1611690516-d99b7463a257f659341e7d5db73ba461 (826918), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Так. как ш = const, тоsin a, Тогда/'nep= *m /it> , s l n a . Направлена сила Яйер противоположно ускорению аЦер, т. е.от оси вращения (вдоль линии СВ); эту силу Называют еще центробежной силойинерции. Составляя уравнение равновесия в проекции на ось Вт, перпендикулярную АВ, найдем, что— Р sin a + f пер со» a = 0 .226Отсюда, заменяя силу F*ep ее значением и сокращая на s in a (решение a = 0не рассматриваем), получим —g + /a i 2 c o sa = 0 . Тогдаcos a =gll<3>2.Так как c o s a < l,T o равновесие при аФО возможно только, когда u?>gH.Задача 111. Полуокружность BCD радиуса R (рис. 249) вращается вокругвертикальной оси с постоянной угловой скоростью to.
По ней из точки В, чуть смещенной от оси вращения, начинает скользить без трения кольцо М. Найти дтносительную скорость кольцав точке С, если его начальная скорость t;0= 0 .Р е ш е н и е . Для определения скорости воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии. Чтобы составить уравнение (59), выражающее этутеорему, вычислим работу сил Р и fE ep, где f)5ep=m<iAc (работа реакции N равнанулю). Считая приближенно дгд=0, находим<С>RАвс (F «р) = J ^пер d*= fflto1 J х dx = mia*Rt/2.(В )оКроме того, A tfC)(P)=PR=mgR.
Подставляя эти значения в уравнение(59) и учитывая, что i e= 0 , получим/r»J/2= mR (g-\- <o*R/2).Отсюда находимVi = V2gR(l+a*Rl2g).Задачу можно также решить, используя уравнение (58).Пример интегрирования уравнений относительного движениядан в § 93.§92. ВЛИЯНИЕ ВРАЩЕНИЯ ЗЕМЛИ НА РАВНОВЕСИЕИ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛПри решении большинства технических задач систему отсчета,связанную с Землей, считают инерциальной (неподвижной). Темсамым не учитывается суточное вращение Земли по отношению кзвездам (о влиянии движения Земли поее орбите вокруг Солнца см.
§ 99). Этовращение (один оборот в сутки) происходит с угловой скоростьюсо= 2я/(24 •60 •60) » 0,000073 с ' 1.Рассмотрим, как сказывается такоедовольно медленное вращение на равновесии и движении тел вблизи земнойповерхности.1.С и л а т я ж е с т и.
С суточным вращением Земли связано понятие о силе тяРис. 250жести, являющейся частью силы тяготения (притяжения к Земле). На материальную точку, находящуюся вблизиземной 'поверхности, действует сила тяготения FT, разлагающаясяна силы Fn и Р (рис. 250). Сила Fn, направленная к земной оси,сообщает точке то нормальное ускорение а„, которое точка должнаиметь, участвуя вместе с Землей в ее суточном вращении; если масса точки т, а ее расстояние от земной оси г, тои численно/тко*г.Д ругая составляющая силы тяготения — сила Р и является величиной, называемой силой тяжести.
Таким образом,г - я - г ..т. е. сила тяжести равна разности между всей силой тяготения итой ее составляющей, которая обеспечивает участие точки (тела)в суточном вращении Земли.Направление силы 7> определяет направление вертикали в данном пункте земной поверхности (таким будет направление нити, накоторой подвешен какой-нибудь груз; натяжение нити при этом равно Р), а плоскость, перпендикулярная силе Т, является горизонтальной плоскостью.
Так как Fn=mcoV, где со1 очень малб, то силаР и численно, и по направлению мало отличается от силы тяготения FT *. Модуль силы Р называют весом тела.2.О т н о с и т е л ь н ы й 'покой и о т н о с и т е л ь н о ед в и ж е н и е в б л и з и з е м н о й п о в е р х н о с т и . Еслив числе действующих сил выделить силу тяготения FT, то уравнением относительного равновесия (покоя) точки на вращающейся Земле согласно (57) будет+ Fт + JS p = 0.Н о в данном случае Оперся» и ?5ер=—/пОи*р= —ma„——F*. Тогда? т + / 75ер==/гт—Fn-=P и уравнение примет вид 2 F k-f Р = 0 , т.
е. такой же, какой уравнение равновесия имеет, когда система отсчета,связанная с Землей, считается неподвижной.Следовательно, при составлении уравнений равновесия тел поотношению к Земле дополнительных поправок на вращение Земливводить не надо (это вращение учитывается наличием в уравненияхсилы F).Теперь обратимся к уравнению относительного движения (56),в котором тоже выделим силу тяготения. Тогда полупимта «■Но, как и в предыдущем случае, Tx+ F l lf= T r—F„—Р и уравнениепримет видта*=Сила ¥я т е е т . наибольшее «иаченяе-на экваторе, где г= Я , ■ составляеттам около 0.345С от силы тяготеян*. Наибольшая разность показанных на рве 250углов а (геоцентрическая широта) я f (встрономпеская шярота) ямеет мкто вряа= 45 к равна приблизительно 0,1°.228Отсюда следует, что когда, при составлении уравнений движения,оси, связанные с Землей, считают неподвижными, то пренебрегаютучетом только кориолисовойсилы инерции, численно равнойFlop = 2т(ои sin а,где а — угол между относительной скоростью v точки и земнойосью.Так как угловая скорость Земли со очень мала, то если скоростьv не очень велика, величиной F"ор по сравнению с силой тяжестиможно пренебречь.
Например, при v—700 м/с (скорость обычногоартиллерийского снаряда) и а = 9 0 ° значение FJJop составляет толькооколо 1% от силы Р. Поэтому в большинстве инженерных расчетовпри изучении движения тел систему отсчета, связанную с Землей,можно действительно считать инерциальной (неподвижной).Учет вращения Земли приобретает практическое значение илипри очень больших скоростях (скорости полета баллистических ракет), или для движений, длящихсяочень долго (течение рек, воздушные и морские течения).3 * . П р и м е р ы . Рассмотрим,в чем качественно сказывается влияние вращения Земли на движение тел.Движение по земной поверхности. При движении точки по меридиану в северном полушарии с севера на юг кориолисово ускорение ац09 направлено на восток (см.
§ 67, задача 80), a F%p •*- на запад. При движении с юга на север F%0р будет направлена на восток.В обоих случаях, как видим, точка вследствие вращения Землиотклоняется вправо от направления ее движения._Если точка движется по параллели на восток, то ускорение а*орбудет направлено вдоль радиуса М С параллели (рис. 251), а сила^кор — в противоположную сторону. Вертикальная составляющаяэтой силы, направленная вдоль ОМ, вызовет незначительное изменение веса тела, а горизонтальная составляющая, направленная кюгу, вызовет отклонение точки тоже вправо от направления ее движения. Аналогичный результат получится при движении по параллели на запад.Отсюда заключаем, что в северном полушарии тело, движущеесявдоль земной поверхности по любому направлению, будет вследствиевращения Земли отклоняться вправо от направления движения.В южном полушарии отклонение будет происходить влево.Этим обстоятельством объясняется то, Что реки, текущие в северном полушарии, подмывают правый берег (закон Бэра).
В этомже причина отклонений ветров постоянного направления (пассаты)229и морских течений, а также воздушных масс в циклоне и антициклоне, где вместо движения к центру циклона (область пониженногодавления) или от центра антициклона (область повышенного давления) возникает циркуляционное движение воздуха вокруг центрациклона (антициклона).Вертикальное падение. Чтобы определить направление кориолисовой силы инерции F”op в случае свободно падающей точки, надознать направление относительной скорости v точки. Так как силаFJJop очень мала по сравнению с силой тяжести, то в первом приближении можно считать вектор v, направленным по вертикали, т.
е.вдоль линии МО (рис. 251). Тогда вектор акор будет, как легко видеть, направлен на запад, а сила FJlop — на восток (т. е. так, как нарис. 251 направлен вектор v). Следовательно, в первом приближениисвободно- падающая точка' (тело) отклоняется вследствие вращенияЗемли от вертикали к востоку.
Тело, брошенное вертикально вверх,будет, очевидно, при подъеме отклоняться к западу. Величины этихотклонений очень малы и заметны только при достаточно, большойвысоте падения или подъема, что видно из расчетов, приведенныхв § 93.| 03*. ОТКЛОНЕНИЕ ПАДАЮЩЕЙ ТОЧКИ ОТ ВЕРТИКАЛИВСЛЕДСТВИЕ ВРАЩЕНИЯ ЗЕМЛИРассмотрим материальную точку, падающую с ие очень большой (по сравнениюс радиусом Земли) высоты Н- на поверхность Земли.
Силу тяжести Р при падениибудем считать постоянной; сопротивлением воздуха пренебрегаем. Направим осьОу вертикально вверх, а ось Ох — на восток (рис. 252, в)*. Чтобы учесть вращениеЗемли, к точке кроме силы Р надо приложить силу Fjj0p. направленную, как былоустановлено в первом приближении, на восток. Тогда дифференциальные уравнения относительного движения точки примутвид:тх=Рк op. my = — P = — mg,(60)а Начальные условия будут: при<= 0 х = 0 , у= Н , их= 0 , ч „= 0 .Интегрируя второе из уравнений (60) и определяя постоянные интегрирования по начальным условиям, найдем:Рис. 252vv = y = — gt, y = H —gt42.При вычислении модуля fJJop пренебрежем, как мы уже делали, определяянаправление /'Лор, составляющей скорости vx по сравнению с vy (так как сила Fjjopмного меньше Я) и,_отыскивая приближенное решение, будем считать v=\vy\=gt.При этом скорость v будет направлена по вертикали вниз (по линии МО на рис.251) и образует с осью вращения Земли угол <х=90°—X, где А — широта.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
