия сопротивления.Рассматриваемые колебания являются сложными и слагаются изсобственных (первое слагаемое в равенстве (93), рис. 263,а) н вынужденных (второе слагаемое в равенстве (93), рис. 263,6). Собственные колебания точки для рассматриваемого случая были изучены в $ 95. Как было установлено,эти колебания довольно быстро затухают и по истечении некоторогопромежутка времени /у, называемого временем установления, Имипрактически можно пренебречь.Если, нупример, считать, что собственными колебаниями можно пренебречь,начиная с момента, когда нх размахн будут меньше 0,01 В, то величина ty будетопределяться из равенства Ле-Ь*=0,01 В,откуда1 , 100/4-1 п (94)Как видим, чем меньше сопротивление(т. е.
чем меньше Ь), тем время установления больше.Одна из возможных картинустановления колебаний, происходящих по закону (93) и начинающихся из состояния покоя, показанана рис. 263,в. При других начальных условиях и соотношениях между частотами р и kl характер колебаний в интервале времени0</</у может оказаться совершенно другим. Однако во всех случаях по истечении времени установления собственные колебанияпрактически затухают и точка будет совершать колебания по законуx= Bsin(pt—Р).(95)Эти колебания и называются вынужденными. Они представляютсобой незатухающие гармонические колебания с амплитудой В , определяемой равенством (92), и частотой р, равной частоте возмущающей силы.
Величина Р характеризует сдвиг фазы вынужденных колебаний по отношению к фазе возмущающей силы.Исследуем полученные результаты. Введем обозначения:z=plk, h=b/k, U ^ P Jk '^ Q Jc ,(96)где г — отношение частот; А — величина, характеризующая сопротивление; А* — величина статического отклонения точки под дейст245вием силы Qa (например, при колебаниях груза на пружине Х„ равно статическому удлинению пружины, вызываемому силой Q0).Тогда, деля числитель и знаменатель равенств (92) на к2, получим:Яро2hzВ=(97)*gP =V ( 1- * * )* + 4А*г*1- г*Из формул (97) видно, что В и Р зависят от двух безразмерныхпараметров г и Л.
Для большей наглядности вид этой зависимостипри некоторых значениях h показан на графиках. На первом графике (рис. £64) даны зависимости коэффициент а динамичности rj ===В/Х0 (показывающего,во сколько раз амплитуда В больше Л,0) ототношения частот г, ана втором (рис. 265) —зависимости сдвига фазР тоже от z.
В каждойконкретной задаче по ееданным можно вычислить величины Х0, г, Л инайти значения В и Р,пользуясь соответствующими графиками илиформулами (97). Из этихграфиков (или формул)видно также, что, меняя соотношение между р и k, можно получать вынужденные колебания с разными амплитудами.Когда сопротивлениеоченьмало, а величина г не близкак единице, в формулах (97)можно приближенно считатьЛя*0.Тогда будем иметь результаты, полученные в п.
1, аименно:В=I 1—г* I ’а О (при г < 1),180° (при г > 1).(98)Рис. 2ЬэРассмотрим еще следующие частные случаи.1.Если отношение частот г очень мало (р<£), то, полагая приближенно гтО , получим из формулы (97) B « V . Колебания в этом246случае происходят с амплитудой, равной статическому отклонениюX,, и сдвигом фаз Р«0 .2. Если отношение частот г очень велико (р>Л), величина Встановится малой. Этот случай представляет особый интерес дляпроблем виброзащиты различных сооружений, приборов и др. Приэтом, считая сопротивление малым и пренебрегая в (97) 2hz и единицей по сравнению с г*, можно получить для подсчета В приближенную формулуВ=Х,/2, = Я 0/р1.(99)3. Во всех практически интересных случаях величина Л многоменьше единицы.
Тогда, как видно из (97), если величина г близкак единице, амплитуда вынужденных колебаний достигает максимума. Явление, которое при этом имеет место, называется резонансом.I h формулы (97) видно, что B = B v= B mtx, когда стоящая в знаменателе величина /(£)= (1—Й*+4Л*£ (где £= 2*) имеет минимум. Решая уравнение /' (£)== —2 ( 1—| —2 h*)= 0 , найдем, что В имеет максимум при £= I—2 Л\ т. е. пригр= Y 1— 2Л*. Следовательно,.резонанс имеет места, когда г немного меньше единицы. Но практически, пренебрегая величиной Л* по сравнению с единицей, можно считать, что г9= 1.
При немалых Л резонанс выражен слабо (амплитуда B f невелика, см. рис. 264), а при к>У~$/2*‘ 0,7 резонанс, как видно из выражения для2р и из рис. 264, вообще не возникает.При резонансе амплитуду вынужденных колебаний и сдвиг фазможно практически вычислять, по приближенным формулам, которые получаются из равенств (97), если в них положить 2=1:В„=Х./2й, р„= я/2 .(100)Отсюда видно, что при малых Л величина B t может достигать Довольно больших значений.Колебания с амплитудой В 9, как и вообще вынужденные колебания, устанавливаются при резонансе не сразу.
Процесс установления колебаний будет аналогичен показанному на рис. 263,в. Чемменьше сопротивление, т. е. чем меньше Ь или А, тем больше величина В р\но одновременно будет больше и время <у установления этихколебаний [см. формулу (94)].Когда сопротивление отсутствует, т. е. b = h = 0, то, как былоустановлено, закон вынужденных колебаний при резонансе даетсяуравнением (89), а график колебаний имеет вид, показанный нарис.
262. Таким образом, в случае отсутствия сопротивления процесс«раскачки» системы при резонансе длится неограниченно долго, аразмахи колебаний со временем непрерывно возрастают. Аналогичной будет картина резонансных колебаний при очень малых сопротивлениях.3.Общие св о й ст в а в ы н у ж д е н н ы х колебан и й . Из*полученных выше результатов вытекает, что вынужденныеколебания обладают следующими важными свойствами, отличающими их от собственных колебаний точки: 1) амплитуда вынужденных колебаний от начальных условий не зависит; 2) вынужденныеколебания при наличии сопротивления не затухают; 3) частота вы247нужденных колебаний равна частоте возмущающей силы и от характеристик колеблющейся системы не зависит (возмущающая сила«навязывает» системе свою частоту колебаний); 4) даже при малойвозмущающей силе (Q0 мало) можно получить интенсивные вынужденные колебания, если сопротивление мало, а частота р близкак k (резонанс); 5) даже при больших значениях возмущающей силывынужденные колебания можно сделать сколь угодно малыми, есличастота р будет много больше k.Вынужденные колебания и, в частности, резонанс играют большую роль во многих областях физики и техники.
Например, при работе машин и двигателей обычно возникают периодические силы, которые могут вызвать вынужденные колебания частей машины илифундамента.Процесс изменения амплитуды этих колебаний можно проследить, заставляя работать на разных оборотах двигатель, для которого р=<о, где со — угловая скорость (см.
задачу 117). С увеличением со амплитуда В колебаний вибрирующей части (или фундамента) будет возрастать. Когда <о=Л, ■наступает резонанс и размахивынужденных-колебаний достигают максимума. При дальнейшемувеличении со амплитуда В убывает, а когда станет (o^>k, значение В будет практически равно нулю. Во многих инженерных сооружениях явление резонанса крайне нежелательно и его следует избегать, подбирая соотношение между частотами р и k так, чтобыамплитуды вынужденных колебаний были практически равны нулюiP > k ).Противоположный пример мы имеем в радиотехнике, где резонанс оказывается очень полезным и используется для отделениясигналов.одной радиостанции от сигналов всех остальных (настройка приемника).На теории вынужденных колебаний основывается также конструирование ряда приборов, например вибрографов — приборовдля измерения смещений колеблющихся тёл (фундаментов, частеймашин и др.) и, в частности, сейсмографов, записывающих колебания земной коры, и т.
п.Задача 117. Балка, на которой установлен мотор, прогибается от его веса наАст= f см. При каком числе оборотов вала мотора в минуту наступит резонанас?Р е ш е н и е . Из формулы (75').следует, что период собственных колебанийбалкиг = in V K jg .Если центр тяжести С вала мотора смещен от оси О, то на мотор будет действовать передаваемая через подшипники вала сила Q, направленная вдоль ОС(рис. 266; такие силы рассматриваются в § 136).
Проекция силы Q на ось Ох, равная QX=Q sin a t (<о — угловая скорость вала), и будет возмущающей силой, действующей на мотор: частота этой силы р—ш. Следовательно, период вынужденныхколебаний 7д=2л/ю.Резонанс наступит, когда 7'а= Т, т. е. лриш *р = >Л йгА с т = 3 1 , З с - 1 .248Отсюда критическое число оборотовл*р = 30й>|[р/я « 300 об/мин.Рабочее число оборотов вала мотора должно быть значительно больше лкр.Задача 118, Исследовать вынужденные колебания груза 1 массы т , подвешенного на пружине с коэффициентом жесткости с, если верхний конец D пружинысовершает вертикальные колебания по закону £=OoSinp/.Р е ш е н и е .
Поместим начало координат О в положение статического равновесия груза и направим ось Ох по вертикали вниз (рис. 267). Если обозначитьдлину недеформированной пружины через /0, то ее длина в произвольный моментвремени будет /=/<>—?+Хст+*. а Уд л и н е н и е Х= I—/0=Хст-{-л:—£. Тогда действующая на груз сила упругости f= cX= c(XCT+ x—£), и составляя дифференциальноеуравнение движения груза, будем иметь (так как cXCT=mg):т х = — c(XCI+ x — £)+m g или тх = —Отсюда, вводя обозначение c/m=fe2, получимх + k*x = k2a0 sin pt.Следовательно, груз будет совершать вынужденные колебания, так как полученное уравнение совпадает с уравнением (85) или уравнением (91), если в нем считать 6=0 и Я0=Л1а0. Из равенств (96) видно, что вданном случае Xgv=a0 и Л=0.
Амплитуда вынужденных колебаний и сдвиг фаз определяются формулами (98).Если р<й (верхний конец пружины колеблетсяочень медленно), то г» 0 и В « а „, а сдвиг фаз р= 0 .Груз будет при этом колебаться так, как если быпружина была жестким стержнем, что физически и соответствует условиюр.При р=к наступает резонанс, и размахи колебаний начнут сильно возрастать.Если частота р станет больше k (z> l), то груз будет колебаться так, что когдаконец D пружины идет вверх, груз будет опускаться вниз и наоборот '(сдвиг фазР= 180е); амплитуда же колебаний будет тем меньше, чем больше р. Наконец,когда р будет много больше fe(z>l), амплитуда В » 0.
Груз при этом будет оставаться в положении статического равновесия (в точке О), хотя верхний конецпружины и совершает колебания с амплитудой(частота этих колебаний стольвелика, что груз как бы не успевает за.ними следовать).4.* Электродинамические аналогии. Схожесть законов ряда колебательныхпроцессов, рассматриваемых в разных областях физики, отмеченная в начале § 94,объясняется тем, что колебания в этих случаях описываются одинаковыми дифференциальными уравнениями. Рассмотрим в качестве примера мектрический контур, состоящий из последовательно соединенных катушки с индуктивностью L,омического сопротивления R, конденсатора с емкостью С и источника переменнойэлектродвижущей силы (э.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
